一阶微分方程的物理意义_MIT—微分方程笔记24 一阶常微分方程组
18.03 微分方程 Differential Equations
第四单元 一阶常微分方程组
Unit 4 First-Order Systems
第24讲 一阶常微分方程组
第25讲 常系数齐次线性方程组
第26讲 常系数齐次线性方程组（续）
第27讲 2´2齐次线性方程组作图
第28讲 非齐次方程组矩阵方法
第29讲 矩阵指数
第30讲 常系数解耦线性方程组
第31讲 非线性自治方程组
第32讲 极限环
第33讲 非线性方程组和一阶常微分方程之间的关联
第24讲 一阶常微分方程组
Introduction to First-order Systems of ODEs
网易公开课open.163.com
本课程剩下的时间学习微分方程组，我们所求解的微分方程组仅有一个自变量t，但是可以有多个因变量。若有两个因变量x和y，则方程组形式为：
此类方程组为一阶方程组，只存在一阶导数，基本上我们也只讨论一阶方程组。这里所讨论方程组为线性方程组，即因变量必须满足线性要求，表达式满足：
当系数a,b,c,d 为常数时，称为常系数方程组，与之相对的情况是这些系数是自变量的函数。齐次方程组是指在方程中没有 这类不包含有因变量 r(t) 的项，即齐次方程组中
通过方程组的初值条件可以确定解函数中的常数，在本方程组中解函数中的常数个数为2，它等于方程组的总阶数。而初值条件的个数要和解中常数个数相同，通常的初值条件为
一阶线性微分方程组的常见模型和一阶方程大体相同，例如：混合模型、放射性衰变、热传导等等。这些模型中涉及两个以上的对象时，就会从独立的方程转变为方程组，例如两个容器的混合问题，再比如电路中有两个相连接的RC回路的情况。而如果在电路模型的两个回路上再添加一个包含电感的回路，则方程的总阶数会变为1+1+2=4（电感引入二阶微分方程）。
例：热传导问题。
容器中的水温度为Te(t)，在水中加热一个鸡蛋，鸡蛋不是均质物体，蛋黄和蛋白的性质有差异，蛋黄的温度为T1，蛋白的温度为T2。根据牛顿传导定律有：
将变量的顺序调整为
情况1文火煮蛋：水温从100度开始衰减
情况2将煮好的鸡蛋放入冰水，则Te(t)=0。
讨论情况2，即齐次方程。若常系数为
方法一：消去一个因变量
注意到这是一个二阶微分方程，一个微分方程组经过化简得到一个微分方程，则得到的方程阶数等于方程组的总阶数。另一方面，方程中所有的参数都是正的，因为这个方程描述的状态最后会趋近于稳态值0，而不是发散或者某种振荡状态，因此要求方程的参数都为正，以此可以验证计算的正误。
特征方程
T2不要模仿以上求解过程重新运算一遍，这样不止运算量大，并且会得到两个待定常数，而初值条件仅允许解函数有两个常数。正确的方法是将求得的T1代入T2表达式得到
方法二：几何法只讨论等式右侧没有自变量t 的微分方程，即自治方程，但它可以不是线性方程组
给定任何一个起始点，就会得到一条通过它的解曲线。而导数
注意速度场和方向场，轨迹和积分曲线的差异，33讲老师专门讲了这个问题。
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