二阶微分方程降阶求法一阶技巧求法

二阶常系数线性微分方程其一般形式，

y'' +p y' + qy = f(x) ①

可以写成

=> (y' + λ1 * y)' + λ2(y' + λ1 * y) = f(x) (λ1 + λ2 = p , λ1 * λ2 = q)

令 u = (y' + λ1 * y),得

u' + λ2*u = f(x)

就可以当成一阶线性微分方程来解了。

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接着我们再讲下一阶线性微分方程的一个好记的解法：

其一般形式

y' + p(x)y = f(x)

我们可以将两边同乘一个u,得

u*y' + u*p(x)y = u*f(x) ①

我们可以认为 (uy)' = y' * u + u*p(x)y 注: (uv)' = u'v + uv'

即 u' = up(x) =>

du/dx = up(x)

du/u = p(x)dx 得，

u = e^∫p(x)dx

得到 u 的值之后，就可以把 u 带入原式①，得

uy = ∫f(x)*udx

这样就得到y的通解了，这个方法还是比较好记的。

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