由粒子加速器产生的反中子形成的白洞
由粒子加速器产生的反中子形成的白洞
利用加速的反质子和质子的碰撞，产生的反中子，产生暗能量场来开启一个白洞。这个白洞可以和宇宙其它地方的黑洞之间形成一个虫洞，可以通过白洞和黑洞之间的虫洞到达宇宙的另外一端，白洞是由于物质聚集到外缘而形成的，中间物质为零，它的空间曲率为零，白洞具有很强的排斥力，它不断向外辐射物质，黑洞是由于物质聚集到一起形成的，它的空间曲率为无穷大，黑洞具有很强的吸引力，任何接近它的物体都会被吸引进入黑洞，黑洞也会向外辐射物质，它向外辐射物质可以根据黑洞辐射公式计算。黑洞辐射的温度公式如下：
ћк
T =
H 2πk c`
b
上式中，к是黑洞的表面张力，ћ是约化普朗克常数,c是光速，k是波尔兹曼常数, 上式表明黑洞向外辐射的温度，又称霍金温度公式 .
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反中子白洞
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白洞有时也向内吸收温度，这个温度也可以用霍金温度公式表示。 要想从白洞外面进入白洞，就要克服排斥力，可以使用电磁线圈产生的电磁力形成的引力，扭曲空间形成吸引力，进入白洞，通过白洞和黑洞之间的虫洞来到黑洞这边，想从黑洞里面逃出黑洞，可以用加速器产生的白洞形成排斥力，进而逃出黑洞，这样就达到从白洞经过虫洞到达黑洞那边宇宙的目的，同时想要从黑洞外面进入黑洞，可以用加速器产生的白洞形成排斥力，进而进入黑洞，通过白洞和黑洞之间的虫洞来到白洞这边，要想从白洞里面逃出白洞，就要克服排斥力，可以使用电磁线圈产生的电磁力形成的引力，扭曲空间形成吸引力，逃出白洞，这样就达到从黑洞经过虫洞到达白洞那边宇宙的目的，经过天文观测发现，某些类星体的内部可能存在白洞，白洞将类星体聚集到一起，形成一颗恒星。用电磁力产生的引力扭曲空间，可以由麦克斯韦方程组和引力方程式解出，
第一部分下面介绍如何用加速器制造一个白洞，
反质子是用同步稳相加速器产生的62亿电子伏能量的质子轰击铜靶产生的，反质子在像塔状檀香一样的螺旋形回旋加速器中加速到128亿电子伏能量，质子在像塔状檀香一样的螺旋形回旋加速器中加速到128亿电子伏能量，
如图1所示，反质子的塔状螺旋加速器的塔状螺旋状管道，和质子的塔状螺旋加速器的塔状螺旋状管道相互挨在一起。反质子和质子在塔状螺旋加速器的末端碰撞，它们相互湮灭，转化为介子，但有少部分在碰撞点附近的反质子和质子擦身而过，将负电荷给予质子，而自己变成反中子。用α粒子轰击氮气，产生质子，质子和反质子在甲苯和连甲苯的溶液中碰撞相互湮灭，产生反中子。当质子和反质子发生碰撞时，产生的反中子沿塔状螺旋线的运动轨迹飞出。由于反中子的运动轨迹是塔状的螺旋线，由于螺旋线的旋转的角度非常大，同时因为反中子是暗物质，所以，反中子的螺旋运动就会使三维空间产生角度扭曲，当这个扭曲达到无穷大时，就会使三维时空产生另外一个维度，这就使三维空间变成四维空间，这就在三维空间中形成一个弯曲空间，也就是形成一个白洞，这个白洞会通过虫洞连接宇宙空间中的其他黑洞，我们利用这个白洞里面的虫洞就会到达宇宙的其它地方，也就是实现了超光速旅行。
如图2所示，当上面的三维空间中三个坐标相互垂直时，所以，它是一个内积空间。同时当这个三坐标轴上的测度是存在的，那么这个空间就是希尔伯特空间。设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z)，A点到O点的距离是R，
2 2 2 2
R =x +y +z
如果三维空间XYZ的相互之间的夹角变为360°，那么这个三维空间就会变成一个非内积的四维空间。就会重新出现一个坐标轴J轴。
如图4所示，当上面的四维空间中四个坐标相互垂直时，所以，它是一个内积空间，同时当这个四坐标轴上的测度是存在的，
2 2 2 2 2
x sin θ+y -2xy*cosθ+x *cos θ=R
那么这个空间就是希尔伯特空间。设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z,j)，A点到O点的距离是R，
2 2 2 2 2
R =x +y +z +j
当反中子沿塔状螺旋形轨迹高速运动时，
这就会使三维空间XYZ的相互之间的夹角变为360°，那么这个三维空间就会变成一个非内积的四维空间，就会重新出现一个坐标轴J轴，同时，因为反中子是暗物质，由于暗物质会产生暗能量，暗能量和我们这个空间的正能量会产生排斥，会使空间曲率降低，
测度发生改变的空间形成白洞，如图6所示，暗能量附近的空间曲率降低，当空间发生扭曲，空间曲率降低时，空间的测度就会发生改变，这就像海面上形成一个漩涡一样，就会使正常空间中产生一个白洞，这个白洞里面的虫洞会把宇宙中某一个黑洞的连接起来，通过这个虫洞，我们就会达到超光速旅行。
直线加速器的相关理论，可参见梅镇岳著《原子核物理学》，科学出版社1961年出版
一般直线加速器的加速路径是直线的,将直线加速器的加速管道改成塔状螺旋线管道，就构成了上面的螺旋线加速器，
如图1所示，将直线加速器的直管道改装成弯曲的管道，漂移管也是弯曲的，粒子在两个漂移管的间隙中间得到加速，两个间隔的飘逸管组成一组，单数的漂移管组成一组，双数的漂移管组成一组，加速器内部抽真空，一组接振荡器正极，一组接振荡器负极，在振荡器的作用下，两个相邻的漂移管中间产生电场力，这个电场力推动粒子在两个漂移管间隙之间向前运动，
如图2所示，两个曲线加速器管道相互挨在一起，一起构成一个螺旋线，用两个缠绕在一起的改造过的螺旋线加速器，加速质子和反质子，使质子和反质子在加速器出口碰撞，产生高能反中子，同时，把这两个螺旋加速器，放到一个回旋加速器当中，原来的回旋加速器是由两个金属半圆盒（D形盒）组成，D形盒里面抽真空，
如图3所示，两个金属半圆盒分别接振荡器的正负极，粒子在两个半圆金属盒间隙收到振荡器产生的电场力作用，而得到加速，
如图4所示，D形盒上下两个面安装极性相反的磁铁，高速运动的粒子在磁场的作用下，受洛伦磁力作用，而作圆周运动，当每穿过两个D形盒中间的间隙时，受电场力的加速，而前进，这就在加速器里面形成了一个螺旋状粒子运动轨道，要想把粒子加速到接近光速，就必须解决振荡器频率和粒子在轨道中运动的频率，相互匹配的问题，在同步回旋加速器加速器里面是依靠改变振荡器频率来实现的，但是如果把粒子加速到接近光速，振荡器频率的改变要求是非常微小的.这种微小的频率改变往往非常难于实现，所在，在同步稳相加速器中，是通过改变磁铁的磁场强度，和形状.或者给磁铁外加线圈来实现的，
如图5所示，把回旋加速器的D型盒加厚，变成圆柱体回旋加速器，再把螺旋线加速器放入圆柱体回旋加速器里面。把半圆盘形D形盒改成半圆柱体形D形盒，把两个相互缠绕的塔状螺旋加速器放入这个D形盒中，粒子在经过两个D形盒中间的间隙时，受电场力作用得到加速，由于螺旋加速器的管道螺旋向下变小，所以粒子在D形盒间隙加速时，受电场力作用发生旋转，同时需要改变振荡器的电流I,使它可以达到聚焦离子的目的。当离子聚焦以后，粒子的旋转运动就会加强，这样就更容易形成白洞。同时需要调节振荡器电压，使回旋加速器达到相稳定，相聚焦，就是说离子在回旋加速器里面运动的周期t需要和D形盒产生的电动势V对离子产生的运动周期T`相等。也就是说D形盒的电动势对离子产生圆周运动的周期和粒子的运动周期形成共振。只有形成共振才能对粒子产生电势相位的聚焦。这些反中子沿塔状螺旋心路径不断旋转高速运动，就会使空间角度发生扭曲，当三维空间xyz三个坐标轴的夹角从90度变成360°，时，三维空间就会变成四维空间，在这个四维空间中，反质子使空间曲率减低，就会形成白洞，空间曲率降低后，就像海面上形成漩涡一样，就会产生白洞，这个白洞里面的虫洞就会将宇宙中的另外一个黑洞连接起来，通过这个白洞里面的虫洞就会达到超光速运动的目的，同时，这个白洞所开启的空间体积大小，可以使用上面描述的割圆法来解出。根据上面的割圆法公式，
∞ ∞ ∞
∑η=∑πkf(tgθ/y)/2√2=∑πkf[tg(π/ny)]/2√2
n=1 n=1 n=1
上式称为函数y=f(x)的变化程度大小衡量参数。用上式可以计算某个函数变化的程度大小。 函数f(x)可以表示加速器产生的反中子的能量，那么，
∞
∑πkf[tg(π/ny)]/2√2
n=1
可以用来表示白洞入口的体积的大小，同时加速器需要聚焦粒子，这样才能使白洞形成的面积更大。
聚焦粒子的方法
下面内容可参见科学出版社1958年出版，《原子能译丛基本粒子加速器》，《用横断透镜系统来使直线加速器中的粒子束聚焦的理论》，苏联，沙尔沙诺夫(A.A.Шаршанов)著，本文系1956年5月全苏高能粒子物理会议上斯捷班诺夫(к.н.сгепанков)与沙尔沙诺夫(A.A…Шаршанов)报告的一部分。
3 2 3 2 mv r α mv r α 2 2 x 0 2 y 0 2
I = I +I = [ ] +[ ]
2 1 1 1 1 1
eT( + ) eT( + )
ω ω ω ω
1 2 1 2
给回旋加速器的振荡电势上面加上上面的电流I 就可以达到聚焦粒子的目的。
2
给直线加速器的振荡电势上面加上上面的电流I 就可以达到聚焦粒子的目的。
2
上式中，m表示电子质量，e表示电子伏， r表示x=0时电子运动截面的半径，
v 表示电子在x轴上运动的速率，v 表示电子在x轴上运动的速率，
x y
上式中,const代表任意常数，ω表示电子运动的角速度，α表示电子的振幅，
根据割圆法，得
3 5 7
∞ ∞ π π π
f`(w)=∑η=∑f(tgθ/y)(π- + + )
n=1 n=1 24 1920 80640
3 5 7 ∞ π π π =∑f(tg(π/ny))(π- + + )n=1 24 1920 80640
设
3 5 7
∞ π π π
I =∑f(tg(π/nI ))(π- + + )
3 n=1 2 24 1920 80640
给回旋加速器的振荡电势上面加上上面的电流I 就可以达到聚焦粒子的目的。
3
给直线加速器的振荡电势上面加上上面的电流I 就可以达到聚焦粒子的目的。
3
直线加速器介绍
如图1所示，加速器中间是一系列金属圆管，称为漂移管，漂移管的长度逐渐增长，排列成单数，或双数的漂移管连接在一起，最后形成两组，单数的漂移管用导线连接在一起，形成一组，双数的漂移管用导线连接在一起，形成一组，两组导线接在振荡器的正负极，振荡器上面接上周期振荡的高频信号，加速器里面的粒子只在两个漂移管中间的区域受到电场力的作用而加速前进，粒子在第一个间隙中获得的能量增加是eZV,eZV代表兆电子伏，要使粒子在其他间隙获得相同的能量增加，漂移管的长度不同，电压也不同。所以就需要调节间隙的长度，使粒子在每个间隙获得的能量一样大，也可以调节振荡器的输出电压，使粒子在每个间隙获得的能量一样大，
这个确定管长的电势值V 在正常情况下和振荡器的电压幅值V很接近，
0
不过稍微小一些， 实际上，粒子穿过间隙需要一定时间，而振荡器所供应的电势是在变动着的， 所以加速不是在一个确定的电势值上， 而是在一定范围内的电势值上进行。
如上图2所示，漂移管连在一起，它们通过放电球接入振荡器电路，正当电源通过电容和电感产生振荡信号，两个放电球接入振荡信号两端，它们中间产生放电高压。漂移管间隙电压分别为V ,V ,V ,粒子运动的周期分别是t ,t ,t ,
1 2 3 1 2 3
它们在t ,t ,t 之前是快速上升，它们在t ,t ,t 之后是缓慢上升，
1 2 3 1 2 3
L 是第n个振荡管的有效长度，振荡管是中心有圆孔的金属圆片，
n
加速粒子穿过每个管的时间t必须等于振荡器周期的一般，即
L λ
n
t= = (24.1)
v 2c
n
上式中，v 是粒子通过第n个管的速度，λ是振荡器输出的波长，c代表光速，
n
经过n个间隙的加速后粒子的能量是，
2 m c 0 T +neZV = (24.2) 2 1-β
上式中，T 是粒子入射时的能量，从（24.1）我们知道，eZV代表兆电子伏，n代表常数n
0
m 代表质量，c代表光速，
0
L =β λ/2 (24.3)n n
上式中，β =v /c
n n
根据（24.2），第n个管的有效长度是
2 -2 1/2
L =(λ/2)[1-(nZα+T /m c ) ] (24.4)
n 0 0
上式中，
2
α=eV /m c
0 0
如果加速的是重粒子，则最后总共增加的能量和静止质量比较不大，粒子的射入能量也很小，
2
nZα<<1, Z代表单位兆，T /m c ~1
0 0
(24.4)可化简为
1/2
L =(λ/2)(2nZα)
n
如果加速的是电子，最后总共增加的能量可能比它的静止质量相关的能量大很多，nα>>1,
从(24.4)可以看出，L 接近常数λ/2，这是因为粒子这时的速度已接近于常数（光速c），
n
从（24.5）可以看出，要使加速管总长度减小， 振荡器的频率愈高愈好，要增加粒子的质量， 可以采取增加振荡器的频率和电压以及加速管的节数或加速管的总长度的办法。
关于振荡器的详细内容，可参见《研究辐射的电子学方法》，苏联A.A.萨宁著，科学出版社1958年出版
聚焦问题
直线加速器的相关理论，可参见梅镇岳著《原子核物理学》，科学出版社1961年出版
同时，螺旋加速器中的质子或反质子需要聚焦。经过聚焦的质子或反质子，碰撞后产生的反中子，能量会更高，这样才会产生白洞。所有加速器都有聚焦问题，直线加速器也不能例外， 加速后离子流的大小与离子在加速器中聚焦的情况很有关系，要从直线加速器得到合用的离子束，必须同时有径向聚焦和相聚焦。现在参考图3.9，先来考虑没有到达相对论性速度的离子的径向聚焦，
图3.9表示振荡器输出电压在加速半周时两个漂移管间隙中的电力线， 事实上，电
场形成一个静电镜头， 假设加速电势接近最高的正值V,
这时离子穿过间隙的左方，和管轴成一小角度，同时，假设离子进入间隙时并不处在管轴上，离子受到两方面的加速：受到电场轴向部分的作用沿轴向加速和受到电场径向部分的作用向轴作径向加速， 离子穿过间隙右方时，继续受到轴向加速，可是它同时受到立轴的加速，这两部分径向位移并不互相对消， 因为粒子在左方时花的时间比在右方时多，因而有一个总的向轴的位移，这就是径向聚焦，如果离子通过间隙时，
加速电势正从 V 减小到零， 那时向轴和离轴的径向位移差别加大，
径向聚焦加强，如果离子在加速电势从零增加到 V 时通过，径向聚焦减弱，或甚至完全消失。 注：径向聚焦就是两个漂移管间隙中椭圆形电场线造成的，调节这个椭圆形电场线，使椭圆电场线的弧度变大，就会使径向聚焦加强。这个椭圆形电场线使粒子汇聚到一起，达到聚焦离子的目的。径向聚焦是由于离子在间隙两半的速度差而产生的效应，当离子速度加大而接近于光速时，这种差别减少，因此径向聚焦效应也减弱，只有离子在加速电势从 V 减小到零时，通过间隙才会得到有效的径向聚焦。可惜这和相聚焦的条件相矛盾。加速器设计的电势值V 和振荡器最高电势值~V的关系可用图3.10来表示，
0
在每一个加速半周中，每一个间隙中的电势两次经过设计数值，即相当于图a和a所表示的相位。现在来考虑离子通过间隙时正当加速电势上升的情况，如果粒子到达间隙时的能量比共振能量V 小，它便会迟到，有一个相当于图中c的相位， 0 此时，它会得到比正常情形更多的加速，因而就会逐渐把相位移到V , 0 如果它到达间隙时的能量比共振能量V 大， 0 它便会有一个比V 早的相位b,这时它就得到比正常情形小的加速， 0 因而也会逐渐把相位移到V ，所以，在这种情形下， 0 原来相位接近于V 的离子在通过间隙是趋向于接近V 而集中， 0 0 很明显，离子通过间隙时正当加速电势下降， 相位接近于V 的离子有相位散焦的现象，最后这些粒子就会损失掉。
0
由于相聚焦的关系，可以允许漂移管的长度或加速器其他机械或电磁特性参数有小的误差。离子能自动调整，使它们能从电场获得正好需要的能量值，保持一直和振荡器共振。
注：要实现相聚焦，就需要不断调节振荡器在两个漂移管之间产生的电势场的频率，这个电势场的周期和粒子在加速器里面运动的周期形成整数倍，即形成共振。
质子直线加速器
目前在直线加速器的设计中都用加速器的真空室作为谐振腔，它的振荡方式特性是在轴上所有各点都有轴向振荡电场，现在用一个具体的质子直线加速器作为例子来说明，这个加速器的谐振腔（或真空室）长12米，直径1.2米，振荡功率用28个202.5兆周/秒（λ=1.5米）的振荡器经过腔壁上的28个耦合点接入，这些振荡器由一个主控线路加以同步，振荡器输入功率一般都采用脉冲式，在这个具体例子中，脉冲宽600微秒，每秒重复30次，47个漂移管都安装在谐振腔的轴线上，管间空隙等于管长的三分之一，为了消除离子速度接近光速时径向聚焦和相聚焦间的矛盾，这个加速器漂移管的入口端蒙上金属细网，使管间空隙中的电力线如图3.11所示，
在这种情况下，离子在加速半周的任何时刻通过间隙都会有径向聚焦，而相聚焦的条件不变， 入射的质子先经过静电加速器加速到4兆电子伏，离子的最后能量达到31.8±0.1兆电子伏，在出口处离子束直径大约是3毫米，离子流强度的最大值为16微安，平均为0.25微安，应该注意到，在这种加速器中，全部漂移管间隙中的高频加速电场的方向在任何时间都是一样的，公式（24.1）现在应该改正为：
t=λ/c (24.6)
电子直线加速器
目前广泛的采用直线加速器来加速电子，因为当能量为1兆电子伏时，电子的速率已经是0.94c，即0.94倍光速，所以我们可以把漂移管长度设计成全部相等，它的数值就是（24.6）中的波长λ，注：这个波长等于光速乘以离子在加速器里面运动的周期。入射电子的速度应当最大，一般能量都在几百千电子伏的数量级，电子直线加速器用有圆孔的金属圆片代替漂移管安装在加速管内，这也可以看作是许多谐振腔由圆孔耦合起来，或看作是载有金属环片的圆截面波导，可以设计的使电磁波在其中沿着轴向传布，波的速率从电子的初速增加到光速，电子可以被这个波的电场加速，并随波前进，波导中还可能有其他电磁波，由于它们的速率各不相同，它们对于电子运动的作用的平均值是零，在电子直线加速器的情形中，当电子接近光速时，应当考虑谐振腔内磁场部分的作用，它会抵消电场的聚焦作用，所以，结果是既不聚焦，又不散焦。在加速初期可以另加装置使电子聚焦，有时入射电子的能量相当高，而且已经准直的很好，使可以不用再加径向聚焦的措施，在电子速度很接近光速时，没有相聚焦的作用，在加速初期聚焦的电子受到干扰后，就不会有恢复应有相位的趋向，所以加速器高能部分的机电结构必须十分精确严密，才能使电子有效的加速，电子直线加速器可以设计成能量不很高，但束流很强，可以利用它来产生快速中子，或用来产生强度很大的γ射线作为辐射源，现在已有设计加速到1千兆电子伏的电子直线加速器，它的总长度是67米左右，用21个功率各为20兆瓦左右的2856兆周的振荡器输入功率，目前以实际加速电子到600兆电子伏，除利用它所产生的高能γ射线进行原子核反应的研究外，高能电子可以直接用来研究质子的结构或其他原子核的结构。
直线加速器的优点
聚焦直线加速器中的例子的理论，可参见科学出版社1958年出版，《原子能译丛基本粒子加速器》，
直线加速器的优点是（1）加速粒子可以很容易的从加速器导出，不再受到加速器电磁场的影响，这在装备有磁铁的加速器（如回旋加速器、电子感应加速器等）中是很费力的一件事，而且在导出以后粒子束流量会大大减弱，（2）加速器建成后还可以用增多加速管节数的办法来增大粒子能量，用圆周形加速轨道的加速器就不能这样办，（3）加速器的建造费用加速粒子能量的1次方成比例，而装备有大磁铁的加速器的建造费用则与加速粒子能量的高次方成比例，（4）在加速粒子速度很大时，辐射损耗比圆周形轨道的加速器要小得多，但是用来加速重粒子到高能量的直线加速器将是一个庞然大物，即使不考虑建造经费，维持高真空和聚焦加速粒子也都是很困难的问题。
25.回旋加速器
基本原理
回旋加速器是在原子核物理学研究中广泛应用的一种加速器，它也是很久以来就为大家所熟悉的，与直线加速器的原理相类似， 它利用同一电源把粒子多次重复加速，如图3.12所示：
回旋加速器的高频交流电压加在装置于一个大磁铁的磁极面间的两个金属半圆盒（D形盒）上。我们知道，在均匀磁场中带电粒子的运动轨道是圆形的， 曲率半径ρ可用下面的公式决定：
m vγ
p 0
ρ= = (25.1)
HZe HZe
上式中,m 是粒子质量，V是粒子运动速率，γ是常数，
0
p是粒子的动量，γ是粒子接近光速运动时由于相对论相应增加的质量参数. H代表磁场强度，Ze代表电子伏能量，粒子进入一个D形盒到离开它之间所花的时间
πm γ
πρ 0
t= = (25.2)
v HZe
当粒子的速度不大时，γ≈1,t是一个常数，我们可调整磁场强度或电源频率（f），使振荡器的半周期（1/2f)和加速器的半周期(t)之间存在共振吗，即
HZe t= (25.3)2πm γ 0
这样每当粒子出现在D形盒的间隙中时，电场强度正好使它加速，每次穿过间隙后，粒子就移向相当于它能量增加后的加大轨道，直到最后粒子运动轨道到达磁极面的边缘， 那里有一个静电电势的偏转板可以控制粒子的运动，使粒子打在内靶或外靶上，粒子最后的动能是：
2 2 2 2 2
p ρ H Z e 2 2 2 2
T= = =2π f ρ m (25.4)
2m 2m 0
0 0
对于一定的加速粒子，最后达到的能量与回旋加速器磁铁的半径和磁场强度或振荡器的频率有关，对于一定的磁铁，可用调频的方式来达到共振，
2
粒子最后的动能与Z /m 成正比例。
0
对于质子和α粒子，这个比的数值近似一致，所以它们可以获得同样的能量，通常采用一个较为方便的办法，即把振荡器的频率固定，而调整磁场强度来达到共振，这时粒子最后的动能和m 成比例。
0
当加速粒子的速度增加到一定程度以后，我们就不能把γ当做常数，如果振荡器的频率一定，则离子向外圈运动时，它便逐渐不能及时到达D形盒的间隙，最后终于失去和振荡器的同步关系，在直线加速器中，同步并不成为问题，因为每个漂移管的有效长度都可以调整得能适合相对论方程（25.3），但在目前回旋加速器的情形中，就必须改正磁极面，使得H/γ至少近似的是一个常数，这就要求磁极面靠近边缘的部分磁场强度加强，可是这种磁场强度分布会使粒子束对D形盒中间平面散焦，使粒子流强度大大减弱，事实上，为了使粒子束聚焦，回旋加速器所用的磁场随着磁极面半径的加大而减弱，这样的一个安排和相对论性效应相反的要求限制了普通回旋加速器中加速粒子所能达到的能量，
2
如果被加速的是氘核（H )，最大能量可以达25兆电子伏左右，很明显，用普通回旋加速器来加速电子不是最合适的，因为电子在较低能量就以达到相对性速度。
聚焦
对于回旋加速器，也需要考虑粒子束的聚焦问题，必须有一定的机制使粒子趋向于在D形盒的中间平面运动，才能获得聚焦的粒子束，首先是电场的聚焦，这和直线加速器的径向聚焦情况类似，不过目前的情况不是向轴，而是向平面聚焦，在D形盒间隙中的高频电场形成一个静电镜头， 在粒子的速率加大或它的运动轨道半径加大，这种聚焦的效应减弱，实际上，在运动轨道半径等于最大值的1/3到1/2时便已经失效，根据计算，在回旋加速器的情形中，由于粒子穿过D形盒间隙时正当加速电势减低那种情况所产生的电场聚焦，比由于粒子在D形盒间隙进口端和出口端速率的差别所形成的聚焦更为重要，另一种对中间平面的聚焦作用来自磁场的边缘效应，这在粒子运动轨道半径加大时有效，从图3.13可以看到，
在磁场边缘附近有一个把粒子推向中间平面的分力，可以故意把边缘附近的磁场减弱，加深磁力线的弯曲度，以增强这个效应，这样，磁场强度便不再是常数，在接近磁场边缘的地方不能满足共振条件，加速后粒子的能量要小于方程（25.4）所要求的，而且，粒子的相对论性效应的质量增加也有和加深磁场边缘效应相同的破坏共振条件的倾向，使情况更差一些，不过由于它能增强粒子流，实践上，还是采用减弱边缘磁场的办法，一般把磁极面中央的磁场选得比共振磁场强一些，边缘磁场比共振磁场弱一些，事实上由于电场和磁场的聚焦作用，加速粒子在回旋加速器中旋转向外运动的同时，有一个铅直的上下振动，电场作用的振动幅度随粒子运动轨道半径而增大，好在经过短时间的加速后，聚焦就以磁场作用为主，那时振动幅度也就随着粒子接近磁场边缘而减小。
相稳定
我们可以来看一下回旋加速器中粒子运动轨道的相稳定问题，由于磁场强度在接近磁极面边缘时自内向外逐渐减弱，再加上粒子质量相对论性增大的影响，粒子向外旋转式便逐渐不能满足共振条件，假设磁场是圆周对称的，对于一定的粒子运动轨道半径，磁场强度有一固定值，在这一轨道上运动的粒子有一定能量和相对论性质量，因而根据（25.2），也就有一定的半周期t, 只有在一个合适的半径上，t值才会和振荡器的周期t 相等，
0
如果有一个在这个半径值上运动的粒子恰巧在间隙中电势等于零时通过D形盒间隙，因为处于共振中，他将继续不断的在这个半径值上运动，这是一个相稳定的轨道。现在参照图3.14所示的D形盒间隙中的电势变化，假设粒子到达间隙时间稍早，并且是在a附近，而不是在c附近，此时它将受到加速，加速后它的质量会发生相对论性增大，同时他将进入一个半径较大的运动轨道（哪里H值减小），这两种效应都使离子的半周期增大，因此，它到达下一个间隙的时间就要延迟，由于类似的原因，迟到的粒子的半周期会减小，因而它到达下一个间隙的时间会提早，这样，粒子就能逐渐准时的到达间隙，这就是粒子运动轨道的相稳定，也就是相聚焦，应该注意到，在回旋加速器的情形中，相聚焦要求离子经过间隙时正当加速电势下降，这恰好与直线加速器要求相反，如果粒子经过间隙时正当加速电势上升，也就是图3.14的c附近，则会发生相聚焦，相稳定的轨道倾向于把相位和轨道半径略有差别的粒子聚集在一起运动，实际上，粒子将在相位上，垂直方向上和径向上围绕着稳定轨道振动。
回旋加速器的特点
回旋加速器可以产生很强的加速粒子流，在加速器内部可以得到1毫安的粒子流，导出的粒子流也能达到50毫安左右，它对于研究核反应、产生中子和制备放射性同位素都很有用，表3.1列举一个大型回旋加速器的一些特性。
表3.1一个大型回旋加速器的特性
磁铁重 400吨
铜线重 27吨
磁极面直径 225厘米
加速氘核到25兆电子伏的功率 60千瓦
最大功率 240千瓦
最大轨道半径 90厘米
加速氘核到25兆电子伏的磁场 11500高斯
最大磁场 18000高斯
振荡器频率 8.7兆周/秒
振荡器功率 230千瓦
D形盒间隙电压 200千伏
能量 25兆电子伏（氘核）
粒子流（内部） 300毫安
第二部分加速器原理
下面内容，可参见梅镇岳著《原子核物理学》，科学出版社1961年出版
26.同步回旋加速器
上面已经谈到过，由于粒子聚焦的要求，回旋加速器磁极面边缘磁场要特别的削弱，再加上被加速粒子的质量的相对论性增加，粒子再加速到一定程度以后就不能满足共振条件，回旋加速器所能加速的能量因此受到限制，我们可以利用粒子运动轨道的相稳定来解除这个限制，这就是使稳定轨道的半径周期地从内向外增大，在同步回旋加速器（或称调频回旋加速器）的情形中，这种稳定轨道的周期性膨胀是依靠振荡器频率的周期性改变来产生的，在同步稳相加速器的情形中，则依靠磁场的周期性改变来产生。在回旋加速器中稳定轨道上运动的粒子的半周期与振荡器的半周期相等，如果把后者适当减小或把把它的频率充分加大，稳定轨道的半径便可以尽量缩小，根据（25.3），频率的最大值f 应该是
0
H Ze 0 f = (26.1)0 2πm0
其中H 是离子源所在地方的磁场， 使振荡器频率逐渐从f 减低到f -△f,
0 0
这时稳定轨道半径必须相应地增加，由于相稳定作用，粒子回旋向外运动时依旧保持聚集在一起的情况。如果频率是很慢的减小的，聚集在一起的粒子经过间隙的时间只比相稳定情况所要求的（见图3.14）在相位上稍微早一些，它才能得到必要的加速，如果振荡器频率改变的比较快，相稳定b点会接近加速电势的最大值，b点对于交叉点a的相对位置可用相位角φ来描述，振荡器频率减弱的速率越快，同步相位角φ的值愈大，每周粒子能量的增加便越大，粒子到达一定半径的运动轨道所需要回转的圈数也就愈少，同步相位角的数值应该使粒子每周能获得足够的能量，使它的频率能与振荡器的相配合。因为在同步回旋加速器的情形中，不存在本节开始时所谈到的限制，所以，用不十分高的电势加在D形盒间隙，便可以得到高能加速粒子，但是粒子在同步回旋加速器中旋转的次数要比在同样的回旋加速器中增多，同步回旋加速器对于D形盒中间平面聚焦的要求可以放松一些，因为它主要依靠运动轨道的相稳定来获得聚焦的粒子束，和低能直线加速器的情形一样，对于一些设计参数的要求在一定程度上可以放宽一些，例如振荡器频率改变的速率或改变的限制都并不需要严格的加以控制。实际上振荡器的调频可以用一个转动的可变电容器连在振荡器的储能线路上来进行，当振荡器的振荡波长和D形盒大小同一个数量级时，为了使得沿半径各点的加速电压均匀，同步回旋加速器采用单个D形盒，加速电压加在这个D形盒和接地外壳之间，如图3.15所示。
同步回旋加速器输出的粒子束形成脉冲，振荡器没扫频一次，就有一个脉冲输出，要得到比最高能量低的加速粒子，可以调节安装在D形盒对面的内靶位置，由于粒子流具有脉冲形式，平均粒子流强度是弱的，平均内部粒子流为毫安的数量级，粒子流的导出比回旋加速器要费事的多，流量很小，目前世界上最大的这种类型的加速器是莫斯科近郊联合原子核研究所的680兆电子伏质子同步回旋加速器，现在把它的主要性能列于表3.2
表3.2杜布纳联合原子核研究所680兆电子伏质子同步回旋加速器性能
加速器总质量 7000吨
磁极面直径 6米
磁极间隙 60厘米
中心磁场强度 16600高斯
D形盒电压 15千伏
每秒脉冲数 ~100
振荡器频率 26.5-13.6兆周/秒
加速质子能量 680兆电子伏
平均粒子流 0.2-0.3毫安
注：同步回旋加速器和直线加速器聚焦电子的方式相同，它们都是通过改变振荡器的频率来改变粒子在加速器中运动的周期， 来使粒子和振荡器达到共振，进而达到相聚焦的目的。
27.电子感应加速器
基本原理
电子感应加速器是用来加速电子的，它利用电磁铁中磁通量的改变来加速电子，同时把电子的运动固定在一定的轨道上，电子沿着轨道转动时受到的平均力等于电磁场所做的功除以经过的距离2πρ，从另一方面说，这也就是动量的变化率：
e(△φ/△t) △p △(Beρ)
= = (27.1)
2πρ △t △t
这里△φ/△t等于感应电压，ρ是电子运动轨道的半径，p是它的动量，假设ρ是常数， 把有限的增加作为微分看待， 那么，在两个时间t 和t 之间取积分，我们就可以得到，
1 2
2
φ(t )-φ(t )=2πρ [B(t )-B(t )] (27.2)
2 1 2 1
如果在所有时间内通过电子运动轨道的磁通量和在轨道上的磁感之间有下面关系：
2
B(t)=φ(t)/2πρ (27.3)
条件27.2可以自动满足，把电磁铁的磁极面加以修正，使接近边缘部分的磁感很快减弱，在这样的磁极间隙中可以找到一个符合（27.3）的要求的运动轨道。实际上，电子感应加速器所采用的电磁铁的截面大致如图3.16所示，从27.3可以看到，电子运动轨道内的平均磁感等于轨道上磁感的两倍，中间部分密集磁通的形成依靠磁极面的修正和放在中间的磁导很大的材料做成的圆块，电子运动轨道的位置处在磁极间隙中的环状真空室内， 磁铁由硅钢片构成，每秒激磁几百次， 激磁电流在一定方向从零增加到最大值时，电子受到加速。
电子束的入射和导出
对于电子加速器而言， 如何使低能量电子入射到运动轨道中去和把加速后的电子从轨道中导出是一个很关键的问题， 电子的入射问题可以利用加速器中电子运动轨道的径向稳定性来解决，一个靠近平衡轨道入射的电子，经过感应磁场的加速后，会逐渐趋向这个轨道，它会在轨道所在的平面振荡，但是在加速的过程中振幅愈来愈小，要解决电子从运动轨道导出的问题，可以在一个合适的时间破坏（27.3）所示的条件，这时电子就被迫移到别的轨道上运动，可以突然在绕在磁铁中心部分的扩大电子运动轨道的线圈中通一大电流，这会使φ突然增加，根据（27.3），稳定轨道的半径也应该同时增大，要留意到， （27.3）中
2
的B以比1/ρ小的变化率随着ρ的增大而减小，所以因子ρ 起着决定性作用，轨道半径能随着磁通量而增加，可以使在扩大的轨道上运动的电子打在靶上而产生高能X射线，从靶子射出的X射线形成一个几度宽的向前锥体，能量愈大，射线愈集中，电子运动轨道的扩大可以在加速周期中的任何时刻进行，所以，电子感应加速器可以作为能量可连续改变到一定最大值的X射线源，直接把电子从加速器导出较为困难。
电子的能量
我们可以来估计一下电子可能从加速器获得的能量，一般在磁场开始增强时，从电子枪向希望到达的轨道射入60千电子伏左右的电子，当磁场增强时，电子获得的动能是
△φ e△φ
△T=e = (27.4)
△t 2πρ/v
因为电子在加速器中的运动速率接近光速c, 所以在（27.4）中可以用c来代替v, e代表电子伏，即一个电子（所带电量为1.6*10-19C的负电荷）经过1伏特的电位差加速后所获得的动能。 在激励电流上升的四分之一周中，磁通量是从φ 增加到φ ，
1 2
电子所得到的能量是：
ec
T= (φ -φ )=(B –B )ρce (27.5)
2πρ 2 1 2 1
所以，电子所能得到的能量受到运动轨道的半径和轨道上的磁感的最高值的限制。
轨道稳定问题
在电子感应加速器中， 电子运动轨道的稳定问题和加速粒子做圆周运动的其它加速器（例如回旋加速器或同步回旋加速器等）中的稳定问题一样，对于运动轨道的径向稳定问题也是采用随着半径的增加而减弱的磁场来解决的。事实上，运动轨道的径向和轴向稳定的问题，可以很明确的加以分析，在平衡的轨道上运动的电子的离心力应与磁场的向心力相等。
pv
-evB =0
ρ z
0
这里ρ 是平衡轨道半径，B 是磁场强度的z分量，假设电子在中间平面内有径
0 z
向位移，它的瞬时径向位置成为ρ +x, 且x小于ρ 很多（见图3.17），这时电子所受
0 0
到的力是：
Ә B ӘB B
pv z z z
f = -ev(B + x)≈-ev( + )x (27.7)
x ρ +x z Әρ Әρ ρ
0 0
在（27.7）中已用方程（27.6）来消去pv, 事实上（27.7）可以改写成
evB
z
f =- (1-n)x (27.8)
x ρ
0
这里
Ә B / ðρ
z
n=- (27.9) Ә表示偏微分符号
x B /ρ
z 0
是一个磁场强度的参数，它代表在运动轨道上磁场强度的变化，如果n<1,f 的值是负的，
x
这表示作用力和位移x方向相反，电子的径向运动方程可以写成
2
d x evB
z
m γ + (1-n)x=0 (27.10)
0 2
dt ρ
0
这里
1
γ=
2
1-β
中考虑了电子沿着轨道运动的速度，但是略去了它的径向运动速度，如果我们用
vω = 0 ρ 0
代替evB /p, (27.10)又可以改写成
z
2
d x 2
+ω (1-n)x=0 (27.11)
2 0
dt
事实上，这是一个简谐运动的微分方程，x的简谐变化有一个角速度ω
ρ
1/2
ω =ω (1-n) (27.12)
ρ 0
对于垂直方向或轴向的运动，我们可以进行类似的分析，在中间平面磁场只有垂直分量，所以它在垂直方向不起作用，但是由于磁场不均匀，有一个小的径向磁场在中间平面的上下，径向磁场的近似公式是
Ә B Ә B
ρ z
B = + z (27.13)
ρ Ә z Әρ
这里最后的形式根据
Ә B Ә B
z ρ
=
Әρ Ә z
可以从麦克斯韦方程
×B=0
推导出来（在电子运动一周的过程中磁场可以看作是静止的），垂直方向作用于电子的力的形式是
Ә B nevB
z z
f =evB =ev z=- z (27.14)
z ρ Әρ ρ
0
当n>0时，作用力和位移反向，由于与讨论径向运动时相同的理由，我们知道，z方向的简谐运动角速度是，
1/2
ω =n ω (27.15)
z 0
因此，要达到运动轨道的径向的和轴向的稳定，参数n必须满足条件
1>n>0 (27.16)
n值大于零愈多，轴向聚焦力愈强，n值小于零愈多，径向聚焦力愈强，上面的分析显然可以应用在其他装备有磁场的、加速粒子作圆周运动的加速器上，因为在电子感应加速器中加速是连续的，相聚焦的问题可以不用考虑。注：上面的分析也适用于回旋加速器加速质子或反质子，它们的轨道稳定也可以用上面的方法计算。因为, 垂直方向作用于电子的力的形式是
Ә B nevB
z z
f =evB =ev z=- z (27.14)
z ρ Әћρ ρ
0
因为, 推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》
-mp t -mp t n n+1 ћ x ћ x
B=c e sinπn +c e sinπ(n+1)
n a n+1 a
上式中, B 表示垂直方向上的磁场, c 表示n位置的粒子位置的概率,c 表示n+1
z n n+1
位置的粒子位置的概率, m代表电子质量，p 代表电子在n位置时的动量，p 代表
n n+1
电子在n+1位置时的动量，a代表粒子不受力作用的x轴坐标，x代表粒子的x轴坐标，c 表示n+1位置的粒子位置,p 代表n+1位置的动量,
n+1 n+1
2 2 ћ π 2E = n n 2 2ma 2 2 ћ π 2E = (n+1) n+1 2 2ma
m为电子质量，a为电子运动时的加速度，n为电子数量，给回旋加速器外加磁场B 可
z
以达到聚焦粒子的目的,
电子感应加速器的用途
利用电子感应加速器进行原子核物理研究时，多半采用使加速电子撞击内靶产生X射线的办法，高能X射线对于研究光致核反应和制备必须由光致核反应产生的放射性同位素特别有用，显然，高能X射线在辐射治疗和其它辐射应用上也是非常有用的。
28.同步稳相加速器
要用回旋加速器的原理把粒子加速到相对论性速度，首先必须解决振荡器的频率和粒子在轨道中运动的频率相配合的问题，在同步回旋加速器的情形中，这是依靠变更振荡器频率的办法来解决的，但是，如果要把粒子加速到接近于光速，振荡器频率所需要改变的百分比会超出实践的可能，在这种情形下，我们可以保持振荡器频率不变，而改变磁场强度，这种改变可能是永久地修改磁极面的形状和装备补偿线圈，使它能同时维持共振条件和聚焦条件，这对于磁极面的机械加工提出了很特殊的要求，并且，有时还必须加补偿线圈，所谓三叶草磁极而回旋加速器就属于这种类型，它的优点是振荡器和激磁电源都不复杂，而离子流强大，其缺点除磁极面加工困难外，还有所需的磁铁重量很大的问题，这种加速器目前正在试制阶段。另一种改变磁场强度的办法是时间上的改变，这就是同步稳相加速器所采用的办法. 当粒子质量增加时，它的角速度或频率降低，但如果能同时使磁场强度适当地增大，它便能维持粒子的角速度不变，
ω=c/ρ (28.1)
且几乎不变，（28.1）说明，粒子的运动轨道近乎不变，粒子可以用相当快的速度入射到轨道中去，这样轨道半径虽然不是常数，但变动也会很多，需要磁场作用的地方只是一个环状而不是一个圆面积的区域，因此可以节省很多磁铁。加速电子用的同步稳相加速器一般装有瓷的环状真空室，真空室的内、外都镀银，它用作加高频电压的谐振腔，加在银镀面间隙间的电压使经过间隙的电子加速，通常在加速电子的开始阶段，利用电子感应加速器把电子先加速到接近光速（1到2兆电子伏），所以，还需要一些导磁铁块连在环状磁铁内部，以满足电子感应加速的要求，但是，即使这样，比起一个同样能量的电子感应加速器来，也还是可以节省很多磁铁，目前已建成的加速电子到几百兆电子伏的同步稳相加速器已经相当多，也已建成加速电子到1千兆电子伏以上的同步稳相加速器。用同步稳相加速器可以把质子加速到千兆电子伏的数量级以上，杜布纳联合原子核研究所内装备有加速质子到10千兆电子伏的同步稳相加速器，质子先在静电加速器内加速，然后射入直线加速器，在直线加速器内加速到8.5-9兆电子伏以后，质子就入射到同步稳相加速内去加速，因为这时质子的速度还和光速相差很多，经过一个固定轨道所需要的时间还是会改变的，所以在同步稳相加速器中，不仅需要随时间而增大磁场，而且还需要在大范围中调频来保持粒子运动轨道半径接近于常数，这个加速器的环状磁铁的直径达到72米，总重达36000吨，无论从大小、重量和加速质子的能量来看，都应该把它看作一个宏伟的工程成果。近年来还有利用强聚焦原理设计同步稳相加速器来把粒子加速到更大能量的，所谓强聚焦是把加速器中环状磁铁各节的磁场梯度的符号安排成正负相同，这样安排便可以应用很大的磁场梯度[(27.9)所确定的n≈3600]。我们在27中已谈到，在梯度均匀的加速器中要求n<1, 否则，粒子束就会散焦，交叉磁场梯度符号的方法可以大大改进粒子运动轨道的径向的和轴向的稳定性，这就能使真空室的截面积缩小，也就是节省磁铁，降低加速器的造价。
第三部分 加速器聚焦
下面内容可参见科学出版社1958年出版，《原子能译丛基本粒子加速器》
《用横断透镜系统来使直线加速器中的粒子束聚焦的理论》苏联，沙尔沙诺夫(A.A.Шаршанов)著，本文系1956年5月全苏高能粒子物理会议上斯捷班诺夫(к.н.сгепанков)与沙尔沙诺夫(A.A…Шаршанов)报告的一部分。
二个在互相垂直方向交替地使束聚焦与散焦的横断面透镜系统的作用的探讨是与系数有周期变化的二级线性微分方程式的研究有关。假定外间磁场在空间的变化是周期性的，而且将粒子的加速以及粒子所造成的空间电荷的影响不考虑在内的话，那么便可得到上述方程式。由于粒子的加速与外界磁场的偏离周期性，运动方程式虽然还是线性的，但不能看作有周期变化系数的方程式。但是在一定条件下可以认为决定系数的参数是沿着加速器慢慢地变化的。空间电荷影响的考虑可归结成为有周期性系数的非线性方程式的研究。在这篇文章里研究周期性系数的与渐渐偏离周期性的系数的二次线性方程式以及考虑空间电荷影响而得来的有周期性系数的非线性方程式。我们采用了将上述方程式与较简单的有常数（或接近常数）系数的方程式相互比较的方法。所需的解与简单的方程式的解只在相隔等于系数的周期的那些电上相符合。非线性方程式只能近似地与简单方程式比较。现在来研究方程式
2 d y 2 +Ω (x)y=0, (1) 2 dx 2
这里Ω (x)是周期为T的周期性函数。
下面的求解过程是使用线性逼近法求解，
将x变化的区域划分成长度等于一个周期的间隔，即
-∞<…<-x <x <…<∞
i i+1
x -x =T(i=…-2,-1,0,1,2,…) (2)
i+1 i
在x=nT处的方程式（1）的解（这里n可以是任意正负整数）可表成
y(nT) y (T),y (T), y(0)
( )=( 10 01 )``( ) (3)
y(nT) y (T),y (T) y(0)
10 01
这里y (x)与y (x)是适合于下列起始条件的线性的独立解；起始条件是
10 01
y (0),y (0), 10 01 (4) } y (0),y (0)
01 10
若引入
y (T)+y` (T) 10 01cosα= (a>0) 2 y` (T) 10 ω= sgn y (T) (sgn z≡│z│/z) y (T) 01 01 y (T)-y` (T) 10 01η= } （5） 2y (T)01 αζ= 2 2 ω -η sgn y (T)01
上式中，sgn表示阶跃函数，即函数的正负号由sgn决定，
例如：sgn z≡│z│/z,
sgn y (T)=│y (T)│/y (T)01 01 01
y (T)表示函数在第0行第1列点的取值，y (T)表示函数在第1行第0列点的取值
01 10
并考虑到下列关系式能满足的话，
y (T)y (T)-y (T)y (T)=1
10 01 01 10
那么（3）式中行列的元可写成下列形式：
n
-ηξ 2 2 -ηξ 2 2 η 2 2 e sin ω -η ξ e [cos ω -η ξ+ sin ω -η ξ], 2 2 2 2 ω -η ω -η
-ηκξ y(nT)
e ( )=
y`(nT)
2 -ηξ 2 2
ω e sin ω -η ζ -ηξ 2 2 η 2 2
,e [cos ω -η ξ+ sin ω -η ξ]
2 2 2 2
ω -η ω -η
y(0)*( ) (6)
y`(0)
2
这个式子的右半边是具有常数η与ω 的微分方程式
2
d y d y 2
+2η +ω y =0, (7)
2 2
dζ dζ
当起始条件是
d y (0) dy(0)
y (0)=y(0), = 时
dζ dx
在ζ=nζ地方的解。上式中，ζ表示x的正整数取值， y 表示y的加权平均值，我
2 2
们注意到η和ω 不单与依靠(2)式来划分的点的选择有关而且与Ω (x)的形状有关，
2
有可能Ω (x)合乎对称条件：
2 2
Ω (x +δ)=Ω (x -δ) (0≤δ≤T/2) (8)
i i+1
可以证明这时y (T)=y` (T),因而η=0, 从（6）式可以容易得到下式
10 01
y(nT)=Asin(nα+φ)
此处
2 2 [y(0)η+y`(0)]A= y (0)+ 2 2 ω -η 2 2 y(0) ω -ηtgφ= ηy(0)+y`(0)
现在来探讨方程式
2
d y 2
+Ω (x)y=0, (9)
2
dx
2
此处Ω (x)是近于周期性的函数，用x (i=…-2,-1,0,1,2…)将x的变化区域分成能
0
将T 看作是函数的变化着的周期的x -x =T 各段。
i i+1 i i
对每段按下列式子引入α ,ω ,η 各个量：
i i i
i i` y (x )+y (x ) 10 i+1 01 i+1 cosα = 2 i` y (x ) 10 i+1 iω= sgn y (x ) i 01 i+1y (x ) 01 i+1 i i` y (x )-y (x ) 10 i+1 01 i+1η = i i 2y (x )01 i+1 α iζ = i 2 2 i ω -η sgn y (x )01 i+1
i i i i
这里y (x),y (x),y (x),y (x)是方程式(9)的线性独立解与其微商，并适合于起始条件
10 01 10 01
i i`
y (x )=1,y (x )=0;
10 i 10 i
i i` y (x )=1,y (x )=0; 01 i 01 i
注：微商就是导数，
若考虑下列关系式能满足的话
i i i i
y (x )y (x )-y (x )y (x )=1
10 i+1 01 i+1 01 i+1 10 i+1
n-1
那么方程式（9）当x = ∑ T 时的解可能写成下式：
n i=0 i
n-1
-∑η ξ
i=0 i i y(0)
e ( )=
y`(0)
-η ξ n
i i 2 2
-η ξ η e sin ω -η ξ
i i 2 2 i 2 2 i i i
e [cos ω -η ξ + sin ω -η ξ ],
i i i 2 2 i i i 2 2
ω -η ω -η
n-1 i i i i
∏= -η ξ
i=0 i i 2 2
ω e sin ω -η ζ
i i i i -η ξ η
i i 2 2 i 2 2
,e [cos ω -η ξ + sin ω -η ξ ]
2 2 i i i 2 2 i i i
ω -η ω -η
i i i i
y(0)*( )
y`(0)
2
这个式子的右半边是具有跳跃变化系数η(ζ)与ω (ζ)的方程式
2
d y d y 2
+2η(ζ) +ω (ζ) y =0, (10)
2 2
dζ dζ
当起始条件是
d y (0) dy(0)
y (0)=y(0), = 时
dζ dx
n-1
在自变量ζ=∑ ξ 处的解。
i=0 i
假使在每一区间(x ,x )中函数Ω (x)是符合于(8)那样对称于中心的话，
i i+1
2
那么η(ζ)≡0, 因为系数η(ζ)与ω (ζ)是慢慢变化着的跳跃函数，所以将它们换做近似于它们的平滑变化函数时，方程式(10)的解变化不大。但是那样一来在满足一定条件下便可以采用准经典式近似方法或其他方法来解方程式。
2
假定将η(ζ)与ω (ζ)换成平滑变化函数后，
ζ -∫ ηdζ0
令y =e ,代入方程式(10)，那么可得u的方程式
2d u 2+χ (ζ)u=0 (11) 2 dζ
2 2 2
这里χ =ω -η -dη/dζ，若用准经典式近似法，则可得u的解
-1/2χ (ζ)
u=A sin(∫χdζ+φ)
-1/2
χ (0)
式中
2
2 [η(0)y(0)+y`(0)]
A= y (0)+
2 2
ω (0)-η (0)
} (12)2 2 y(0) ω (0)-η (0)
tgφ=
η(0)y(0)+y`(0)
n- 1
为了从这个式子得到方程式(10)在x= ∑ T 处的解，
i=0 i
n-1
要找到 y 在ζ=∑ ξ 处的解并将它除以
i=0 i
n-1 -∑ξ η ζ i=0 i i - ∫ ηdζ e ≌e 0
结果可得到
-1/2
χ (x) dζ
y(x)=A sin( ∫ χ dx+φ) (13)
-1/2 dx
χ (0)
从这里可以导出振幅变化的规律
χ(0) [η(0)y(0)+y`(0)]
y (x)= y (0)+ (14)
χ(x) 2 2
ω (0)-η (0)
在工作中应用了上述式子来研究具体的聚焦系统。 现在来研究空间电荷对近轴的、无穷的、连续的粒子束运动的影响。我们将推演简单聚焦系统的运动方程式。这个系统是由彼此紧密连接的相同的磁四极矩透镜所构成。这种计算法可以不经本质上的变动而应用到复杂的聚焦系统上去。 假定在一个磁四极矩透镜中磁场是
H =0,H =H z,H =H y (15)
z y 0 z 0
而在相邻的透镜中
H =0,H =-H z,H =-H y (15) z y 0 z 0 这里H 是磁场梯度，x轴是聚焦系统的轴。不考虑空间电荷的话，在这样场中一个近轴 0 粒子在xOy与xOz平面中的运动方程式是有周期性系数的线性方程式。假定这个方程式的解是稳定的即│cosα│<1(参见（5）式）。此外又假设α近于零。在(15)及(15)式所规定的磁场中，束不可能具有轴对称，但能对xOy与xOz平面对称。假定这样的对称存在，并且在任何一x值处束的截面式椭圆形（其中轴为x的函数）。再假设粒子全部时间处在外层并以起始条件y(0)≠0,y(0)≠0,而z(0)=0与z(0)=0为表征。这情况下粒子在xOy平面内运动。假定起始条件是y(0)=0,y(0)=0,而z(0)≠0,z(0)≠0, 那么粒子将在xOz平面内运动。假定在束中有这些粒子存在。我们来探讨x坐标相等的这二种粒子。为它们推演运动方程式。对在xOy平面中运动的外层粒子来说，在一个透镜中的运动方程式是
mdv /dt=eE +eH yv /c;
x x 0 y
mdv /dt=eE +eH yv /c;
y y 0 x
这里x,y是粒子的座标；E 和E 是空间电荷产生的场的分量。因为束是近轴的，
x y
也就是说它的横断方向尺寸很小而且速度的横向分量比纵向的小得多，所以可以略去方程式中E 与yv 那些量。那么从第一式得v =常数，而从第二式
x y x
2 2 2
d y/dx +eH y/mcv =eE /mv , (16)
0 x y x
对在xoz平面中运动的外层粒子来说
2 2 2
d y/dx +eH z/mcv =eE /mv , (17)
0 x z x
这里x是粒子的座标，现来算一下分量E 与E ,
y z
从上述假设可以认为它们等于电荷均匀分布的椭圆面的圆柱体在那些点上所产生的电场强度：
E =4πρzy/(y+z),E =4πρzy/(y+z),
y z
这里y与z是半轴，而ρ是电荷密度（我们假定ρ只与x有关而与yz无关）。
2
因为ρπzy=ρ s ,式中ρ 是在x=0处电荷密度，而s =πr 是当x=0时的截
0 0 0 0
面积，所以
2 2
E =4πρ r /(y+z),E =4πρ r /(y+z), (18)
y 0 0 z 0 0
将E 与E 代入(16)(17)式并将方程式推广到x变化的全部区域内，
y z
可得下列联合方程式：
2 d y 2 q+Ω (x)y= 2 y+zdx } （19）2 d y 2 q-Ω (x)y= 2 y+zdx
这里对一个透镜来说
eH
2 0
Ω =
mcv
x
对另一个来说
eH
2 0
Ω =-
mcv
x
2 4πρ e 4Ie0
q= = 2 2mv mcv x x2
(I是束流）, 这样，问题便归结成研究Ω (x)是周期函数，而q=常数的联立方程式(19)。
2 2
在更复杂的系统中Ω (x)更复杂了。因此我们假设系数Ω (x)只适合式(8)所规定的对称条件来研究较一般的情况。将(19)式写成等效的联立积分方程式：
qy (x)dx qy (x)dx x 10 01
y(x)=y(0)y (x)+y(0)y (x)+y (x)∫ -y (x) ∫ 10 01 01 0 y+z 10 y+z } (20) qz (x)dx qz (x)dx x 10 01 z(x)=z(0)z (x)+y(0)z (x)+z (x)∫ -y (x) ∫
10 01 01 0 y+z 10 y+z
这里y (x)，y (x),z (x)与z (x)是当方程式(19)没有右半边而且起始条件适合式（4）
10 01 10 01
时的线性独立解。显然，假定把同这些解近似的函数代入方程式(20)，那么y(x)与z(x)不会变得很厉害。由于假定α是小的，这种近似函数是函数
y (x), z (x),α y (x)/ω T,α z (x)/ω T,
10 10 01 1 01 2
它们适合方程式
2 2
d y α
+ y =0, (21)
2 2
dx T
与起始条件
y (0)=1, y `(0)=0;
10 10
ω T 1
y (0)=1, y `(0)=
01 01 α
z (0)=1, z `(0)=0;
10 10
ω T 2
z (0)=1, z `(0)=
01 01 α
这里T是函数Ω(x)的周期，而
y` (T) 10
ω = - sgn y (T)
1 y (T) 01
01
}（22）
z (T) 10 ω = - sgn z (T) 2 z (T) 01 01 将这些函数代入方程式(20)后得到联立积分方程式 q y (x)dx α α x 10 y (x)=y(0) y (x)+y(0) y (x)+ y (x) ∫
10 ω T 01 ω T 01 0 y + z
1 1
αq y (x)ω T1
-y (x) ∫
10 y + z
} (20)
q z (x)dx
α α x 10
z (x)=z(0) z (x)+z`(0) z (x)+ z (x) ∫
10 ω T 01 ω T 01 0 y + z
2 2
αq z (x)ω T2
-z (x) ∫
10 y + z
这联立方程式相当于有起始条件是
α
y (0)=y(0), y (0)= y(0);
01 01 ω T
1
} (23)
α
z (0)=z(0), z (0)= z(0);
01 01 ω T
2
的联立方程式。
2 2
d y α α q
+ y =
2 2 ω T y + z
dx T 1
}(24)
2 2
d z α α q
+ z =
2 2 ω T y + z
dx T 2
(24)式是容易解出来的。令u= y + z ,v=ω y -ω z ，则它成为
2 2
d u α αq 1 1 1
+ u = ( + )
2 2 T ω ω u
dx T 1 2
} （25）
2 2
d u α
+ u =0
2 2
dx T
假定在座标系统开始处束截面是一个半径是r 的圆而且在截面中束的速度平行于x轴，
0
那么u的起始条件变成了：u(0)=2r ,u`(0)=0，将式(25)的第一式积式得：
0
αx dη
+const=∫ T 2 1-η +βlnη
这里
u 2qT 1 1
η= , β= ( + )
2r 2 ω ω
0 αu (0) 1 2
上式中,const代表任意常数，ω表示电子运动的角速度，α表示电子的振幅，q表示电子波
2
的波数量，当x增加时η的值将在方程式1-η +β lnη=0的根中间摆动。这个方程式的一个根是η=1，另一个根随β的值不同而处在0<η<1间隔中或在1<η<∞间隔中。当β=2时二根重合，因为β与电流值有关，所以可以说当电流从零增加到某一个为β=2所决定的值I过程中，u的极大值保持不变而等于2r ,u的极小值从零升到2r ,
0 0
再增加电流时u的极小值维持不变，而极大值由2r 增加到∞。
0
当β=2时对上述聚焦系统而言电流值是
3 2 mv r α x 0
I=
1 1
eT( + )
ω ω
1 2
从（25）式的第二个方程式可以看出具有摆动的性质。上述从空间电荷的影响所引出的结论符合与工作。上式中，m表示电子质量，e表示电子伏， r表示x=0时电子运动截面的半径，v 表示电子在x轴上运动的速率，
x
上式中,const代表任意常数，ω表示电子运动的角速度，α表示电子的振幅，同理可证：
3 2
mv r α
y 0
I =
1 1 1
eT( + )
ω ω
1 2
因为,x轴和y轴垂直，根据勾股定理，
3 2 3 2 mv r α mv r α 2 2 x 0 2 y 0 2
I = I +I = [ ] +[ ]
2 1 1 1 1 1
eT( + ) eT( + )
ω ω ω ω
1 2 1 2
给回旋加速器的振荡电势上面加上上面的电流I 就可以达到聚焦粒子的目的。
2
给直线加速器的振荡电势上面加上上面的电流I 就可以达到聚焦粒子的目的。
2
参考文献
[1]K.H.Cгепов，А.А.Шаршанов:Амомнап знергцп 2，178（1957）
[2]A.M.Clogston,H.Heffner:J Appl. Phys. 25,437(1954）
[3]P.K.Tien:J.Appl.Phys.25,128191954）
第四部分 基础量子论
推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》
22.一个自由度的对应原理
我们现在要谈到对量子论起决定作用的一点，波耳第一公设（用不够普遍的说法）说，原子具有分立的能级E ,E ,E …，第二公设把能级与发射频率和吸收频率连接起来，
0 1 2
两公设联合一起，就能从原子发射的光谱中，推论出原子可能有的能量，然而要从原子模型中算出这些数值，这两公设还嫌不足，波耳的对应原理，便是一个这样的工具，当我们（在21节中）用量子论解释光谱时，已知道了这原理的轮廓，对于粗大的物体，经典理论应当是正确的，所以对应原理要求，就一统观的过程而论，用量子论来处理它与用经典理论来处理它，结果应该相同，所以对应原理要求，就一统观的过程而论，在它能级的分立性并不显著重要的时候（因为能级间的距离已较能量本身为小），用量子论来处理的结果，与用经典理论所得到的，也应该近似的相同，最后，更进一步要求，我们可以应用经典理论描写原子的一切性质，只有在必须满足波耳两公设的地方，才应加以修正。波耳公设的意义，在于它脱离了对运动的直观描写，而对应原理，则宽缓了这个脱离，因为它要求，只要在公设必须满足的地方，才应该放弃直观的描写，在今后的讨论中，我们将会认识到，这种对自然过程的直观描写所给予的限制，乃是量子论的核心。现先用一个自由度的系统，来说明对应原理的应用，而且暂时只着重于其性质上的关系，下节才讨论其数量上的关系。我们从经典力学的处理方法出发，这个运动方程式还不能单值地决定一个运动，因为运动方程式的通解中，尚含有（从数学上来看）两个任意的积分常数，我们必须给出其一个主要积分常数的数值——例如能量E, 及其一个次要积分常数的数值————例如其初相————，才能从这些根据质量与作用力视为可能的运动中选出个别运动来，因此个别运动的主要特性，系由能量E决定，在周期性运动中，频率是E的函数，这函数ν (E)可以根据经典理论推导而得，
k1
如果这运动并不是一个单纯运动（亦即不是一个简谐振动或者是一个等速圆周运动），则除”基频率“外，还有”倍频率“，其关系如下：
x=∑a cos(2πτν t+α )
τ τ k1 τ
上式中，a代表简谐振动的加速度，α简谐振动的角度，函数ν 表示频率是E的函数，
k1
τ表示倍频率是基频率的倍数，在发射谱和吸收谱中，所有的频率τν 均能出现，
k1
图15的左边部分即表示出这样的一种光谱（此处把吸收频率算作负，τ=-1，-2,…)
然而量子论所要求的，不是频率τv (E)，而是关系：
k1
1
ν = [E(n)-E(n-τ)], τ=±1,±2… (1)
qu h
h代表普朗克常数，上面的函数表示ν和E的关系，
-34
h=6.6260755(40)*10 Js
对于某一n值，图15右边部分画出了这种光谱，在一般情形下，发射频率与吸收频率并不相等，倘E(n)大体上是n的一个平滑函数，则这区别将不太大，在这情形下，E(n)-E(n-τ)也近乎是E(n)-E(n-1)的τ倍，因此我们适当地来选择E(n)，使量子论的光谱与经典理论的光谱互相类似（图15中已如此做了）。这样，对应原理就提供了一个能近似值测定能级E(n)的数值的方法，我们可选定E(n)的数值，使其由波耳第二公设所得出的频率，就其与能量的关系来看，与由经典模型所得出的频率尽量相合，此时经典理论的倍频率（│τ│=1,2,3…），就相当于各个从n变到n-τ的不同大小的变化。除这种”频率的对应原理“外，我们还可以建立一个“统计的对应原理”， 如果每一波耳定态的统计权重，都等于1（普朗克振子就是这样），则相空间（此处是q,p平面）中大小为h的整个区域，将只用单独一种配容来代替，这代替应使配容与其所代替的状态之间的差别，尽量减少，这两种对应原理（在念及它们具有近似性质之下）将导致相同的结果。作为第一个例子，我们来处理谐振子的问题，根据经典力学，频率ν 并不与能量有关，而且并不会出现倍频率（只出现τ=±1），
k1
如果我们只允许τ=±1(n→n±1)的跃迁，
并使能量差E(n)-E(n-1)与n无关而把它等作hν , 则频率的对应原理，即能满足，
k1
因此我们得谐振子的能量公式，
E(n)=(n+α)hν=(n+α)ћω (2)
-34
ћ代表约化普朗克常数，ћ=1.05457266(63)*10 JS , (h=2πћ), α不能借助于对应原理来决定，在空腔辐射的情形中，经验告诉我们，对于电磁本征振动来说，α应等于零(α=0), 为了统计的对应原理，在此也能应用，请先注意，在相平面内表示的经典运动，相当于椭圆，
m 2 2 2 2 2
E= ω a =2π mν a
2
a表示粒子的加速度，ω表示角速度，ν表示频率，（a为振幅），其面积为（参考第11节）
2 2 2 E
Φ=πab=πmωa =2π mνa =
ν
(a和b为半轴),如果我们想把每一个面积为h的椭圆环，用两个量子论的配容来规定其界限，则须把
E(n)-E(n-1)
=h
ν
E(n)=(n+α)hν
n代表离子流的个数，α表示粒子的角速度，以谐振子而论，其脱离直观的描写，尚不很多，考其所以如此的原因，乃是经典的频率，并不与能量有关，因之经典的频率不必更改即能为量子论所取用，但在经典的直观的描写中，自不要求，所能出现的能量必须是分立的。作为第二个例子，我们来研究一个质点在一直线上受到与位置有关的力的作用而运动的情形，并只限于周期性的运动，即我们将研究一个非谐振子（在此摒除谐振子的特殊情形不谈），根据经典力学，这种运动除基频率外，还有倍频率，因此可以出现│τ│=1，2，3，…（由于某种对称性，│τ│=2，4…可以不出现），所以在量子论的光谱中，对于所有的τ（或成为经典理论所许可的τ），我们将预测有n→n-τ等跃迁出现，根据经典理论，现在频率与能量有关，如图16所示的位函数情况，ν将依能量增加而减小，
（图17的左边部分，显示出一个有较低能值的光谱————在下边————，和一个有较高能值的光谱——在上边）
为了使量子论中的频率，也能随能量增加而减小，我们必须使各量子论能级间的距离向上减小. （图17的右边部分显示出两个有不同能值的光谱）。经典力学所得的结果，在相平面内，得图16下边的图形，可见相面积的增加比能量为快，转移到量子论中来时，n必须比E增长为快，在相平面内为曲线E=const所包围的面积，可写为 Φ=∮pdq
上式中，p表示粒子的动量，q表示粒子的坐标，Φ表示粒子运动的能量，它等于粒子动量对于电量的积分, 此处的积分应沿运动绕圈一转（即完成一个周期），如果在量子论中，我们选择的能量，恰相当于经典描写中的，
Φ=∮pdq=(n+α)h (3)
Φ表示粒子运动的能量，它等于粒子动量对于电量的积分，也等于普朗克常数乘以粒子次数和角度的和，则对应原理，即得满足，如果在经典的描写中，频率依能量增加而增加（图18就是这种情形），
那么在量子论的描写中，根据频率对应原理，能级间距离应愈向上而愈见分离，在相平面内，相面积的增加，现应较能量的慢，根据统计对应原理，n也必须较能量的增加为慢，
41.自由运动的物质的波动方程式
我们期望，量子论将成为物质的微粒说与波动说中间的桥梁，我们试从两方面来达到量子论，到目前为止，我们仅从物质的微粒绘景出发达到，具有·直观意义的微粒绘景——也称为经典微粒绘景的——，只抓住了实际情况的一部分，它必须加以扩充，方能适合于说明作用量子的存在，我们会以对应原理形式研究过这一不能直观的扩充，具有直观意义的波动绘景——因此成为经典波动绘景的——，也只抓住了实际情形的一部分，它需要一个不能直观的扩充，以便适合于说明基本质点的存在，我们有可能完成这一扩充，而且能使它所表示的“量子论”， 与微粒绘景的对应原理经过精确化以后所表示的一样，它们间的逻辑关系，可以用下表来表示：
经典微粒绘景 经典波动绘景
作用量子 基本质点量子论
我们试先完成物质的直观的经典波动绘景，一方面我们把它视为量子论的初阶，另方面，它也有独立存在的价值，它只掌握了一部分实际情况，使我们能在直观阶段上说明一些现象，而这些现象如从微粒绘景来看时，必须认为是量子现象的，这情况恰与光的微粒绘景一样，光的微粒绘景，能使我们直观的解释康普顿效应，而这效应从光的波动概念来看时，乃是一量子现象，我们把现将草拟的理论，称为“直观的”或“经典的”理论，这些名称在意义上，与我们把麦克斯韦关于电磁场的理论，称为直观的或经典的理论，并无二致，此处与彼处一样，均将场量视为时间与位置的函数，而它们的变化将用微分方程式来表示，在物质的直观的波动绘景的范畴以内，一个简单的物质波，
ψ=acos(-ωt+qr)
上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ω代表粒子运动的角速度，a代表粒子运动时的振幅，t代表时间，r代表粒子的位置，q代表粒子波形的个数，粒子运动的波形是一个余弦波，或者一个波群
ψ=∑a cos(-ω t+qr+α )q q q q
上式中，表示有q个粒子运动的余弦波形组成了一个群, 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ψ等于这些粒子运动余弦波的和, α表示粒子初始位置的在余弦波中的角度，必须视为“物质场”ψ(t,r)的特殊情形，犹如光波只是电磁场的一特殊情形一样，至于只用一个无向量ψ来描写这场是否已经足够，或者是否（如在电磁场中一样，引入电位V与A或场强E与B）须引入几何上内容较为丰富的量来予以描写，则暂不作肯定，就光的情形而论，从任何一场量或位能都适合的波动方程式，
1
- ψ+△ψ=0 (1) 2 c 上式中c代表光速，ψ代表ψ关于时间t的两次导数，可得出关系
2
ω 2
-q =0 (2)
2
c
前式中的△为一算符：
2 2 2
Ә Ә Ә
△=div grad= + + （Ә表示偏微分符号）
2 2 2
Әx Әy Әz
作试解
ψ=acos(-ωt+qr) (3)
或作试解
-iωt+iqr
ψ=ae (4)
上式中i表示单位虚数, 并顾及
2
△f(qr)=q f``(qr)
即能由方程式（1）得出关系（2），就物质的波动方程式而论，如引用简单的平面波（3）或（4），则必须由它得出为实验所证实的关系（第39节）
2
q
ω- =0 (5)
2λ
如在波动方程式中引入△ψ/2λ一项，即能得出上式中的第二项，而ω一项，则仅在利用指数式的解（4），并且在引用iψ时，方能获得，因此在场的或波动绘景中，我们将以“波动方程式”
1
iψ+ △ψ=0 (6)
2λ
视为自由运动的物质的理论基础，至于何以只能用复数表示法（4）来表示一平面波，其原
2
由所在，以后用相对论处理这问题时，自会明显，以前曾提到过，微粒绘景的E=p /2m
2
与波动绘景的ω=q /2λ两等式之间，有其形式上的相似性：
E=ћω,p=ћq,m=ћλ,
上式中，ћ表示约化普朗克常数，E表示粒子的能量，ω表示粒子运动的角速度，p表示粒子的动量，q表示物质波的数量，m表示粒子质量，λ表示物质波的波长，这些相似性现可予以扩充，使其成为一普遍形式的相似性，如以 表示一算符，且可以作为向量来处理
2
=△
其部分为
ð ð ð
, , ,
ðx ðy ðz
则得下列对照：
ð ћ
E→iћ , p= , E→ћλ , (7)
ði i
在这对照中，我们曾以i作为p的因数，并且把它写为分母，这是完全任意的，而且暂时也无关重要的，但在用相对论处理这问题时，则将见其为事所必至，如引用由实验所证实的关系m=ћλ(λ为波动绘景中的物质常数，m为微粒绘景中基本质点的质量），则波动方程式（6）也能写成下列的形式：
2
ћ
iћψ+ △ψ=0 (8) 2m ψ表示ψ关于时间的一阶导数，在一个像我们这里所草拟的直观波动理论中，只有商ћ/m才有其物理意义，以简单的物质波（4）而论，我们可望其强度将与ψψ成比例（如在光波的情形中一样，我们用复数写法），注：ψψ表示ψ乘以ψ, 以方程式（6）为基础而建立起来的、比较普遍的理论，我么必须检验一下，在其适用范围以内，ψ*ψ一量是否可以视作物质密度的量度，一物质量之是否可以作为质量多少的量度，一物质量之是否可以作为质量多少的量度，全赖于它是否能适合守恒定律，设以μ表示物质的密度，且将积分遍及整个空间，则必须是
d
∫μdτ=0
dt
尙积分只及于一个有限的区域，并以j表示物质流的密度，则下列关系
d
∫μdτ+∮∫jdf=0
dt
u`+div j=0 (9)
上式中,f表示物质波，div表示散度，必须成立，从波动方程式（6），我们确能导出这样一个等式来，这是因为，
d
(ψψ)=ψψ+ψψ*
dt
根据（6）以及与其共轭的（即ψ的）方程式，我们得
d 1
(ψψ)= (ψdiv gradψ-ψdiv gradψ)=
dt 2λ
i = div(ψ* gradψ-ψ gradψ*)2λ
上式中，div grad表示算符△，grad表示梯度，即方向导数，λ表示粒子波的波长,div表示散度, 因此，我们可留下以因数不作决定而以，
μ~ψψ
} （10）
1
j~ (ψ gradψ-ψ gradψ*)
2λ
1
上式表示μ的值趋近于ψψ, 表示j趋近于 (ψ gradψ-ψ gradψ*) ，
2iλ
作为物质的密度和物质流的密度来看待，对于μ和j两个量来说，我们是否（如在39节中
2 2
所示）规定ω=q /2λ或比较一般地ω-ω =q /2λ是无关重要的。
0
43.电场中的物质
物质区别于光的地方，不仅仅它可有任何大小的速度(v<c)，而与光相反，它能负电荷，换言之，物质波将受电场的影响（在适当的电磁场中，阴极射线将被偏转），作为示例，我们可研究荷阳电的物质，当它沿电位V增加方向流动时的情形，物质流的速度将逐渐变慢，但从波动绘景或在微粒绘景中，这速度是一可测量的量，但从波动绘景方面来看，如果我们还可以直观地来想象这过程的话，则当它在流动的时候，频率必须视为固定不变，倘物质从
2
无场区域（即电位V为常数），经过一电场而流入另一电位较高的无场区域，v 已变小，因为我们必须以实验所证实的关系，
q=λv (1)
上式中，q表示电子波动的波数，v表示电子的速度，λ表示电子波动的波长，
2
为准确的，所以q 也变小了，由此可见，我们一直用的那个频率与波数间的关系，
1 2
ω= q
2λ
上式中，ω表示电子波动的角速度，
2
是并不普遍有效的，v 的变化系由能量守恒定律规定，
μ 2
v +ρV=const (2)
2
上式中，const代表任意常数，V代表电子运动产生的电势，其中μ表物质密度，ρ表电荷密度，
2
因此在q 与V之间，必须也有一相应的关系存在，这关系便是
1 2
ω-ζV= q (3)
2λ
其中ζ为一适当选定的常数，将运动时保持一常数的量（2）与当ω固定时亦为一常数的量，
1 2 λ 2q +ζV= v +ζV 2λ 2
比较后，得出
ζ ρ
= (4)
λ μ
亦即等于电荷与物质之比，我们还能记得，在不受力作用的·情形下（第39节），我们曾从群速度
dω q
=
dq λ
出发，获得了
1 2
ω= q +const
2λ
其中附带有个任意的积分常数，如各无场区域具有不同电位V, 则每一区域的这常数将由（3）来决定，因电位V只能测定到留下一个相加常数不能肯定的程度，所以ω也必须含有一个（在目前情形下，为所有不受力作用的区域V=const所共有的）不能观察到的常数，物质波的频率不可能是个可以观察的物理量，我们以上所假定的，是荷阳电的物质，荷阴电的物质，
2
则将因电位V增加而加速，倘物质波进入较高的等电位V区域内，q 行将变大，此时关系式（3）中之ζ应取负值，我们再来研究简单的物质波，把它作为物质场的一种特殊情形来看，并找出这场的基本方程式，在等电位V区域内（只有在这些地方我们才可以希望物质波具有简单的形式），应视符合关系（3）的平面波
-iωt+iqr
ψ=ae （5） 为能适合波动方程式或场方程式的一个特解，从这平面波上可以推论到波动方程有下列形式： 1 iω-ζVψ+ △ψ=0 （6） 2λ 即使在V变化的情形中，我们也将视这方程式为物质场的基本方程式, 我们不难由计算证实，从方程式（6）也能求得物质守恒定律， μ+div j=0 （7）
连同
μ~ψψ
} （8）
1
j~ (ψ gradψ-ψ gradψ*)
2λ
如果V从一处到一处的变化极其缓慢，则近似地还能用形式（5）的波，若以波数带狭的波群来代替（5），而这波群是用以表示聚集在一定区域内的一堆物质的，则它将有一定的群速度，其值永为q/λ, 所以根据（3），这速度将为电位所决定，犹如荷电质点的速度系由电位所决定一样，因此一波群按（6）进行的运动，与粗大质点的运动完全相同。为了证实这点，我们愿对空间内有限的波群，试从波动方程式（6）算出其运动方程
ǝV
mx``=-e (9) (ǝ表示偏微分符号)
ǝx
因波群占据一定大小的位置，故不应研究其坐标x而应研究平均值
x =∫ψ*xψdτ
ψ*代表函数ψ的群，即波函数的群，dτ代表关于时间进行微分，[我们将（8）中尙未肯定的因数暂作为1], 有计算所得（根据爱伦发斯脱），这个平均位置的速度是
( x )` =∫(ψ`*xψ-ψ*xψ`)dτ
按（6）得
i
( x ) = ∫(ψ*x△ψ-ψx△ψ)dτ
2λ
在顾及
2 2
Ә Әψ Әψ* Әψ Әψ* Ә ψ Ә ψ
(ψx -ψx )=ψ -ψ +ψ*x -ψx
2 2
Әx Әx Әx Әx Әx Әx Әx
上式中,x代表电子的位置，ψ代表电子的波函数，也就是余弦波动函数, 与其他类似的关系之后，得出（在距离远的地方应ψ=0）
1 Әψ Әψ* ( x )` = ∫(ψ* -ψ )dτ 2iλ Әx Әx
我们获得此结果，是不足惊异的，因为
ψψ与(ψgrad ψ-ψgrad ψ*)/2iλ
之间的关系，为密度与流密度间的关系，我们继续算下去
1 Әψ Әψ* Әψ Әψ*
( x )`` =- ∫(ψ* -ψ +ψ* -ψ )dτ
2iλ Әx Әx Әx Әx
应用乘积的微分法则，将由此得出
1 Әψ Әψ*
( x ) = ∫(ψ* -ψ` )dτ
2iλ Әx Әx
Әψ*
表示波函数ψ的群对x的一阶偏导数，λ代表电子波的波长，
Әx
根据（6），此式将变为
2
1 Әψ* Әψ ζ Әψ Әψ
( x ) =- ∫( △ψ+ △ψ*)dτ+ ∫(Vψ* +Vψ )dτ 2 Әx Әx λ Әx Әx Әx 2iλ 上式中，ζ代表适当选取的常数，在再次应用乘积的微分法则后， ζ Әψ ( x ) =- ∫ ψ`* ψdτ
λ Әx
因为这积分可视为V的导数的平均值，我们得
ӘV λ( x )`` =-ζ (10)Әx ӘV 代表电子在场中的电势V的平均值的偏导数, 上式中，△表示算符， 2 2 2Ә Ә Ә
△=div grad= + + （Ә表示偏微分符号）
2 2 2
Әx Әy Әz
2 2 2Ә ψ Ә ψ Ә ψ
△ ψ= + + （Ә表示偏微分符号）
2 2 2
Әx Әy Әz
其中ζ/λ为电荷与质量之比，对于密集在一处的物质，这些平均值就可作为x和ӘV/Әx的数值看待，于是得（9），以十分密集在一处的物质而论，我们将见它要流散，我们也要在这里指出一点，即波动绘景中的等式（3）与（6），与微粒绘景中的能量等式（e为质点的电荷）
2
p
E-eV- =0 (11)
2m
之间形式上有其相似性，根据（3）有下列各对照：
E→∞，p→q，m→λ，e→ζ
而根据（6）有
Ә 1
E→i , p→ ,m→λ，e→ζ
Әi i
或在引用m→ћλ后
Ә ћ
E→iћ , p→ћ ,m→ћλ，e→ћζ
Әi i
于是（6）也可以写为
2
ћ
iћψ-eVψ+ △ψ=0 (12)
2m
然而在我们此处所草拟的直观的物质场理论中，只有m/ћ与i/ћ才有其物理意义。
上式中,ћ表示约化普朗克常数，ћ=1.05457266(63)*10Js。
第五部分薛定谔方程
推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》
49.薛定谔方程式
我们以前（在第四章中）从物质的微粒绘景方面出发，对原子系统作了量子论的处理，为了要适合于说明作用量子的存在，我们曾把基本质点力学系统原有的直观绘景，用对应原理经过不能直观的方式，加以改变，并且希望对应原理的精确化，能够表达出量子力学来，其后又见到（第40页）作用量子在自然现象中的职务，在于它能表示出物质的（与光的）微粒绘景与波动绘景之间的相互限制，所以我们可以希望，从物质的波动绘景出发同样能够到达量子力学，因此之故，我们现愿从直观的波动或场的绘景出发，经过一个不能直观的方式来把它改变，使其能借助于作用量子而适当说明基本质点的存在，兹仅限于相对论的情形，因此，我们试完成第41节已指出的周期图表：
经典微粒绘景 直观的波动绘景
h,对应原理 基本质点 量子力学
就单由一个质点组成的系统而论，这问题在现有的基础上，是不难解决的，我们就这样到达了单质点系统的量子力学，如果把它应用于原子，则须把其中一个电子作为质点来处理，而其余电子和核对它的作用将一并用一个力场来描写（犹如我们在第16节中做过的一样），所以我们从直观的场论出发，在这理论中将并无基本质点出现，至于单纯的物质在电位为V的电场中所有的行动，则将43节中所建立的场方程或波动方程式来描写，然而在这电位V之中，有一部分是外加电场的电位（V ), 其另一部分则是由物质场的电荷产生的，
0
按经典电学，这第二部分应适合，
△ （V-V )~-ρ
0
上式中，△表示算符，
2 2 2Ә Ә Ә
△=div grad= + + （Ә表示偏微分符号）
2 2 2
Әx Әy Әz
2 2 2Ә (V-V ) Ә (V-V ) Ә (V-V )0 0 0
△(V-V )= + +
2 2 2
Әx Әy Әz
(ρ的前面是否应乘上一因数4π，在此无关重要）；其中电荷密度ρ现须用场量ψ来表示：
ρ~±ψψ
上式中,ψ表示电子波的波函数，ψ表示电子波的波函数群，因此，物质的直观场论已全部总结在方程式
1 iω-ζVψ+ △ψ=0 2λ } （1）△ （V-V )~±ψ*ψ0
之中，当质量极少时，第二方程式可置之不顾，
上式中，△ （V-V )~±ψψ表示（V-V )的算符趋近于波函数ψ乘以波函数群ψ的积
0 0
第一方程式中的V可用外电场的电位来代替，第一方程式保证了物质在数量上（以及在电荷上）的守恒，这物质的密度和物质流密度系正比于ψψ和(ψgrad ψ-ψgrad ψ*)/2iλ，其中，ψ表示电子波ψ乘以电子波的群ψ，grad表示梯度，即方向导数，i表示单位虚数，
我们相信，方程式（1）能够正确的描写这样一些现象，对于这些现象来讲，物质是否由基本质点组成，是无关重要的，现在进行一个不能直观的改变，但此时应加注意，我们的问题是仅有一个基本质点的系统，所以在将积分遍及整个空间以后，
∫ψψdτ
上式中，dτ表示波函数ψ关于时间的微分，所得的数值，应首先能够说明它是一个质点，现在根据下述意义，将迄今尚未肯定的ψ的量纲，予以规定，即以ψψdτ表示物质在区域dτ内的数量，我们虽以基本质点为单位来量度它，但设想它是连续分布于dτ之内的，因此物质的多少恰巧等于一个基本质点这一事实，将由等式
∫ψψdτ=1 （2）
（“归一化）表达出来，但此外它尙须能表示出，这些物质，为一个单独面认为是质点的微粒所有的，可是这一点就不可能用直观的方式表示出来，因为方程式（1）曾假定了一个连续分布的场量ψ，但在现有的理论范围内，至少可以考虑这一点：这样一个基本质点并不对自身发生作用，因此它只受外力场的影响，所以就一个基本质点的情形而论，方程式（1）中的第二个式子可以略去不顾，而第一个中的V可代之以外加（视为已知的）电场的电位，单质点系统量子力学，现可总括在下列方程式
1
iω-ζVψ+ △ψ=0
2λ
} （3）
△ ψψdτ=1
中，其中V现为对基本质点发生作用的外加电场的电位，上式中，△ ψψdτ=1表示波函数ψ乘以波函数群ψ的算符对于时间的微分等于1, 如引入质点的质量m及电荷±e,
ћζ=±e,ћλ=m
上式中，ζ表示选定的常数，λ表示电子波的波长，并为避免双重符号起见，复引入位能
U=±eV
则得单质点系统的量子力学各方程式如下：
2
ћ
iћψ-Uψ+ △ψ=0
2m
} （4）
∫ ψ*ψdτ=1
U现为质点在外加电场中的位能（是位置的，可能也是时间的函数），这些等式中的第一个便是”单质点系统的薛定谔方程式”， 它与这单质点系统在经典微粒绘景中的能量等式
2
p
E=U+
2m
构造相似，如在
2
p
E-U- =0 （5）
2m
中引入下列替代：
Ә 1 Ә
E→iћ , p →
Әt x i Әx
ћ Ә ћ Ә p → , p → y I Әy z i Әz
上是中，p表示电子在电场中的动量，并将由此而得的微分算符应用于函数ψ上，那么我们就得薛定谔方程式，但薛定谔方程式也可视为海森伯关系对应原理精确化的应验（第34节），根据这精确化，我们不用具有一定数值的坐标x,y,z,t与动量（现在也需把能量列入其内）p ,p p, ,E而代之以更普遍的量，这些量应适合一定的对易定则：
x y z
i(p x-xp )=ћ
x z
…
上式中,x代表电子的x轴坐标，i表示单位虚数，p 代表电子在x轴上的动量，p 代表
x z
电子在z轴上的动量，以x与算符Ә/Әx而论，其对易定则为
Ә Ә
( x-x )ψ=1ψ
Әt Әx
Ә Ә Ә对于y与 ,z与 ,t与Әy Әz Әt
则各有其类似的式子，因此我们可以满足量子论的对易定则，只要我们把空间与时间坐标x,y,z,t仍作为通常的变量来看待，也不让由这些量组成的函数改变其原来意义，而独令p ,p ,p ,E等量，根据（6）各代之一算符，于是等式（5）也将成为一个算符，
x y z
把它应用于函数ψ(x,y,z,t)，并要求其得出的数值为零，于是就得薛定谔方程式，但薛定谔方程式与海森伯关于对应原理的精确化，它们间的全部等效性，尚未由此获得证明，因为海森伯是从运动方程式出发，而此处则联系在能量等式上，仅当全部等效性获得证明以后（如第55节中所略示的），才有理由说：经典微粒绘景用对易定则，使对应原理精确化所走的哪条道路，与经典波动绘景或场的绘景，经过一个为基本质点的存在所规定的改变所走的哪条道路，都导致同一的单质点系统的量子论，我们在此处对场的绘景所进行的那个改变，并不是能够直观的，因为直观的物质场，只在物质的数量小到几等于零的极限情形时，才能满足V为外加电位的那个薛定谔方程式，而在一个基本质点的情形，则并不如此，再则又因为在直观的物质场中，物质是根本连续分布着，因此薛定谔方程式并不是量子现象的直观解释，就是ψ现也不可能有其直接的直观意义，ψ*ψ并非表示物质的密度，在今后的研究中，我们将发觉ψ可作为叙述某种有关量子系统状态的方程之用，我们目前要用到这一点，归一化条件（2）的意义，不再是，连续分布的物质的数量是相当于一基本质点的那么多，而却是：一基本质点可以存在于空间中某一处的机会，因此（与位置和时间有关的）ψ·ψdτ一量，显然可视为几率的量度，也就是一质点在已知位置和已知时间处在空间素dτ内的几率多少的量度，我们称ψ(x,y,z,t)为对于位置x,y,z在时间t时所有的几率幅。并非所有经典力学中有意义的问题，在量子论中也是有意义的，设位能U不显式地与时间有关，则在经典力学中能量E在整个运动中为一常数，我们希望在量子论中也是如此，并且认为提出何者为可能有的能量这问题，也是有意义的，由于微粒绘景与波动绘景之间有着关系E=ћω, 我们可假定周期性的解
-iEt/ћ ψ=e u(x,y,z) (7)
上式中，电子波的余弦函数ψ的解是e的-iET/ћ次方再乘上u(x,y,z), E表示电子的能量，u(x,y,z)表示电子在空间坐标（x,y,z）中的电位，能代表具有一定能量E的一个状态，换言之，如波函数ψ适合
Ә iћ ψ=Eψ (8) Әt
则它表示一个具有确定能量E的状态，引出解（7），我们由方程式（4）即得“不含时间的方程式”
2
ћ
(E-U)u+ △ψ=0
2m
} （9）
∫u*udx=1
上式中，
2 2 2
Ә Ә Ә
△=div grad= + + （Ә表示偏微分符号）
2 2 2
Әx Әy Әz
2 2 2Ә ψ Ә ψ Ә ψ
△ψ=div grad ψ= + + （Ә表示偏微分符号）
2 2 2
Әx Әy Әz
u表示电子波的群的电压，因为把电磁波可以看成一个个电子微粒波动组成，这样一个个的电磁波就是波函数群，不含时间的薛定谔方程式也可由质点等式（5）中获得，此时只须将动量p p p 代之以相应的算符即可，在我们对u所提出的条件下，不含时间的薛定
x y z
谔方程式，往往只对分立的E值，方能求得其解，于是量子力学系统只能有这些分立的能值，这些E的数值称为本征值，其所属的解称为薛定谔方程式的本征函数，在第44节中曾经处理过的那个简单的例子，可以作为此处的例子来看，当时所得的结果是符合对应原理的，而且是这原理的精确化，因为它正确地给出了
2
h 2
E = n
n 2
8ma
而不是以(n+α)来代替n, n代表离子流的个数，α表示粒子的角速度，我们继续要问：如果系统的能态为已知，我们对于质点的位置，能够做出什么结论来，从40节中的有关测不准关系的研究中，我们可以说，质点在已知能量下，能处在一定的区域之中，但它在整个区域以内的位置则是测不准的，在一定的能量下，我们果能从（7）中求得，
ψψ=u*u
第44节的特例曾给出，
x
u~sinπn
a
x
上式表示u趋近于sinπn ,
a
x表示电子的位置，a表示电子的振幅，u表示电子的电位，引用归一化条件后，即得
2 x
u= sinπn
a a
另一个有意义的问题我们认为是：在位置已知，但并不测得十分准确的情形下，我们问能量E 所能出现的几率该是多少，因为位置的测定与同时进行的一个准确的能量测定是不相
n
容的，所以必须使ψ由具有不同频率的周期性解来组成，如果u 为不含时间的方程式所
n
有属E 的解，则函数，
n
-iEt/ћ ψ=∑ c e u (x,y,z) (7) n n n
亦为薛定谔方程式的一个解，于是这问题的解答，就在于我们如此来决定系数c ，
n
即当t=0时，使函数ψ*ψ所表示的，恰巧等于作位置测定时各位置所得的几率，这问题的解答需要一些数学上的探讨，我们在以后将再回论到这问题上来（第54节）。
注：c 是一个排列数，它和电子出现的几率有关，
n
50.一度空间的情形
为了能对单质点薛定谔方程式的处理熟练起见，我们稍深入的研究一下一度空间的情形，此时位能U只与一个变数x有关，我们试求得其可能实现的，具有确定能量E的状态，其所属的函数u, 根据经典质点力学中的等式
2
p
+U(x)-E=0
2m
薛定谔方程式(p→-iћӘ/Әx)为
2
ћ
u+[U(x)-E]u=0 (1) 2m 其中u为u对变量x的二次导数,u是与它有关的，我们先研究这样一个位能U(x)，它在经典力学中将导数周期运动，而在量子力学中则导数分立能值E（本征值）的（图34），为简单起见，暂先假定U只有一个最小值，而且它在有限的x区域的两旁无限的升高（图35），我们在以后将把这些假定去掉，
在U的最小值的上边，我们假定微分方程（1）中的数值E, 有一任意的，但为确定的数值，
2
因为必须是p /2m>0,故有这样两点，在它们的地方U=E,在它们的中间U<E, 而在它的外边U>E,这两点就是能量为E的经典运动的极限点，以现在的问题而论，它们使中间区域U<E, 即根据（1）u/u在其中为负的，与两个外边区域U>E, 即u/u在其中为正的，互相分开，因此表示解的那条曲线在中间区域内弯向横轴，有时候它（在一拐弯点u=u=0处）还能通过横轴，有时候它（在一拐弯点u=u=0处）还能通过横轴，在外边区域以内它将从横轴向外弯去，在每一外边区域内，它至多再能通过横轴一次，只有这些（在区域的边界上）并不趋向无穷大的解u, 它们的边界值必须为零，以及那些使这些解成为可能的能值E(本征值），才有物理意义，所以表示解的哪条曲线在U=E的两点以外，不可能再通过横轴，经典运动的极限点是本征函数的最外拐点，我们设想方程式（1）的解（或用作图法）求得如下：
试将逐次在增加的数值代入E，并每次使所属的解从左边以u=0开始画起（图36），在这解中，有一任意因数可供选择，我们如此来选定它（暂不必考虑归一化），对于每一个E值，使许多的解在左端一段长的范围内，几乎互相符合，一般而论，如此获得的解，并不会以u=0到达右边，而却在右边向上或向下伸展到无穷远去，
如所选之E仅稍高于U的最低点（图36中E ), 则因中间区域太小，不能使解u足
a
够的回向横轴，于是它在右边向上伸去，当所取的E较大时，第一个拐弯点将向左移动，在这点的左方，u/u较以前的E值所有者为小，在其右方，则│u/u│较大，表示这解的曲线将更加弯曲横轴，而当E足够高时（图36中的E ), 它将割切横轴，并在右边向下
b
伸去，在这两个所论的E值之间，就有这样一个E，对它来讲，解将以u=0到达右边，于是我们就找到了最低的一个本征值E 和所属的本征函数u , 除在边界点以外，这本征函
0 0
数并无其他零点，若使E再增加，则所有拐弯点与零点均将再向左移动，函数u先是在右边向下伸去（E=E ),对于再高一点的E的值，则在出现一个零点之后复将向上伸去
b
（E=E ),经过适当地选定E值后，又能使u以零到达右边，于是就获得第二个最低的
c
本征值E 和所属的本征函数u , 它在区域之内有一个零点，如此以往，在每次把E值
1 1
增加到一定高时，我们再得到一个函数u, 它以零到达右边，零点的数目将每次增加1，（在
图36中，E ,E ,E ,E ,E ,E ,的以及在它们每两个中的中间值的
a 0 b 1 c 2
解均经画出，且E 的解会就不同的纵轴画出两次），就图36所示的位能形式而论，我
b
们得无穷多的分立本征值，E <E <E <…每一个都有一个所属的，一定的
0 1 2
（其中的因数除外）本征函数：u ,u ,u …,本征函数u 的导数n,等于它在区域内
0 1 2 n
的零点的数目（“节点定律”）， 这样求得的一些本征函数都是实函数，它们可以乘上一个复因数（其值将由归一化条件予以确定），此外则并无其他本征函数，证明：与u一样，u也是属于同一本征值的本征函数，因而u+u与i(u*-u)两实函数也是，由于每个本征值主要只有一个实本征函数，所以u*与u之间至多相差一个因素，以上所作的假定，即假定在两边当x的数值还没有变为无限大时，U(x)已变为∞，使我们在作图求解上，得到许多方便，U(x)已变为∞，使我们在作图求解上，得到许多方便，然而不难看出，以上关于节点定律的证明，将并不因U(x)始在x=±∞的地方，达到∞而受到影响，此外，我们当时曾假定U(x)仅有唯一的一个最小值，这个假定也并不重要，纵使它有许多个最小值，这定律还是完全有效的，它能帮助我们便于从性质上，对某些系统看到其大概情况，这些系统，便是在对应原理的范围内，处理起来不可能没有某种很大的任意性的系统，以及一个电子在一个分子中运动的系统（在多原子分子中，一电子将遇到许多个位能小的地方），以及一个电子在一个分子中运动的系统（在多原子分子中，一电子将遇到许多个位能小的地方），节点定律的某些部分，对图37所示的位能形式U(x)来说，还是有效的，以E>U 而论，任何函数，只要
∞
能满足左边的边界条件u=0,并能满足薛定谔方程式，都是可能的函数，每一E值（一任意因数除外）只有一个函数u，以E<U 而论，则有有限多或无限多个分立本征值（全视U
∞
的行程如何而定），每一本征值只有一个本征函数，它的节点数就是等于本征函数的号数，如果“位能谷”极小，则可能遇到这样一种情形，根本无分立本征值存在，就图38所示的形式而论，我们须区别三个E的区域，对于E<U 只有分立的E，节点定律中与此相应
∞
的部分还是成立的，对于U <E<U ,则任一E值为一本征值，同时每个都有一本征函
∞ -∞
数y, 对于E>U 来讲，在左边也没有满足任何边界条件，对每一个E值，在任何x处现
-∞
可将u与u`的数值任意选定，也就是说，有两个独立的u 与u ,用它们可以构造出任
1 2
何一个具有形式c u +c u 的解来，
1 1 2 2
图38关于一度空间的情形
我们还需讨论一下这样一个问题，在这问题中，与U和本征函数有关的位置变数之中，有一个是角φ，以致φ与φ+2π表示同一个位置（循环变数），于是我们要求（在边界条件的地方），u(φ)=u(φ+2π), 因此，u的零点数只能是个偶数，在图39的情形中，即在位能谷的范围比2π为小的情形中，E小的那些本征函数，与边界条件为u=0的那些本征函数，相差极微，u 没有零点，u 则除位能谷内有一零点外，还有一个在U>E的区域内，
0 1
u 则仅在位能谷内有两个等等，各本征函数将依次有0，2，2，4，4，6.。。个零点，对
2
于“循环”变数φ这是可以普遍证明的，
图39循环坐标的情况
在U=const的特殊情形下（我们假定U=0)，我们得到本征函数, 注：const表示任意常数，
1 1 cos
u= ,u= λφ (λ=1,2,3…)
2π π sin
两个有同一λ值（>0)的函数，是属于同一个本征值的，λ=0则属于单纯的本征值的，凡是这种系统，其坐标x不断地在前进，同时其本征值E形成一连续区域的，我们如要处理它们，数学上很不方便，因此我们往往把它们作为具有分立（相隔很近的）本征值的系统来处理，如像下列一个位能谷的情形，从谷出发U(x)在两边上升，一同达到极限值U ,我们把
∞
它作为图39的系统的极限情形来看待，为此目的，只需将不断前进的坐标x代之以一循环坐标，对这样的坐标来讲，x与x+L表示同一个位置，而L为一很大的长度，于是我们很想知道，在L→∞的极限情形下，结果复将如何，以特殊情形U=0（不受力作用的运动）而论，现有本征函数，
1 2 cos x
u= ,u= 2πn (n=1,2,3…)
L L sin L
或用另法写之，
2 2πinx/L u= e (n=0,±1,±2,±3,...)L
其本征值为
2 2 2
2π ћ n
E =
n 2
mL
因为L并无物理意义，我们宁可把本征函数写为
1 iqx u= e L
而把本征值写成
2 2
ћ q
E =
n 2m
这样我们便与39节中的等式相对应了，当L变大时，所有可能出现的波数
2π
q= n
L
上式中,L表示一个任意长度，将互相不断靠近，终于形成连续区域，
51.逐段为一常数的位能
前节中的讨论连同对应原理一道，已使我们能对一度空间的薛定谔方程式，就其本征值的位置及其本征函数的性质，在定性的意义上，得到一个概略的了解，但是为了获得更多知识，我们须对逐段为常数的位能（图40）进行研究，位能U为常数的薛定谔方程式。
图40逐段为常数的位能ћ u``+(U-E)u=0 (1) 2m
将严格地为
±rx
u=e
或更普遍的为
rx rx
u=Ae +Be (2)
连同
ћ
=U-E (3)
2m
所解开，当U>E时，r为实数，当U<E,最好写成
±iqx
u=e
或
cos
u= qx
sin
更普遍的可写为
iqx -iqx
u=Ae +Be }(4)
u=Ccosqx+Dsinqx
连同
2 2
ћ q
=U-E (5)
2m
在那些U以不同数值相遇的地方，解（2），（4）将以不同的r与q互相衔接，方程式（1）指出，在这些U的数值发生突变的地方，u的二次导数并不连续，而且一次导数及u本身则为连续（如果我们假定U的突变是有限的），因此我们有两个过度条件，用以决定两个互相衔接的解中的两常数A与B, 作为最简单的例子，我们试讨论各处均为常数的位能，假定U=0, 但这假定并不影响这问题的普遍性，函数（4）以及
2 2
ћ q
E =
u 2m
就是这问题的解，在这里归一化条件
+∞
∫u*udx=1
-∞
无法应用，实际上，如果要在无限大的区域-∞<x<+∞以内的某一有限分区中找到这质点，其几率确是等于零，因为在一般情形下，U=0的假定，不过是U在相当大的范围内等于零的一个理想情况，所以我们在此不拟对归一化条件深加研究。解（4）所表示的，是质点具有确定能量的一个状态，其中的q，系由（6）所决定，但是即使不问其中的因数如何，这状态也不能单值的予以决定，这是因为在测不准关系范围内，即使能量已经固定，也尚有许多不同的状态可以互相区别，函数
iqx
u=Ae
描写一个质点具有动量p=ћq的一个状态，反过来，一定数值的动量就相当于一定的波数q=p/#h和函数，
ipx/ћ
u~e
如果一状态能适合
2 2
ћ Ә ψ
=pψ (7)
i Әx
则这状态具有一定数值的动量p，因此普遍函数(4)，相当于这样一些状态，对它们来讲，虽然能量和动量的数值已经确定，但动量的方向则未定，作为第二个例子，我们再研究一下第44节中的“位能谷”（图40a),
0(0<x<a)
U={
∞（x<0,a<x)
其归一化了本征函数为
2 x u= sinnπ n=1,2,3... (9)a a
其本征值为
2 2
ћ π 2
E = n (10)
u 2
2ma
这些本征函数构成一个“归一化正交系”，因而是
0(n≠m)
∫u u dx=δ ={ (11)
0 n m nm 1(n=m)
这正交系是“完整的”，因为任何一个在间隙(0,a)内所规定了的函数f(x)，都可以根据傅里叶定律把它用下列形式
f(x)= ∑c u (x) n n
表示出来，我们应用此例，以研究没有确定能量的一些状态，这些状态相当于下列形式的一些ψ函数
-iE t/ћ
ψ= ∑c u (x) e n (12)
n n
其中u 与E 具有(9)与(10)所给出的意义，
n n
譬说有一状态，我们知道其能量只能是E 或是E ,这状态即可由
n n+1
-iE t/ћ -iE t/ћ n x n+1 x
ψ=c e sinπn +c e sinπ(n+1)
n a n+1 a
来表示，c =c 是它的一个特殊情形，于是当t=0，得
n n+1
1 x π x
ψ~sinπ(n+ ) cos
2 a 2 a
因为,
E p m
n n
ψ=Be =Be
上之中,B表示磁通量，E 表示n点电场强度，ψ表示波函数, m代表电子质量，p 代表
n n
电子在n位置时的动量，p 代表电子在n+1位置时的动量，所以
n+1
-mp t/ћ -mp t/ћ n x n+1 x
B=c e sinπn +c e sinπ(n+1)
n a n+1 a
（图41的下部），再过一些时候，复将到达t=0的情况等等，几率中密度ψ*ψ以标识性的方式往复摆动于区域(0,a)之间，
图41拍
在测不准关系范围以内，我们即能对能量说出它或是E 或是E 与此并不冲突，
n n+1
我们还能对质点的位置说出其或在右或在左，而在右和在左的几率，是各不相同的。如果我们要把在时刻t=0时有相当于已知几率ψ*ψ=f(x)的一个ψ函数表示出来，则一般而论，需要用一个内含一切E 值的级数（12），但c 并不为f(x)所单值地决定，而除位
n n
置的几率以外，对它们还可作为其他方面的规定。现研究深度有限的位能谷（图40b):
-W(-a/2<x<a/2)
U={ (13)
0(x<-a/2,x>a/2)
我们假定它对称于x=0的一点，所以只需要找出对x将来是偶的与奇的各个解u, 因此，我们也只需要研究两个U为常数的分区：0<x<a/2和a/2<x<∞，对于-W<E<0,我们得下列各解：
x<a/2, x>a/2,
cos -rx
u=A qx u=Be
sin
1 1 a= 2m(E+W) r= -2mE ћ ћ
以及在x=a/2处的两个过渡条件，这些条件表示u与u`在彼处的连续性，就cos的情形而论，得
qa -ra/2
Acos =Be
2
qa -ra/2 qAcos =Be 2
上式中，r为电子位置，q为电子数量，由此得q与r间的一个条件，因而也是对E的一个条件
qa r
tg = (14)
2 q
就sin的情形而论，这条件为
qa q
tg =- (15)
2 r
如果E+W<<W,亦即E在-W之上不多，所得的结果，是早为我们所熟悉的。我们若近似地以q/r=0,即得
tg(qa)
=∞
cot2
tg(qa) =∞ ctg2 tg(qa)tg2 =∞ 2 2 2 ћ π n E=-W+ 2 2ma
这和位能谷（8）的情形一样，然因谷壁的高度W有限，所以这结果并不严格正确，欲得E的正确数值，则需把等式（14）和（15）解开即得。从这个例子我们看到，对应原理的相积分方法（第23节）并不常常得出正确的E值。这是因为在位能谷的情形中，用相积分求得的E，如从谷底开始算起，完全与谷壁的高度没有关系，而薛定谔方程式告诉我们，E的数值与壁的高度有关。对于无限高的谷壁，用相积分求得的能量，才与用薛定谔方程式求得的一致。读者可以试一试就两级位能谷
（图40c，当0<x<a 时U=U ,当a <x<a +a 时U=U ,在此以外U为无限高)
1 1 1 1 2 2
的情形，取薛定谔方程式的结果与相积分的结果作一比较, [用不难明了的符号表之，由薛定谔方程式得q tg(q a )+q tg(q a )=0, 而相积分则给出q a +q a =πn]
2 1 1 1 2 2 1 1 2 2
图40d,e的情形，也是值得一算的，其中一个可视为分子中两个原子在振动的化身，另一个可视为一电子在双原子分子中运动的化身，为了不必作繁复的计算，对于40e的问题，不妨碍于对称的情形。利用逐段连续的位能，我们也能计算应用上重要的“隧道效应”。 这是这样一回事;一质点所所携带的动能虽小于位垒的位能，然而竟能穿过它。根据经典力学这是不可能的。我们一看下列位垒（图40f)：
0(x<0,a<x)
U={ W(0<x<a)
在这三个区域内我们的解(假定0<E<W)是
x<0: 0<x<a; a<x;
iqz -iqz rz -rz iq(z-a)
u=Ae +Be u=Ce +De u=Fe
2mE 2m(W-E)
q= q=
ћ ћ
其中A项说明质点从左边跑来；B项说明它以一定的几率复向左走回；F项说明它以一定的
-qxz
几率通过位垒而向右继续前进，在a<x的地方，我们去掉e 一项，说明质点绝非从右边
-ra
跑来，在x=0与x=a两处的过度条件，如以简写e =γ代入，为
A+B=C+D C/γ+γD=F
iq(A-B)=r(C-D) r(C/γ-γD)=iqf
经算出后得
F 4 2
= =
A 2(1/γ+γ）+i(r/q-q/r)(1/γ-γ) 2cosh ra+i(r/q-q/r)sinh ra
我们更得质点能穿过位垒的几率
FF 1
=
AA 2 2
1+(r/q+q/r) /4sinh ra
极阔的位垒（如果不是恰巧E≈W)，其意义就是sinh的数值极大，所以FF≈0，质点将几乎肯定要被射回。位垒极狭，其意义就是sinh几等于零，所以FF≈AA，质点将几乎肯定能够穿过。如果现将位垒固定，而改变入射质点的动能E，使其从0变到W,则其能穿过
2 2
的几率，将从0增加到1/(1+q a /4)。对于位垒较阔、q与r的数量级相同的重要情形，我们得
FF -2ra
≈4e
A*A
第六部分 非内积空间
例1-4.已知质点A在平面XOY的位置是(x,y)，OA和X轴的夹角是w,则
x=Rcosw
y=Rsinw } （1）
如图1所示，如果这个平面是笛卡尔平面，那么，它的x轴和y轴的夹角是90°，这个点A和原点O之间的距离是AO,AO=R，
2 2 2
x +y =R （2）
如图2所示，如果这个平面是非笛卡尔平面，那么，它的x轴和y轴的夹角不是90°，那么，它的x轴和y轴的夹角是θ，这个点A和原点O之间的距离是AO,AO=R，
作AB⊥OX，作AC∥OY,AC和X轴相交于C点，在三角形ABC中，
AC=y, ∠ACB=180°-θ，AB=ysin(180°-θ)=ysin(-θ)，
在三角形ABO中，
AO=R，OB=x,，AB=ysin(180°-θ)=ycosθ，
2 2 2 2
x +y *sin (-θ)=R （2）
2 2 2 2
x +y *sin θ=R
如图3所示, 如果这个平面是非笛卡尔平面，那么，它的x轴和y轴的夹角不是90°，那么，它的x轴和y轴的夹角是θ，这个点A和原点O之间的距离是AO,AO=R，
作AB⊥OY，作AC∥OX,AC和Y轴相交于C点，在三角形ABC中，
AC=x,，∠ACB=180°-θ，AB=xsin(180°-θ)=xsin(-θ)，BC=xcos(180°-θ)=xcos(-θ)，
在三角形ABO中，
AO=R，AB=xsin(180°-θ)=xsin(-θ)，
2 2 2 2
x sin (-θ)+[y-xcos(-θ)] =R
2 2 2 2 2 2
x sin θ+y -2xy*cosθ+x *cos θ=R
如图3所示，如果这个平面中的x轴和y轴相交，平面XOY就会变成一条直线OX,或OY，那么A就变成这条直线上的一点A,它的坐标为x,或y，
如图4所示，如果平面XOY中的X轴和Y轴的夹角变为360°，那么这个平面就会变成一个非内积的空间，就会重新出现一个坐标轴Z轴，
如图5所示，当上面的三维空间中三个坐标相互垂直时，所以，它是一个内积空间，同时当这个三坐标轴上的测度是存在的，那么这个空间就是希尔伯特空间。设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z)，A点到O点的距离是R，
2 2 2 2
R =x +y +z
如果三维空间XYZ的相互之间的夹角变为360°，那么这个三维空间就会变成一个非内积的四维空间，就会重新出现一个坐标轴J轴，
如图7所示，当上面的四维空间中四个坐标相互垂直时，所以，它是一个内积空间，同时当这个四坐标轴上的测度是存在的，
2 2 2 2 2 2
x sin θ+y -2xy*cosθ+x *cos θ=R
那么这个空间就是希尔伯特空间。设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z,j)，A点到O点的距离是R，
2 2 2 2 2
R =x +y +z +j
如图6所示，当上面的三维空间中三个坐标相互之间的夹角是θ，如果θ≠90°，那么这个空间是一个非内积空间，同时当这个三坐标轴上的测度是存在的，设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z)，A点到O点的距离是R，A点在平面XOY上面的投影是A`，A点在平面YOZ上面的投影是A``，A点在平面ZOX上面的投影是A```，
如图7所示，∠XOY=θ=∠XOA+∠YOA，∠XOA=θ1，∠YOA=θ2，θ=θ1+θ2，平面AAX垂直于坐标轴X，在三角形XOA中，OA=x/cosθ1，XA=xtgθ1，
平面AAY垂直于坐标轴Y，在三角形YOA中，OA=y/cosθ2，YA=ytgθ2，
直线AA垂直于平面XOY，AA=h，在三角形AXA中， 2 2 2 AX =h +XA`
2 2 2
AX =h +(x*tgθ1) （1）
在三角形AOA中， 2 2 2 AO =h +OA`
2 2 2
R =h` +(x/cosθ1)
2 2 2
h =(x/cosθ1) -R （2） 平面AAX垂直于坐标轴X，在三角形XOA中，
2 2 2
AX =x +R （3） 把(3)代入(1),得 2 2 2 2 x +R =h +(x*tgθ1)
2 2 2 2
R =h` +(xtgθ1) -x （4）
把(2)代入(4),得
2 2 2 2
2R =(x/cosθ1) +(xtgθ1) -x
同理可证
2 2 2 2
2R =(y/cosθ2) +(ytgθ2) -y
所以得到
2 2 2 2
2R =(x/cosθ1) +(xtgθ1) -x
2 2 2 2
2R =(y/cosθ2) +(y*tgθ2) -y
θ=θ1+θ2
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离
如图8所示，∠ZOY=θ=∠ZOA+∠YOA，∠YOA=θ3，∠ZOA=θ4，θ=θ1+θ2，
直线AA垂直于平面ZOY，AA=h``，同理可证
2 2 2 2
2R =(y/cosθ3) +(y*tgθ3) -y
2 2 2 2
2R =(z/cosθ4) +(z*tgθ4) -z
θ=θ3+θ4
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离
如图9所示，∠ZOX=θ=∠ZOA+∠XOA，∠ZOA=θ5，∠XOA=θ6，θ=θ5+θ6，
直线AA垂直于平面ZOX，AA=h```，同理可证，
2 2 2 2
2R =(z/cosθ5) +(z*tgθ5) -z
2 2 2 2
2R =(x/cosθ6) +(x*tgθ6) -x
θ=θ5+θ6
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图10所示，当上面的三维空间中三个坐标相互之间的夹角是θ，如果θ≠90°，那么这个空间是一个非内积空间，同时当这个三坐标轴上的测度是存在的，这三个坐标轴上面的测度是不相等的，就是说，x坐标轴上面的单位长度为a, y坐标轴上面的单位长度为b, z坐标轴上面的单位长度为c, 且a≠b≠c，
设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x/a,y/b,z/c)，A点到O点的距离是R，A点在平面XOY上面的投影是A`，A点在平面YOZ上面的投影是A``，A点在平面ZOX上面的投影是A```，
如图11所示，∠XOY=θ=∠XOA+∠YOA，∠XOA=θ1，∠YOA=θ2，θ=θ1+θ2，
平面AAX垂直于坐标轴X，在三角形XOA中，OA=x/acosθ1，XA=xtgθ1/a，
平面AAY垂直于坐标轴Y，在三角形YOA中，OA=y/bcosθ2，YA=ytgθ2/b，
直线AA垂直于平面XOY，AA=h，在三角形AXA中， 2 2 2 AX =h +XA`
2 2 2 AX` =h` +(x*tgθ1/a) （1）
在三角形AOA中， 2 2 2 AO =h +OA`
2 2 2 R =h` +(x/a*cosθ1) 2 2 2 h` =(x/a*cosθ1) -R （2）
平面AAX垂直于坐标轴X，在三角形XOA中， 2 2 2 AX =x +R （3）
把(3)代入(1),得
2 2 2 2
x +R =h` +(x*tgθ1/a)
2 2 2 2
R =h` +(xtgθ1/a) -x （4）
把(2)代入(4),得
2 2 2 2
2R =(x/acosθ1) +(xtgθ1/a) -x
同理可证
2 2 2 2
2R =(y/bcosθ2) +(ytgθ2/b) -y
所以得到
2 2 2 2
2R =(x/acosθ1) +(x*tgθ1/a) -x
2 2 2 2
2R =(y/bcosθ2) +(ytgθ2/b) -y
θ=θ1+θ2，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图8所示，∠ZOY=θ=∠ZOA+∠YOA，∠YOA=θ3，∠ZOA=θ4，θ=θ1+θ2，直线AA垂直于平面ZOY，AA=h``，同理可证
2 2 2 2
2R =(y/bcosθ3) +(ytgθ3/b) -y
2 2 2 2
2R =(z/ccosθ4) +(ztgθ4/c) -z
θ=θ3+θ4，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图9所示，
∠ZOX=θ=∠ZOA+∠XOA，∠ZOA=θ5，∠XOA=θ6，θ=θ5+θ6，直线AA垂直于平面ZOX，AA=h```，同理可证
2 2 2 2
2R =(z/ccosθ5) +(ztgθ5/c) -z
2 2 2 2
2R =(x/acosθ6) +(xtgθ6/a) -x
θ=θ5+θ6，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图12所示，当上面的四维空间中四个坐标相互之间的夹角是θ，如果θ≠90°，那么这个空间是一个非内积空间，同时当这个四坐标轴上的测度是存在的，
设A是这个四维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z,j)，A点到O点的距离是R，A点在平面XOY上面的投影是A`，A点在平面YOZ上面的投影是A``，A点在平面ZOJ上面的投影是A```，A点在平面JOX上面的投影是A````，
如图12所示，∠XOY=θ=∠XOA+∠YOA，∠XOA=θ1，∠YOA=θ2，θ=θ1+θ2，
平面AAX垂直于坐标轴X，在三角形XOA中，OA=x/cosθ1，XA=xtgθ1，
平面AAY垂直于坐标轴Y，在三角形YOA中，OA=y/cosθ2，YA=ytgθ2，
直线AA垂直于平面XOY，AA=h，在三角形AXA中 2 2 2 AX =h +XA`
2 2 2
AX =h +(x*tgθ1) （1）
在三角形AOA中， 2 2 2 AO =h +OA`
2 2 2
R =h` +(x/cosθ1)
2 2 2
h =(x/cosθ1) -R （2） 平面AAX垂直于坐标轴X，在三角形XOA中，
2 2 2
AX =x +R （3） 把(3)代入(1),得 2 2 2 2 x +R =h +(x*tgθ1)
2 2 2 2
R =h` +(xtgθ1) -x （4）
把(2)代入(4),得
2 2 2 2
2R =(x/cosθ1) +(xtgθ1) -x
同理可证
2 2 2 2
2R =(y/cosθ2) +(ytgθ2) -y
所以得到
2 2 2 2
2R =(x/cosθ1) +(xtgθ1) -x
2 2 2 2
2R =(y/cosθ2) +(y*tgθ2) -y
θ=θ1+θ2，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图13所示，∠ZOY=θ=∠ZOA+∠YOA，∠YOA=θ3，∠ZOA=θ4，θ=θ1+θ2，
直线AA垂直于平面ZOY，AA=h``，同理可证，
2 2 2 2
2R =(y/cosθ3) +(y*tgθ3) -y
2 2 2 2
2R =(z/cosθ4) +(z*tgθ4) -z
θ=θ3+θ4，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图9所示，∠ZOJ=θ=∠ZOA+∠JOA，∠ZOA=θ5，∠JOA=θ6，θ=θ5+θ6，
直线AA垂直于平面ZOJ，AA=h```，同理可证，
2 2 2 2
2R =(z/cosθ5) +(z*tgθ5) -z
2 2 2 2
2R =(j/cosθ6) +(j*tgθ6) -j
θ=θ5+θ6，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图9所示，∠JOX=θ=∠JOA+∠XOA，∠JOA=θ7，∠XOA=θ8，θ=θ7+θ8，
直线AA垂直于平面JOX，AA=h````，同理可证，
2 2 2 2
2R =(j/cosθ7) +(j*tgθ7) -j
2 2 2 2
2R =(x/cosθ8) +(x*tgθ8) -x
θ=θ7+θ8，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图10所示，当上面的四维空间中四个坐标相互之间的夹角是θ，如果θ≠90°，那么这个空间是一个非内积空间，同时当这个三坐标轴上的测度是存在的，
这四个坐标轴上面的测度是不相等的，就是说，x坐标轴上面的单位长度为a, y坐标轴上面的单位长度为b, z坐标轴上面的单位长度为c, j坐标轴上面的单位长度为d, 且a≠b≠c≠d，
设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x/a,y/b,z/c,j/d)，A点到O点的距离是R，A点在平面XOY上面的投影是A`，A点在平面YOZ上面的投影是A``，A点在平面ZOJ上面的投影是A```，A点在平面JOX上面的投影是A````，
如图11所示，∠XOY=θ=∠XOA+∠YOA，∠XOA=θ1，∠YOA=θ2，θ=θ1+θ2，
平面AAX垂直于坐标轴X，在三角形XOA中，OA=x/acosθ1，XA=xtgθ1/a，
平面AAY垂直于坐标轴Y，在三角形YOA中，OA=y/bcosθ2，YA=ytgθ2/b，
直线AA垂直于平面XOY，AA=h，在三角形AXA中， 2 2 2 AX =h +XA`
2 2 2 AX` =h` +(x*tgθ1/a) （1）
在三角形AOA中， 2 2 2 AO =h +OA`
2 2 2 R =h` +(x/a*cosθ1) 2 2 2
h =(x/a*cosθ1) -R (2) 平面AAX垂直于坐标轴X，在三角形XOA中，
2 2 2
AX =x +R （3） 把(3)代入(1),得 2 2 2 2 x +R =h +(x*tgθ1/a)
2 2 2 2
R =h` +(xtgθ1/a) -x （4）
把(2)代入(4),得
2 2 2 2
2R =(x/acosθ1) +(xtgθ1/a) -x
同理可证
2 2 2 2
2R =(y/bcosθ2) +(ytgθ2/b) -y
所以得到
2 2 2 2
2R =(x/acosθ1) +(x*tgθ1/a) -x
2 2 2 2
2R =(y/bcosθ2) +(ytgθ2/b) -y
θ=θ1+θ2
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图8所示，∠ZOY=θ=∠ZOA+∠YOA，∠YOA=θ3，∠ZOA=θ4，θ=θ1+θ2
注意，这里θ1，θ2，θ3，θ4都是代号，方便记录，θ后面的数字1，2，3，4不表示大小，它们是θ的下标号，只是方便记录。
直线AA垂直于平面ZOY，AA=h``，同理可证
2 2 2 2
2R =(y/bcosθ3) +(ytgθ3/b) -y
2 2 2 2
2R =(z/c*cosθ4) +(z*tgθ4/c) -z
θ=θ3+θ4，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图9所示，∠ZOJ=θ=∠ZOA+∠JOA，∠ZOA=θ5，∠JOA=θ6，θ=θ5+θ6，
直线AA垂直于平面ZOJ，AA=h```，同理可证
2 2 2 2
2R =(z/ccosθ5) +(ztgθ5/c) -z
2 2 2 2
2R =(j/dcosθ6) +(jtgθ6/d) -j
θ=θ5+θ6
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
如图9所示，∠XOJ=θ=∠XOA+∠JOA，∠JOA=θ7，∠XOA=θ8，θ=θ7+θ8，
直线AA垂直于平面XOJ，AA=h````，同理可证
2 2 2 2
2R =(j/dcosθ7) +(jtgθ7/d) -j
2 2 2 2
2R =(x/acosθ8) +(xtgθ8/a) -x
θ=θ7+θ8，
利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。
关于内积空间的测度相关理论可见《实变函数论》，商务印书馆1953年出版，И.П.那汤松著，徐瑞云译，上册60页
1.有界闭集的测度
在实变数函数论中点集的测度概念很是重要。它是线段的长，长方形的面积，以及六面体的体积等等这种概念的扩充。本章叙述勒贝格的线性测度，但是仅就线性有界集而言。由于闭集具有极简单的构造，所以我们从闭集说起。
黎曼积分的相关理论可参见《实变函数与泛函分析》，陕西科学技术出版社2005年出版，姚建武著，98页
5.1.1黎曼积分定义：
定义1：（确界式定义）
第七部分 割圆法
如图1所示，直线y=kx,(k∈R),是平面XOY上过原点的一条直线，
直线y=kx,(k∈R),是平面XOY上过原点的一条直线，直线y=sx,(s∈R),是平面XOY上过原点的一条直线，直线y=tx,(t∈R),是平面XOY上过原点的一条直线，总共有无数条这样过原点的直线，将平面XOY分割成无数条直线。换句话说，无数条这样过原点的直线就组成了一个平面XOY。
如图3所示，函数y=f(x)是平面XOY上面的一条曲线，点A,B,C分别是y=f(x)和直线y=tx,y=sx,y=kx的交点。作AA⊥OX,BB⊥OX,CC⊥OX,A,B,C是坐标轴x上一点，作AA⊥OY,BB⊥OY,CC⊥OY,A,B,C是坐标轴y上一点，
设AO=p,BO=1.00001p,CO=1.00002p, ∠AOB=α,∠BOC=β, 作AA⊥BB于Q,作BB`⊥CC于P, 因为C点在直线y=kx上，
所以so,CO=k*C`O，CO=1.00002pk，因为B点在直线y=sx上，所以,BO=s*B`O，BO=1.00001ps，因为C点在直线y=tx上，所以,AO=t*A`O，AO=pt，
在直角三角形APB中，AB=a,AP=c,BP=d, AP=AO-BO，c=pt-1.00001ps, BP=BO-AO, d=1.00001p-p=0.00001p, 根据勾股定理，
2 2 2
a =c +d
2 2 2
a =(pt-1.00001ps) +(0.00001p)
如图4所示，在三角形ABO中，
作AP⊥BO，∠AOB=α,AO=i,AB=a,AP=h,BP=j,PO=g,BO=v,
在直角三角形APB中，
2 2 2
AO =AA +AO
2 2 AO =t +1 2 2 i =t +1
在直角三角形BBO中， 2 2 2 BO =BB +B`O
2 2
BO =4s +4
2 2
v =4s +4
在直角三角形APO中， 2 2 2 i =h +g 在直角三角形APB中，
2 2 2
a =h +j
因为，g+j=v，所以，j=v-g，
2 2 2
h =-(v-g) +a
2 2 2 2
i =-(v-g) +a +g
2 2
2g+a -i -v=0
2 2
g=(i -a +v)/2 （1）
在直角三角形AP`B中，因为，
2 2 2
h =a -j
j=v-g,
所以，
2 2 2
h =a -(v-g)
2 2 2 2
-v +2g-g +a -h =0
根据一元二次方程球根公式，解上面的方程，得
2
ax +bx+c=0
上面一元二次方程的求根公式是
2
-b± b -4ac
2a
解得
2 2 2
-2± 4+4(a -h -v )
g=
-2
2 2 2
g=1± 1+(a -h -v )
因为,
2 2 2
i =h +g
2 2 2
h =i -g
所以,
2 2 2 2 2 2
h = i -[1± 1+(a -h -v )]
2 2 2 2 2 2 2 2
h = i -[1±2 1+(a -h -v )+1+(a -h -v )]]
2 2 2 2 2 2 2 2
h - i +1+1+(a -h -v )=± 2 1+(a -h -v )
2 2 2 2 2 2 2
(- i +2+a -v ) =4[1+(a -h -v )]
2 2 2 2 2 2 2
(- i +2+a -v ) -4-4a +4h +4v =0
根据一元二次方程球根公式，解上面的方程，得
2
ax +bx+c=0
上面一元二次方程的求根公式是
2
-b± b -4ac
2a
解得
2 2 2 2 2 2
0± 0+16[(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ]
h=
8
2 2 2 2 2 2
± [(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ]
h=
2
在直角三角形AOB中，tgα=h/g,
因为,
2 2 2 2 2 2
± [(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ]
h=
2
2 2
g=(i -a +v)/2
所以,
2 2 2 2 2 2
± [(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ]
tgα=
2 2
i -a +v
因为,
2 2 2
a =(pt-1.00001ps) +(0.00001p)
2 2
i =t +1
2 2
v =4s +4
2 2 2 2 2 2
± [(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ]
tgα=
2 2
i -a +v
2 2 2 2 2 2 2
± [(- t +(pt-1.00001ps) +(0.00001p) -4s -3) -4(t-2s) +16s +8]
tgα=
2 2 2 2
t -(pt-1.00001ps) -(0.00001p) +4s +5
当t=1.00001s时，上式化简为，
2 2 2 2 2 2
[(- 1.00001s +(p1.00001s-1.00001ps) +(0.00001p) -4s -3) -4-4(1.00001s-2s) +16s +8]
tgα=±
2 2 2 2
1.00001s -(p1.00001s-1.00001ps) -(0.00001p) +4s +5
2 2 2 2 2 2
± [(- 1.00001s +(0.00001p) -4s -3) -4-4(1.00001s-2s) +16s +8]
tgα=
2 2 2
1.00001s -(0.00001p) +4s +5
如图5所示，根据空间向量减法定义，在平面坐标系XOY中存在A(a,b),B(c,d)两点。
AB =(a-c)i+(b-d)j2 2 2AB =(a-c) +(b-d)
如图6所示, AB=a,
2 2 2
a =(p-1.00001p) +(pt-1.00001ps)
2 2
a= 0.00001p +(pt-1.00001ps)
如图6所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2,
设弧上的单位弦长为γ，则
γ=θk/√2= πk/2√2,
上式中，k=1.1, 或
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
所以, y=f(x)=πka/2√2,
2 2
y=πk 0.00001p +(pt-1.00001ps) /2√2
当t=1.00001s时，上式化简为，y=0.00001πkps/2√2, s=2√2y/0.00001πkp,
因为,
2 2 2 2 2 2
± [(- 1.00001s +(0.00001p) -4s -3) -4-4(1.00001s-2s) +16s +8]
tgα=
2 2 2
1.00001s -(0.00001p) +4s +5
所以,
2 2 2 2
± [(- 1.00001(2√2y/0.00001πkp) +(0.00001p) -4(2√2y/0.00001πkp) -3) -42 2 2
-4(1.00001-2) (2√2y/0.00001πkp) +16(2√2y/0.00001πkp) +8]
tgα=
2 2 2 2
1.00002(2√2y/0.00002πkp) -(0.00002p) +4(2√2y/0.00002πkp) +5
p是y=f(x)上面的点，当p=1时，上式可化简为，
2 2 2 2
± [(- 1.00001(2√2y/0.00001πk) +(0.00001) -4(2√2y/0.00001πk) -3)
2 2 2
-4-4(1.00001-2) (2√2y/0.00001πk) +16(2√2y/0.00001πk) +8]
tgα=
2 2 2
1.00002(2√2y/0.00002πkp) -(0.00002p) +4(2√2y/0.00002πkp) +5
同理可证
2 2 2 2
± [(- 1.00002(2√2y/0.00002πkp) +(0.00002p) -4(2√2y/0.00002πkp) -3)
2 2 2
-4-4(1.00002-2) (2√2y/0.00002πkp) +16(2√2y/0.00002πkp) +8]
tgβ=
2 2 2
1.00002(2√2y/0.00002πkp) -(0.00002p) +4(2√2y/0.00002πkp) +5
p是y=f(x)上面的点，当p=1时，上式可化简为，
2 2 2 2
± [(- 1.00002(2√2y/0.00002πk) +(0.00002) -4(2√2y/0.00002πk) -3)
2 2 2
-4-4(1.00002-2) (2√2y/0.00002πk) +16(2√2y/0.00002πk) +8]
tgβ=
2 2 2
1.00002(2√2y/0.00002πk) -(0.00002) +4(2√2y/0.00002πk) +5
y`=tgα+tgβ+…+tg(π/n),
2 2 2 2
± [(- 1.00001(2√2y/0.00001πkp) +(0.00001p) -4(2√2y/0.00001πkp) -3)
2 2 2
-4-4(1.00001-2) (2√2y/0.00001πkp) +16(2√2y/0.00001πkp) +8]
y=
2 2 2
1.00001(2√2y/0.00001πkp) -(0.00001p) +4(2√2y/0.00001πkp) +5
2 2 2 2 [(- 1.00002(2√2y/0.00002πkp) +(0.00002p) -4(2√2y/0.00002πkp) -3) 2 2 2 -4-4(1.00002-2) (2√2y/0.00002πkp) +16(2√2y/0.00002πkp) +8]
±
2 2 2
1.00002(2√2y/0.00002πkp) -(0.00002p) +4(2√2y/0.00002πkp) +5
2 2 2 2 [(- 1.0000(2√2y/0.0000πkp) +(0.0000p) -4(2√2y/0.0000πkp) -3) 2 2 2 -4-4(1.0000-2) (2√2y/0.0000πkp) +16(2√2y/0.0000πkp) +8]
±
2 2 2
1.0000(2√2y/0.0000πkp) -(0.000p) +4(2√2y/0.0000πkp) +5
如图1所示, 无数条直线y=x*tgθ将平面xoy分成无数个夹角为θ的直线。直线y=f(x)和无数条直线y=tgθ有无数条交点, 这些交点组成了函数y=f(x)，这些交点的坐标为(x,y),则
tgθ= y/x, x=tgθ/y,
解法一：
如图6所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2,
设弧上的单位弦长为γ，则
γ=θk/√2= πk/2√2, 上式中，k=1.1, 或
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
所以, η=πky/2√2,
上式中，k=1.1, 或
3 2
k=0.33θ +0.5θ +θ+1
所以, η=πkf(x)/2√2,
因为, x=tgθ/y,
所以, η=πkf(tgθ/y)/2√2, θ=π/n,
所以, η=πkf[tg(π/ny)]/2√2,
∞ ∞ ∞
∑η=∑πkf(tgθ/y)/2√2=∑πkf[tg(π/ny)]/2√2
n=1 n=1 n=1
上式称为函数y=f(x)的变化程度大小衡量参数。用上式可以计算某个函数变化的程度大小。
解法二：
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,
当45°<θ≤90°时
3 3 2 3 2 2
θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1
λ=θ- + -
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 5 7
θ θ θ
λ=θ- + - -
24 1920 80640
3 3 2 2n+1
θ 1 θ θ 1 1 n θ 1 1 1
λ=θ- + -…(-1) n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
当0<θ≤45°时
3 3 2 3 2 2
θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1
λ=θ+ + +
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 5 7
θ θ θ
λ=θ+ + + -
24 1920 80640
3 3 2 2n+1
θ 1 θ θ 1 1 θ 1 1 1
λ=θ+ + +…+ n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
上式中,λ表示圆心角对应的弦，θ表示圆心角，所以, η=yλ,
3 5 7
π π π
η=y(π- + - ) -
24 1920 80640
3 5 7
π π π
η=f(x)(π- + - ) -
24 1920 80640
因为, x=tgθ/y,
所以,
3 5 7
π π π
η=f(tgθ/y)(π- + - ) -
24 1920 80640
因为, θ=π/n,
所以,
3 5 7
π π π
η=f(tg(π/ny))(π- + - ) -
24 1920 80640
3 5 7
π π π
f`(w)= ∑η=∑f(tgθ/y)(π- + - ) -
24 1920 80640
3 5 7
π π π
=∑f(tg(π/ny))(π- + - ) -
24 1920 80640
用上面的方法可以计算某些函数的近似导数，因为, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译, 推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著,
因为, tga=y=f(x)=u(x)=y/x, a=arctgy,所以so sina d9cosa) f(x)= ∫tgada=∫ da=∫ =-lncosa+C cosa cosa 推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译, 9. ∫tanudu=logsec u+C 3 5 7 ∞ ∞ π π π ∫f(w)= ∑ζ=∑f(logsecθ/y)(π- + - )
n=1 n=1 24 1920 80640
3 5 7 ∞ π π π
∑f(logsec(π/ny))(π- + - )
n=1 24 1920 80640
或者
3 5 7 ∞ ∞ π π π
∫f`(w)= ∑ζ=∑f(-lncosθ/y)(π- + - )
n=1 n=1 24 1920 80640
3 5 7 ∞ π π π
∑f(-lnsec(π/ny))(π- + - )
n=1 24 1920 80640
用上面的方法可以计算某些函数的近似积分，
如图1所示, 无数条直线y=x*tgθ将平面xoy分成无数个夹角为θ的直线。直线y=f(x)和无数条直线y=tgθ有无数条交点, 这些交点组成了函数y=f(x)，这些交点的坐标为(x,y),则
tgθ= y/x, x=tgθ/y,
如图6所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2,
设弧上的单位弦长为γ，则
γ=θk/√2= πk/2√2,
上式中，k=1.1, 或
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
所以, η=πkx/2√2,
上式中，k=1.1, 或
3 2
k=0.33θ +0.5θ +θ+1
因为, x=tgθ/y, η=2πktgθ/√2y, θ=π/n,
所以, η=2πktg(π/n)/√2y,
∞ ∞ ∞
∑η=∑2πktgθ/√2y=∑2πktg(π/n)/√2y
n=1 n=1 n=1
上式称为函数y=f(x)的变化程度大小衡量参数。用上式可以计算某个函数变化的程度大小。
例如:
2
y=f(x)=2x +3
η=2πktg(π/n)/√2y
2
η=2πktg(π/n)/√2(2x +3)
所以,
∞ ∞ 2
∑η=∑2πktg(π/n)/√2(2x +3)
n=1 n=1
∞ 2 ∞
∑η=2πk/√2(2x +3)∑tg(π/n)
n=1 n=1
第八部分 割圆法微积分
如图1所示，直线y=k,(k∈R),是平面XOY上平行于X轴的一条直线，
直线y=k,(k∈R),是平面XOY上平行于X轴的一条直线，直线y=s,(s∈R),是平面XOY上平行于X轴的一条直线，直线y=t,(t∈R),是平面XOY上平行于X轴的一条直线，总共有无数条这样的直线，将平面XOY分割成无数条直线。换句话说，无数条平行的直线就组成了一个平面XOY。
函数y=f(x)是平面XOY上面的一条曲线，点A,B,C分别是y=f(x)和直线y=t,y=s,y=k的交点。作BD⊥OD,BE⊥AE,E是直线y=t上一点，E是直线BD上一点。, 作CF⊥OF,CG⊥BG,G是直线y=s上一点，G是直线CF上一点。 AB=a,BC=b,∠BAE=α，∠CBG=β，AE=BG=1,
根据上图的几何关系可知，sinα-sinβ=-my(a-b)，
当β=90°，sinβ=1,b=2，
所以，sinα-1=-my(a-2)，sinα=-my(a-2)+1，
上式中，m=1.3，或，
3 2
m=0.33α +0.5α +α+1
根据上图的几何关系可知
cosα-cosβ=-ny(a-b)，
当β=90°，cosβ=0,b=2，
所以，cosα-0=-ny(a-2)，cosα=-ny(a-2)，
上式中，n=0.6，或
3 2
m=0.33α +0.5α +α+1
所以，tgα=sinα/cosα，
因为，sinα=-m(a-2)+1，cosα=-n(a-2)，
所以，
-my(a-2)+1 my(a-2)-1
tgα=sinα/cosα= =
-ny(a-2) ny(a-2)
一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tgα=y=f(x)
-m*y*(a-2)+1 m*y*(a-2)-1
y`= =
-ny(a-2) ny(a-2)
如图2所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2,
设弧上的单位弦长为γ，则γ=θk/√2= πk/2√2,
上式中，k=1.1, 或.
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
所以, a= πwy/2√2,
上式中，w=1.1, 或.
3 2
w=0.33α +0.5α +α+1
所以, tgα=y=f(x),
-m*y*(a-2)+1 m*y*(a-2)-1 m*y*(πwy/2√2-2)-1
y`= = =
-ny(a-2) ny(a-2) ny(πwy/2√2-2)
这样就得到一个通过原函数计算导数的公式。
如图3所示, tgα=BE, 在三角形AEB中，根据勾股定理，,
2 2 2
BE +AE =AB
因为, AE=1,AB=a,tgα=BE, 所以,
2 2
tg α+1=a
2 y`+1=a
因为, a= πwy/2√2, 上式中，w=1.1, 或
3 2
w=0.33α +0.5α +α+1
所以,
y`+1 = πway/2√2
y=2√2 (y`+1)/πw
这样就得到一个通过导数计算积分的公式。即
B
∫ydx=2√2 (y+1)/πwa
A
上式表示从A点到B点的定积分等于
B
∫ydx=2√2 (y+1)/πwa
A
同理可证：
C
∫ydx=2√2 (y+1)/πwa
B
根据黎曼积分相关性质，得
C B C
∫ydx=∫ydx+∫ydx A A B 上式表示从A点到C点的定积分等于从A点到B点的定积分加上从B点到C点的定积分 所以, C ∫ydx=2√2 (y+1)/πwa+2√2 (y+1)/πwb
A
上式中，w=1.1, 或
3 2
w=0.33α +0.5α +α+1
所以, y=πwc/2√2
例如, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译,
例27.求,
2 1 2 2
∫ 3x +2 dx= ∫ (√3x) +(√2) d((√3x)
√3
2
1 √3x 2 2 (√2) 2 2
= [ (√3x) +(√2) + ln│√3x+ (√3x) +(√2) │+C
√3 2 2
1 2 1 2 2 = (√3x) +(√2) + ln│√3x+ (√3x) +(√2) │ +C2 √3 2 2 2
∫ 3x +2 dx=2√2 (y`+1)/πwa
2 =2√2 ( 3x +2 +1)/πwa
例如
2
∫dx/ 1-x =arc sinx+C 6.14
2
∫dx/ 1-x =2√2 (y`+1)/πwa
=2√2 ( 1/1-x +1)/ πwa
如图4所示, 函数y=f(x)是平面XOY上面的一条曲线，点Q,M,N分别是y=f(x)和直线y=t,y=s,y=k的交点。NN⊥ON,MM⊥OM,NN⊥ON,MM⊥OM,NN⊥MM,垂足是P,
MP=a,NP=b,∠MON=α，MN=c，MM=s,ON=k,
MO=d,NO=e,MN`=1,ON=k,MO=2,NN=1,
在直角三角形MMN`中，根据勾股定理 2 2 2 MM +M``O =MO
2 2
d =s +4
在直角三角形NN``O中，根据勾股定理
2 2 2
NN +NO =NO
2 2
e =k +1
在三角形MNC中，NN⊥MO,∠NOM=α，NO=e,NN=h,MN=c, MN=f,NO=g,MO=d,
2
h=e*sinα=k *sinα+*sinα
2
g=e*cosα=k *cosα+*cosα
2 2
f=d-g=d-e*cosα=s +4-k *cosα-*cosα
2 2 2 2
c= f +h = (d-ecosα) +(esinα)
2 2 = d -2de*cosα+e如图5所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2,
设弧上的单位弦长为γ，则γ=θw/√2= πw/2√2, 上式中，w=1.1,
3 2
w=0.33α +0.5α +α+1,
所以, 弧NM的长度等函数y的值，所以，y=πwc/2√2,
2 2 c= d -2de*cosα+e2 2 y=[πw d -2de*cosα+e ]/2√2
一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率, tgα=y=f(x), α=arctgy`,所以,
2 2 y=[πw d -2de*cos (arctgy`)+e ]/2√2
因为,
2 2
d =s +4
2 2 e =k +1
所以,
2 2 2 2
πw s +4-2 (s +4 )(k +1 )*cos (arctgy`)+k +1
y=
2√2
所以, 从直线y=s,到直线y=k的定积分等于下面公式
2 2 2 2 k πw s +4-2 (s +4 )(k +1 )*cos (arctgy`)+k +1 ∫y`=s 2√2
根据黎曼积分相关性质，得
k k s
∫=∫+∫
t s t
2 2 2 2 2 k πw s +4-2 (s +4 )(k +1 )*cos (arctgy`)+k +1 ∫y`=s 2√22 2 2 2
πw t +4-2 (t +4 )(s +1 )*cos (arctgy`)+s +1
+
2√2
上式中，w=1.1, 或,
3 2
w=0.33α +0.5α +α+1
所以, y=πwc/2√2,
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》
如图，八线二，通弦为线段己丙，它对应的通弧为弧己丙。它对应的矢是丙庚,丙庚=versinθ=1-cosθ, 角己甲丙=θ，线段己丙=λ.
设如，通弦一千万为第一条，半径一千万，为第一率，通弦为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百五十万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百五十万，为第四率，二除之，三除之，得四十一万六千六百六十六（小于六六），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十万零四千一百六十六（小于六六），为第六率，九乘之，四除之，五除之，得四万六千八百七十五，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万一千七百一十八（小于七五），为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六千九百七十五（小于四四），为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千七百四十三（小于八六），为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一千一百八十六（小于七九），为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二百九十六（小于六九），为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得二百一十八（小于四七），为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得五十四（小于六一），为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得四十二（小于三六），为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得一十零（小于五九），为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得八（小于五二），为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得二（小于一三），为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得一（小于七六），为第九条，诸条相并，得一千零四十七万一千九百七十五，即六十度通弧本数也。
θ=1.0471975, θ=60°
a第一条λ=1 a=λ
b一率r=1 b=r
c二率λ=1 c=1
2 2
d三率λ /41=1/4=0.25 d=λ /4
e四率0.251/1=0.25 e=λd/r
f第二条0.25/23=0.041666666 f=e/23
g六率0.0416666660.25=0.010416666 g=fd/r
h第三条0.0104166669/45=0.0046875 h=9g/45
i八率0.00468750.25=0.001171875 i=hd/r
j第四条0.00117187525/67=0.0006975446428 j=25i/67
k十率0.00069754464280.25=0.0001743861607 k=jd/r
m第五条0.000174386160749/89=0.0001186794705 m=49k/89
n十二率0.00011867947050.25=0.00002966986762 n=md/r
o第六条0.0000296698676281/1011=0.00002184781161 o=81n/1011
p十四率0.000021847811610.25=0.000005461952903 p=od/r
q第七条0.000005461952903121/1213=0.000004236514752 q=121p/1213
s十六率0.0000042365147520.25=0.000001059128688 s=qd/r
t第八条0.000001059128688168/1415=0.0000008523464203 t=169s/1415
u十八率0.00000085234642030.25=0.0000002130866051 u=td/r
v第九条0.0000002130866051225/1617=0.0000001762664932 v=225u/1617
θ=a+f+h+j+m+o+q+t+v
=λ+e/23+25i/67+49k/89+81n/1011+121p/1213+169s/1415+225u/16*17=
=1+0.041666666+0.0046875+0.0006975446428+0.0001186794705+0.00002184781161
+0.000004236514752+0.0000008523464203+0.0000001762664932
=1.048265618
θ=60°
3 3 2 3 2 2
λ 1 λ λ 1 9 λ λ λ 1 9 25
θ=λ+ + +
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 2 2 2
λ λ λ λ 1 9 25 49
+
4 4 4 4 23 45 67 89
3 2 2 2 2
λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81
+
4 4 4 4 4 23 45 67 89 1011
3 2 2 2 2 2
λ λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81 121
+
4 4 4 4 4 4 23 45 67 89 1011 12*13
当0<θ≤45°时
3 5 7 9
λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025
θ=λ+ + + +
4 6 16 120 32 5040 64 362880
11 13 15
λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823
+ +
128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900
3 3 2 2n+1
λ 1 λ λ 1 9 λ 1 3344…(2n+1)(2n+1)
θ=λ+ + +…+ n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…*(2n+1)
当0<θ≤45°时
3 5 7 9
λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025
θ=λ- + - +
4 6 16 120 32 5040 64 362880
11 13 15
λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823
+ - 128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900
3 3 2 2n+1
λ 1 λ λ 1 9 n λ 1 3344…(2n+1)(2n+1)
θ=λ+ + +…+(-1) n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…*(2n+1)
弧NM的长度等函数y的值，所以，
y=θ,λ=c,
3 5 7 9
c 1 c 9 c 225 c 11025
y=c+ + + +
4 6 16 120 32 5040 64 362880
11 13 15
c 893025 c 108056025 c 1826146823
+ +
128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900
上式中，
2 2
c= d -2de*cosα+e
一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tgα=y=f(x), α=arctgy, 2 2 c= d -2de*cos(arctgy)+e
如图5所示, 函数y=f(x)是平面XOY上面的一条曲线，点Q,M,N分别是y=f(x)和直线y=t,y=s,y=k的交点。NN⊥ON,MM⊥OM,NN⊥ON,MM⊥OM,NN⊥MM,垂足是P,
MP=a,NP=b,∠MON=α，MN=c，MM=s,ON=k,
MO=d,NO=e,MN`=1,ON=k,MO=2,NN=1,
在直角三角形MMN`中，根据勾股定理 2 2 2 MM +M``O =MO
2 2 2
d =s +4
在直角三角形NN``O中，根据勾股定理
2 2 2
NN +NO =NO
2 2 2
e =k +1
在直角三角形NN``O中，根据勾股定理
2 2 2
NN +NO =NO
2 2
e =k +1
在三角形MNC中，NN⊥MO,∠NOM=α，NO=e,NN=h,MN=c, MN=f,NO=g,MO=d,
在直角三角形NNO中，根据勾股定理 g=e*cosα, 2 2 2 h = c -f f=d-g, 在直角三角形NNM中，根据勾股定理
2 2 2
h =c -(d-g)
2 2 2
e =h +g
2 2 2 2
e =c -(d-g) +g
2 2 2
e =c -d +2dg
2 2 2
c =-e +d -2dg
2 2 2
c =-e +d -2de*cosα
2 2 2
cosα=(c +e -d )/2de
2 2 2
α=arccos(c +e -d )/2de
2 2 2
tgα=tg[arccos(c +e -d )/2de]
因为,
2 2
d =s +4
2 2
e =k +1
所以,
2 2 2
tgα=tg[arccos(c +k +1-s -4)/2 (k+1)(s+4)
这样就得到一个通过原函数计算导数的公式。
上式中，w=1.1, 或
3 2
w=0.33α +0.5α +α+1
所以, y=πwc/2√2,
第九部分数学拾遗通弦
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》
如图，八线二，通弦为线段己丙，它对应的通弧为弧己丙。它对应的矢是丙庚,丙庚=versinθ=1-cosθ, 角己甲丙=θ，线段己丙=λ，
通弧求通弦，法如弧求正弦，通弧求矢，法如弧求正矢，通弦求通弧法，如正弦求弧，皆以连比例第三率，四除之，以为每次所用之第三率。
设如，通弦六十度，半径一千万，求通弦，法以六十度，弧本数一千零四十七万一千九百七十五，为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百七十四万一千五百五十六，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百八十七万零九百五十一，为第四率，二除之，三除之，得四十七万八千四百九十一，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十三万一千一百八十一，为第六率，四除之，五除之，得六千五百五十九，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一千七百九十三，为第八率，六除之，七除之，得四十二，为第四条，以第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一千万，即六十度通弦也。
a第一条θ=1.0471975 a=θ,
b一率r=1 b=θr,
c二率 θ=1.0471975 c=θ,
2 2
d三率 θ /41=0.274155651 d=c /4,
e四率0.2741556511.0471975/1=0.287095112 e=ad/r
f第二条0.287095112/6=0.047849185 f=e/23
g六率 0.0478491850.274155651/1=0.013118124 g=fd/r
h第三条0.013118124/45=0.0006559062285 h=g/45
i八率0.00065590622850.274155651=0.0001798203991 i=hd/r
j第四条0.0001798203991/67=0.000004281438073 j=i/67
x=a+h-f-j=θ+g/45-e/23-i/67
=1.0471975+0.0006559062285-0.047849185-0.000004281438073=0.994777439
当45°<θ≤90°时,
3 3 2 3 2 2
θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1
λ=θ- + -
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 5 7
θ θ θ
λ=θ- + - -
24 1920 80640
3 3 2 2n+1
θ 1 θ θ 1 1 n θ 1 1 1
λ=θ- + -…(-1) n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
当0<θ≤45°时
3 3 2 3 2 2
θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1
λ=θ+ + +
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 5 7
θ θ θ
λ=θ+ + + -
24 1920 80640
3 3 2 2n+1
θ 1 θ θ 1 1 θ 1 1 1
λ=θ+ + +…+ n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
设如，通弦一千万为第一条，半径一千万，为第一率，通弦为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百五十万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百五十万，为第四率，二除之，三除之，得四十一万六千六百六十六（小于六六），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十万零四千一百六十六（小于六六），为第六率，九乘之，四除之，五除之，得四万六千八百七十五，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万一千七百一十八（小于七五），为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六千九百七十五（小于四四），为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千七百四十三（小于八六），为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一千一百八十六（小于七九），为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二百九十六（小于六九），为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得二百一十八（小于四七），为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得五十四（小于六一），为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得四十二（小于三六），为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得一十零（小于五九），为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得八（小于五二），为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得二（小于一三），为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得一（小于七六），为第九条，诸条相并，得一千零四十七万一千九百七十五，即六十度通弧本数也。
θ=1.0471975, θ=60°
a第一条λ=1 a=λ
b一率r=1 b=r
c二率λ=1 c=1
2 2
d三率λ /41=1/4=0.25 d=λ /4
e四率0.251/1=0.25 e=λd/r
f第二条0.25/23=0.041666666 f=e/23
g六率0.0416666660.25=0.010416666 g=fd/r
h第三条0.0104166669/45=0.0046875 h=9g/45
i八率0.00468750.25=0.001171875 i=hd/r
j第四条0.00117187525/67=0.0006975446428 j=25i/67
k十率0.00069754464280.25=0.0001743861607 k=jd/r
m第五条0.000174386160749/89=0.0001186794705 m=49k/89
n十二率0.00011867947050.25=0.00002966986762 n=md/r
o第六条0.0000296698676281/1011=0.00002184781161 o=81n/1011
p十四率0.000021847811610.25=0.000005461952903 p=od/r
q第七条0.000005461952903121/1213=0.000004236514752 q=121p/1213
s十六率0.0000042365147520.25=0.000001059128688 s=qd/r
t第八条0.000001059128688168/1415=0.0000008523464203 t=169s/1415
u十八率0.00000085234642030.25=0.0000002130866051 u=td/r
v第九条0.0000002130866051225/1617=0.0000001762664932 v=225u/1617
θ=a+f+h+j+m+o+q+t+v
=λ+e/23+25i/67+49k/89+81n/1011+121p/1213+169s/1415+225u/16*17=
=1+0.041666666+0.0046875+0.0006975446428+0.0001186794705+0.00002184781161
+0.000004236514752+0.0000008523464203+0.0000001762664932
=1.048265618
θ=60°
3 3 2 3 2 2
λ 1 λ λ 1 9 λ λ λ 1 9 25
θ=λ+ + +
4 23 4 4 23 45 4 4 4 23 45 67
3 2 2 2
λ λ λ λ 1 9 25 49
+
4 4 4 4 23 45 67 89
3 2 2 2 2
λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81
+
4 4 4 4 4 23 45 67 89 1011
3 2 2 2 2 2
λ λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81 121
+
4 4 4 4 4 4 23 45 67 89 1011 12*13
当0<θ≤45°时
3 5 7 9
λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025
θ=λ+ + + +
4 6 16 120 32 5040 64 362880
11 13 15
λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823
+ +
128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900
3 3 2 2n+1
λ 1 λ λ 1 9 λ 1 3344…(2n+1)(2n+1)
θ=λ+ + +…+ n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…*(2n+1)
当0<θ≤45°时
3 5 7 9
λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025
θ=λ- + - +
4 6 16 120 32 5040 64 362880
11 13 15
λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823
+ - 128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900
3 3 2 2n+1
λ 1 λ λ 1 9 n λ 1 3344…(2n+1)(2n+1)
θ=λ+ + +…+(-1) n
4 23 4 4 23 45 4 23 45…(2n+1)
π的计算,
圆径求周，以全径（半径即六十度弧之通弧，全径为六十度弧通弦者二）三因之（为六十度通弦者六）为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，为第六条，以后例推除至，单位而至，以逐条相并，即圆周也。
设如，全径一千万，求圆周。
法以全径一千万，三因之，得三千万，为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，得一百二十五万，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，得一十四万零六百二十五，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，得二万零九百二十六（小于三三），为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，得三千五百六十零（小于三八），为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，得六百五十五（小于四三），为第六条，以第七条，一百六十九乘之，四除之，又十四除之，十五除之，得二十五（小于五七），为第八条，以第八条，二百二十五乘之，四除之，又十六除之，十七除之，得五（小于二八），为第九条，以第九条，二百八十九乘之，四除之，又十八除之，十九除之，得一（小于一一），为第十条，以十条相并，得三千一百四十一万五千九百二十六，即圆周。
a第一条3r=13=3 a=3r
b第二条3/423=0.125 b=a/42
c第三条0.1259/445=0.0140625 c=9b/445
d第四条0.014062525/467=0.002092633929 d=25c/467
e第五条0.00209263392949/489=0.0003560384115 e=49d/489
f第六条0.000356038411581/41011=0.00006554343484 f=81e/41011
g第七条0.00006554343484121/41213=0.00001270954426 g=121f/41213
h第八条0.00001270954426169/41415=0.0000002557039262 h=169g/41415
i第九条0.0000002557039262225/41617=0.00000005287994797 i=225h/41617
j第十条0.00000005287994797289/41819=0.00000001117127556 j=289i/41819
π=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j
=3r+a/423+9b/445+25c/467+49d/489+81e/41011+121f/41213+169g/41415+225h/41617+289i/41819
=3+0.125+0.0140625+0.002092633929+0.0003560384115+0.00006554343484+0.00001270954426+0.0000002557039262+0.00000005287994797+0.00000001117127556
=3.141592522
3r 3r 25 3r 25 49
π=3r+ + +
423 423 467 423 467 489
3r 25 49 81
4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*113r 25 49 81 1694*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*153r 25 49 81 169 2254*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 4*16*173r 25 49 81 169 225 2894*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 4*16*17 4*18*1923r 3r 25 3r 25 49 (2n+1)
π=3r+ + + +…+
423 423 467 423 467 489 423 …42n*(2n+1)
此六通弦，求六通弧也，其不用连比例者，六十度通弦与半径等，则每率皆等无用比例也，
每条多，一四除之者，即不用连比例，则第三率之四除以，为每次第三率者，分用于每条中也，盖求通弦，通弧之于第三率，先用四除原，即每条各用之四除，总用之于第三率也。以上诸法，无论弧之大小，按法求之，皆得真数，若弧过六十度者，可以余弧求得，余弦乃用勾股法求得，正弦，若弧在三十度以外，至六十度者，求之之条数，渐多，尚若其繁，则又有借弧借弦之法。
求周径密率捷法，译西士杜德美法。
割圆旧术，屡求勾股至精至密，但开数十位之方，非旬日不能辩，今以圆内六等边，别立乘除之数，以求之得之，顷刻与屡求勾股者无异，故称捷焉。
先将一三五七九等数，各自乘为屡次乘数，如一自乘仍得一，为第一乘数，三自乘得九，为第二乘数，以至二十三自乘，得五百二十九，为第十二乘数，又将二三四五六七八九等数，以挨次两位相乘，又以四乘之，为屡次除数。
如二三相乘，得六，以四除之，得二十四，为第一除数，四五相乘，得二十，以四乘之，得八十，为第二除数，以至二十四与二十五相乘，得六百，以四乘之，得二千四百，为第十二除数。
设径二十亿，求周（径位愈多，尾数愈密，兹以十位为例）, 法以径二十亿，三因之，得六十亿（即圆内六边形），为第一数，为实以第一乘数乘之，（一乘其数不变），第一除数（二十四）除之，得二五零零零零零零零，为第二数，又为实以第二乘数（九）乘之，第二除数八十除之，得二八一二五零零零，为第三数，累次乘除至所得一位为止，（去单位以下之零数不用）, 乃并之，得六二八三一八五二九九，即所求二十亿之周也。
a第一数3r=23=6
b第二数61/24=0.25
c第三条0.259/80=0.028125
d第四条0.02812525/168=0.004185267857
e第五条0.02812549/288=0.0007120768229
f第六条0.000712076822981/440=0.0001310868697
g第七条0.0001310868697121/624=0.00002541908851
h第八条0.00002541908851169/840=0.000005114078522
i第九条0.000005114078522225/1088=0.000001057598959
j第十条0.000001057598959289/1368=0.0000002234255111
k第十一条0.0000002234255111316/1680=0.00000004800988661
m第十二条0.00000004800988661441/2064=0.00000001025792635
n第十三条0.00000001025792635*529/2400=0.00000002261017934
2π=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+m+n=6+0.25+0.028125+0.004185267857+0.0007120768229
+0.0001310868697+0.00002541908851+0.000005114078522+0.000001057598959
+0.0000002234255111+0.00000004800988661+0.00000001025792635+0.00000002261017934
=6.283022345
3r 3r 9 3r 9 25
π=3r+ + +
24 24 80 24 80 168
3r 9 25 49
24 80 168 2883r 9 25 49 8124 80 168 288 4403r 9 25 49 81 12124 80 168 288 440 6243r 9 25 49 81 121 16924 80 168 288 440 624 8403r*1*1 3r*1*1 3*3 3r*1*1 3*3 5*5
π=3r+ + + +…+
234 234 454 234 454 674 (n+1)(n+2)*4
3r*n*n (n+2)(n+2) (n+4)(n+4) (n+2k)(n+2k)
+…+
(n+1)(n+2)*4 (n+3)(n+4)*4 (n+5)(n+6)*4 (n+k+1)(n+k+2)*4
论曰，乘除俱至单位止，今设十位之径，须乘除十二次，始至单位，若位数多，则所用乘除之数，必须按位增加也。
弧线表
度、分、秒化弧度表
度
1，0.017453292519943
2，0.034906585039886
3，0.052359877559829
4，0.069813170079773
5，0.087266462599716
6，0.104719755119659
7，0.122173047639603
8，0.139626340159546
9，0.15709632679489
10，0.174532925199432
分
1，0.000290888208665
2，0.000581776417331
3，0.000872664625997
4，0.001163552834662
5，0.001454441043328
6，0.001745329251994
7，0.002036217460660
8，0.002327105669325
9，0.002617993877991
10，0.002908882086657
秒
1，0.000004848136811
2，0.000009696273623
3，0.000014544410432
4，0.000019392547244
5，0.000024240684055
6，0.000029088820866
7，0.000033936957677
8，0.000038785094488
9，0.000043633221299
10，0.000048481368111
注：90°=1.570796226794896，
59°=50.174532925199432+90.017453292519943=1.029744258，
立表之法
置全周密率为实，以三百六十度，除之，得每度之弧线，屡加之至十度，又置一度之弧线为实，以六十分除之，得一分之弧线，屡加之至十分，又置一分之弧线为实，以六十秒除之，得一秒之弧线，屡加之至十秒，表而列之，为求弦矢之用。
求弦矢捷法
弧矢，割圆之术，有弧背，即可以求弦矢，然非密率大，测割圆之法，理精数密，然不能随度，以求弦矢，今任设畸零之弧，分，度，不必符乎，六宗法不必依乎，三要而弦矢可得，且与密率无殊焉，斯诚术之奇而捷者。
设弧二十一度一十九分五十一秒，（半径八位），求其正弦，
21°19`51``=0.34906585+0.01745329+0.0029088+0.00261799+0.0002424+0.0000484
=0.37229325
法于弧线表内，取二十度一十九分五十一秒之弧线，而并之得三七二二九三二五（因半径八位，故弧线亦之用八位），为设弧之，其分自乘得一三八六零二二六（亦只用八位），为屡乘数，又以二三四五六七之六数相挨，两两相乘为除数，（如二三相乘，得六，为第一除数，四五相乘，得二十，为第二除数，六七相乘，得四十二，为第三除数），即用设弧，其分为第一得数，复为实，以屡乘数乘之，（凡乘出之数，截去末八位后，放此），第一除数六除之得八六零零一一，为第二得数，又为实，以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得五九五九，为第三得数，又为实，以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得一十九，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，末以后并数，减前并数，余三六三七五二五四，截去末一位，即所求之正弦也。（凡正弦俱小于半径，人算时，多用一位以齐尾数，故得数后，亦截去一位，也后放此，）
21°19`51``=0.37229325
2
a第一数0.37229325*0.37229325=0.138602264 a=θ
3
b第二数0.1386022640.37229325/6=0.008600114554 b=θ /6
c第三数0.0086001145540.138602264/20=0.00005959976739 c=ab/20
d第四条0.00005959976739*0.138602264/42=0.0000001966824451 d=ac/42
sin0.37229325
=0.37229325+0.0005959976739-0.008600114554-0.0000001966824451=0.364288936
3 3 2 3 2 2 3 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ
sinθ=θ- + - +…-(-1) …
23 23 45 23 45 67 (n+1)(n+2) (n+3)(n+4)…(n+k)(n+k+1)
16°27`43``=0.17453292519+0.10471975511+0.0581776417+0.203621746+0.0019392547+0.0001454441=0.28731513181
法取，设弧度分秒之弧线而并之，得二八七三一五一三（因半径九位，故弧线亦用九位），为设弧之其分自乘，得八二五四九九八五零，为屡乘数，又用二三相乘之六，为第一除数，四五相乘之二十，为第二除数，六七相乘之四十二，为第三除数，即用设弧其分为第一得数，复为实以屡乘数乘之，第一除数六除之，得三九五二九七六为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得一六三一五，为第三得数，又为实以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得三二，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，复以后并数减前并数，余二八三三七八四三九，截去末一位，即所求之正弦也。
16°27`43``=0.28731513181,
2
a第一数0.28731513181*0.28731513181=0.08254998497 a=θ
3
b第二数0.287315131810.08254998497/6=0.00395297664 b=θ /6
c第三数0.003952976640.08254998497/20=0.00001631591 c=ab/20
d第四条0.00001631591*0.08254998497/42=0.00000003207 d=ac/42
sin0.28731513181=0.08254998497+0.00001631591-0.00395297664-0.00000003207
=0.283378439
第十部分用割圆法解薛定谔方程
推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》，原子与量子理论P228页，
薛定谔方程
ћ
△ψ+Uψ-iћψ=0
2m
解为
-iEt/ћ
ψ=u(x,y,z)e
上式中，
2 x
U = sinnπ （n=1,2,3,…,)
n a a
其本征值为：
2 2
ћ π 2
E = n
n 2
2ma
m为电子质量，a为电子加速度，n为电子数量，
一维薛定谔方程：
2
ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t)
+U(x,t)ψ(x,t)=iћ2 Әt
2μ Әx
解为
-iEt/ћ
ψ=u(x,y,z)e
上式中，ψ为波函数，u为电子电势，E为电场强度，ћ为约化普朗克常数,i为单位虚数。
三维薛定谔方程：
2 2 2 2
ћ Ә ψ Ә ψ Ә ψ Ә ψ(x,t)
（ + + ）+U(x,t)ψ(x,t)=iћ2 2 2 Әt
2μ Әx Әy Әz
定态薛定谔方程：
ћ 2
- ψ+Uψ=Eψ
2m
上式中，#h代表约化普朗克常数,
薛定谔解法一：
推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》,
因为, ψ=acos(-ωt+qr),
上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ω代表粒子运动的角速度, a代表粒子运动时的振幅，t代表时间, r代表粒子的位置，q代表粒子波形的个数，粒子运动的波形是一个余弦波，或者一个波群
ψ=∑a cos(-ω t+qr+α )
q q q q
上式中，表示有q个粒子运动的余弦波形组成了一个群, 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ψ等于这些粒子运动余弦波的和, α表示粒子初始位置的在余弦波中的角度，所以,
ψ=acos(-ωt+qx)
因为,
2
ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t)
[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ=
2 Әt
2μ Әx
所以,
2
ћ Ә acos(-ωt+qx) 2 x Әψ(x,t)
[- + sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ=
2 a a Әt
2μ Әx
ћ 2 x Әψ(x,t)
[- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ=
a a Әt
2μ
因为, 推导过程可见割圆法页，
3 5 7
∞ ∞ π π π
∫f`(w)= ∑ζ=∑f(logsecθ/y)(π- + - )
n=1 n=1 24 1920 80640
3 5 7 ∞ π π π
∑f(logsec(π/ny))(π- + - )
n=1 24 1920 80640
或者
3 5 7
∞ ∞ π π π
∫f`(w)= ∑ζ=∑f(-lncosθ/y)(π- + - )
n=1 n=1 24 1920 80640
3 5 7 ∞ π π π
∑f(-lnsec(π/ny))(π- + - )
n=1 24 1920 80640
所以，
3 5 7
Әψ(x,t) ∞ ∞ π π π
ψ(x,t)= ∫ = ∑ζ=∑f(logsecθ/y)(π- + - )
Әt n=1 n=1 24 1920 80640
3 5 7 ∞ π π π
=∑f(logsec(π/ny))(π- + - )
n=1 24 1920 80640
设
ћ 2 x
y=f(x)=[- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ
a a
2μ
所以,
ћ
ψ(x,t) =∑[ acos(-ωt+qlogsec(π/ny))+
2μ
3 5 7
2 logsec(π/ny) π π π
sinnπ acos(-ωt+qlogsec(π/ny))]/iћ]( + + )
a a a 24 1920 80640
所以,
3 5 7
Әψ(x,t) ∞ ∞ π π π
ψ(x,t)= ∫ = ∑ζ=∑f(-lncosθ/y)(π- + - )
Әt n=1 n=1 24 1920 80640
3 5 7 ∞ π π π
=∑f(-lncos(π/ny))(π- + - )
n=1 24 1920 80640
设
ћ 2 x
y=f(x)=[- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ
a a
2μ
所以,
ћ
ψ(x,t) =∑[ acos(-ωt-qlncos(π/ny))-
2μ
3 5 7
2 lncos(π/ny) π π π
sinnπ acos(-ωt-qlncos(π/ny))]/iћ]( + + )
a a a 24 1920 80640
当分母不为0时，极限的求法
推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版
2
x -4
lim =4
x→2 x-2
lim (x+2)=4x→2
当分母为0时，极限的求法，如下所示
例2: 证明
2
2x -2
lim =4
x→1 x-1
这不算证明，现在用定义证明，这里
2
2x -2
f(x)= =4 , A=4,x =1,
x-1 0
因为,
2 2 2x -2 2(x -2x+1) │f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1) x-1 x-1
所以对于任意给定的ε>0，要使│f(x)-A│<ε，就应取│x-x │=│x-1│<ε/2,
0
因此应取δ=ε/2,当：0<│x-x │=│x-1│<δ=ε/2, 时，就恒有
0
│f(x)-A│=2│x-1│<2*ε/2=ε, 由此可知
2 2x -2lim =4 x→1 x-1
综上所述：当x-1<δ时，f(x)-4<ε, 所以f(x)在x→1的时，极限是4
计算sinx导数的电路
计算sinx的导数的过程和求下面极限的过程相似
2
2x -2-t(x-1)
=s(x-1)
x-1
2 2x -2lim =4x→1 x-1
因为,
2
2x -2 2(x -2x+1)
│f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1)
x-1 x-1
用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4.,
△y sin(x +△x)-sinx
(sinx)`= lim =lim =cosx=t
△x→0 △x △x
sin(x+△x)-sinx-t*△x
设g(x)= =s*△x
△x
下面的电路实现的上面公式的功能
计算cosx不定积分的电路
用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4.
△y sin(x +△x)-sinx
(sinx)`= lim =lim =cosx=t
△x→0 △x △x
下面的电路实现的上面公式的功能
sin(x+△x)-sinx=△x*(s△x+t),
设, sinw=sin(x+△x)-sinx,
sinw=△x(s△x+t),
其中t=cosx, sinw=△x(s△x+cosx),
sin(x+△x)-sinx-t△x
=s*△x
△x
薛定谔方程解法二：
用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时k的输出电压值就是极限值, 因为,
一维薛定谔方程：
2 ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t)
+U(x,t)ψ(x,t)=iћ2 Әt
2μ Әx
所以,
2
ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t)
[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ=
2 Әt
2μ Әx
2
ћ Ә ψ(x,t)
△{[- +U(x,t)ψ(x,t)]/i#h}
2μ 2
Әψ(x,t) △ψ Әx
= lim =lim
Әt △x→0 △x △t
2 2ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t)
[- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ2μ 2 2μ 2Әx Әx
=lim
△t
设g(x)=
2 2
ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t)
[- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ
2μ 2 2μ 2
Әx Әx
△t
用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时k的输出电压值就是极限值.
2
ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t)
[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ=
2 Әt
2μ Әx
下面的电路实现的上面公式的功能
sin(x+△x)-sinx=△x*(s△x+t),
2 2
ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t)
[- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ=△t(s△t+k)
2μ 2 2μ 2
Әx Әx
设
2 2
ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t)
[- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ-k△t
2μ 2 2μ 2
Әx Әx
=s△t
△t
2 2ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t)
ψ(w,t)=[-- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ
2μ 2 2μ 2
Әx Әx
ψ(w,t)=△t*(s*△t+k)
Әψ(x,t)
其中k=
Әt
Әψ(x,t)
ψ(w,t)=△t*(s*△t+ )
Әt
推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》, 因为, ψ=acos(-ωt+qr),
上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ω代表粒子运动的角速度, a代表粒子运动时的振幅，t代表时间, r代表粒子的位置，q代表粒子波形的个数，粒子运动的波形是一个余弦波，或者一个波群,
ψ=∑a cos(-ω t+qr+α )
q q q q
上式中，表示有q个粒子运动的余弦波形组成了一个群, 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ψ等于这些粒子运动余弦波的和, α表示粒子初始位置的在余弦波中的角度，,
所以, ψ=acos(-ωt+qx), 因为,
2 x
U = sinnπ （n=1,2,3,…,)
n a a
2 ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t)
[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ=
2 Әt
2μ Әx
所以,
2
ћ Ә acos(-ωt+qx) 2 x Әψ(x,t)
[- + sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ=
2 a a Әt
2μ Әx
ћ 2 x Әψ(x,t)
[- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ=
a a Әt
2μ
所以,
Әψ(x,t)
ψ(w,t)= ∫
Әt
2 2ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t)
=[- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ
2μ 2 2μ 2
Әx
2 ћ Ә acos[-ωt+q(x+△x)]
=[- +U(x+△x,t)acos[-ωt+q(x+△x)]]/i#h
2μ 2
Әx
2 ћ Ә acos(-ωt+qx)
-[- +U(x,t)acos(-ωt+qx)]/i#h
2μ 2
Әx
ћ 2 x
=[- acos[-ωt+q(x+△x)]+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ
a a
2μ
ћ 2 x
-[- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ
a a
2μ
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