注：本文是刘然对常微分方程模型的简介

什么是常微分方程模型

常用的回归分析聚焦于直接建立响应变量和协变量之间的关系，之后根据建立的模型进行分析和预测，比如常见的线性回归模型：。

而如果我们感兴趣的变量是随时间变化的，那么还有另外一种常用的建模方式：建立变量与变量对时间的导数之间的关系，这就是我们这里要介绍的常微分方程模型。容易理解，常微分方程模型是利用常微分方程来刻画变量之间的关系的模型。假设我们关心的变量为，常微分方程的数学形式写作:

这里是线性或者非线性的函数，是未知的参数。在这种数学形式下，我们不是直接去建立变量之间的函数关系，而是通过常微分方程给出变量的导数和变量自身之间的函数关系。由于这里的一般大于1，这里给出的常微分方程一般是一个常微分方程组，构成了一个常微分方程系统。

常微分方程模型在自然科学和社会科学中都得到了广泛的应用，比如神经科学中用来描述神经元发放的Hodgkin-Huxley Model，经济学中描述经济增长的Solow growth Model，以及传染病学中描述感染人数的SIR Model。

常微分方程模型相比一般的回归模型有哪些优势？

第一，在一些情况下，考虑变量的导数的建模比直接考虑变量本身的建模要更直接简便；第二，所建立的常微分方程可能比回归模型更能揭示出数据的生成机制，也就更能帮助我们理解数据以及与数据相关联的现象的本质特点。

一个具体的例子

生物学高考时我们常常见到这个例子。在一个生态系统中，捕食者和被捕食者的数量随时间变化，变化规律如图，问两条曲线哪一条代表捕食者，哪一条代表被捕食者？相信大家很容易就能给出答案：波峰在先的是被捕食者，波峰在后的是捕食者。现在，如果需要进一步通过建模刻画出两者之间的关系，我们该怎么做呢？显然，二者都是随时间变化的非线性函数，很难直接给出他们之间的关系，更没有办法知道数据为什么是这个样子。但是，通过考虑影响变量导数的因素，我们可以给出刻画生态系统的常微分方程模型。令和分别代表被捕食者和捕食者的数量，我们先考虑的导数，导数代表了变化速度，那么被捕食者的数量的变化速度和哪些因素有关呢？这一速度应该随着被捕食者种群规模的增大而增大。这一点很好理解，比如说在其他条件不变的情况下，只兔子构成的种群在单位时间内变化的规模也应该比只兔子构成的种群大，所以，我们可以把方程写作：

这里代表了变化率，那么这个变化率和什么有关呢？显然，变化率应该随着捕食者数量的增大而减小，因为数量更多的捕食者增大了每一个捕食者被吃掉的概率，所以我们令，这里是被捕食者在没有捕食者存在时的自然增长率，是一个正数，使得越大时越小。所以我们得到类似的，我们可以通过分析给出的导数的形式。这两个式子合在一起，就是生态学上著名的Lotka-Volterra Model。

利用龙格库塔法之类的数值求解常微分方程的算法，我们可以给出Lotka-Volterra Model的数值解如下图。方程清晰地复现出了我们看到的趋势。这里的模型既能够唯相地给出预测与推断，也能够通过对种群数量动力学机制的刻画让我们明白我们观察到的现象从何而来。

实际中的统计分析

值得注意的是，上文中我们关心的指的是系统变量的真实值，它是关于时间t的一个函数(如果模型的形式正确，那么就是常微分方程的解)。但在实践中，我们通常不可能观察到准确的连续数据，而只能得到一些带有误差的离散时间点上的观测数据，，比如在上面的例子中实际得到的数据点可能是这样的：

我们通常可以假设如下关系，

注意这里的都是维的。和回归模型一样，这里的代表随机误差项，每个分量往往满足均值为零、方差有限等条件。

而常微分方程中的参数(比如前例中的)一般来说也都是未知的，这样，统计学者的任务就不光要建立符合实际的模型，而且要通过观测得到的实际数据来估计未知参数。比如可以先求常微分方程的解析解或数值解(注意这里的解依赖于的值)然后利用最小二乘法的思路写出这个解和数据点的差值平方和，以此作为目标函数进行优化求解，也就是说：

求得参数的估计值后我们可以再进一步去做更深入的统计推断。

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