高斯-勒让德积分中不同阶数下最大高斯节点间距的关系

高斯-勒让德计算方法的高斯节点是勒让德多项式的根值，很多教材都把常用的根值和其对应的加权系数表示在如下的表格（P403 SEC. 7.5 GAUSS-LEGENDRE INTEGRATION (OPTIONAL），Numerical Methods Using MATLAB 4th）

阶数

高斯节点

权重系数

−0.5773502692

+0.5773502692

1.0000000000

±0.7745966692

0.0000000000

0.5555555556

0.8888888888

±0.8611363116

±0.3399810436

0.3478548451

0.6521451549

±0.9061798459

±0.5384693101

0.0000000000

0.2369268851

0.4786286705

0.5688888888

±0.9324695142

±0.6612093865

±0.2386191861

0.1713244924

0.3607615730

0.4679139346

±0.9491079123

±0.7415311856

±0.4058451514

0.0000000000

0.1294849662

0.2797053915

0.3818300505

0.4179591837

±0.9602898565

±0.7966664774

±0.5255324099

±0.1834346425

0.1012285363

0.2223810345

0.3137066459

0.3626837834

当然，如上的表格只是列出N=2-8时的高斯节点和对应的加权系数，这里我们可以看出当N=8，就有8个高斯节点，而这8个高斯节点在数轴上是关于原点对称的，注意到这8个节点中，相邻节点间距，成为高斯节点间距，其最大高斯节点间距一般是由在原点附近的两个节点差值得到的，即±0.1834346425的差值（（+0.1834346425）-（-0.1834346425））。我们用 $S_8$ 表示，类比其他阶数同样可以发现，离原点附近的节点间距最大，那么各自阶数的最大节点间距可以用 $S_N$ (N=2,3,4...) 表示，那么这些不同阶数的最大节点间距之间的关系必然和阶数是有关系的，下面我们将用图表的形式来描述这种关系。

由于节点位置是勒让德多项式的根值，而且所有根值都在（-1,1）之间，并且不同阶数的最大节点间距满足 $S_2>S_3>S_4>...>S_N>S_{N+1}$ ，其中 $S_2$ 数值是这些高斯节点间距中最大的，我们这里用 $X_N=S_2/S_N$ 表示最大的2阶的节点间距与其他阶数求得的高斯节点间距的比值（很显然是大于1的数值），可以看作是N阶节点间距与2阶相比缩小的倍数，显然这个比值与阶数N 有关。若将 $(X_N,N)$ 以散点形式投在图上，并用趋势线表示其关系，可以得到下面的图：

这里我仅仅用到N=30即一共28个数据点，可以得到趋势线以及拟合公式，如果像将高斯节点间距缩小6倍，即将x=6带入公式得到y=15.7157，那么至少需要N=15.7157=16阶来处理数据。

但要注意这里没有考虑N>30的情况,所以是否能用于N>30,还要讨论。

经过增加数据到N=50，得到的趋势线和公式没有变化。

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