高斯(Gaussian)积分常用式

常用高斯积分表达式一：
∫∞∞e−x2dx=π\int_\infty^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}∫∞∞e−x2dx=π
常用高斯积分表达式二：
∫∞∞e−a(x+b)2dx=πa\int_\infty^\infty e^{-a\left(x+b\right)^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}∫∞∞e−a(x+b)2dx=aπ
常用高斯积分表达式三：
∫∞∞e−ax2+bx+cdx=πaeb24a+c\int_\infty^\infty e^{-ax^2+bx+c} \mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}+c∫∞∞e−ax2+bx+cdx=aπe4ab2+c
常用高斯积分表达式四：
∫∞∞e−x2dx=π=2∫0∞e−x2dx\int_\infty^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}=2\int_0^\infty e^{-x^2}\mathrm{d}x∫∞∞e−x2dx=π=2∫0∞e−x2dx

第二个表达形式在实际积分中非常常见和高效。

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