数学分析第四版上册70页14题

f定义在(a,+∞)f定义在(a,+\infty)f定义在(a,+∞)
f在每一个有限区间(a,b)有界f在每一个有限区间(a,b)有界f在每一个有限区间(a,b)有界
lim⁡x→+∞(f(x+1)−f(x))=A\lim_{x \to +\infty}(f(x+1)-f(x))=Ax→+∞lim(f(x+1)−f(x))=A
证明：
lim⁡x→+∞f(x)x=A\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=Ax→+∞limxf(x)=A

证明：

咋做啊！！！！
特码的xxx是实数，咋办啊！

如果xxx是正整数，那么太简单了哦！
f(n)n=(f(n)−f(n−1))+....(f(2)−f(1))+f(1)n\frac{f(n)}{n}=\frac{(f(n)-f(n-1))+....(f(2)-f(1))+f(1)}{n}nf(n)=n(f(n)−f(n−1))+....(f(2)−f(1))+f(1)
如果俺们把f(n)−f(n−1)=g(n)如果俺们把f(n)-f(n-1)=g(n)如果俺们把f(n)−f(n−1)=g(n)
f(n)n=g(n)+...g(1)n+f(1)n\frac{f(n)}{n}=\frac{g(n)+...g(1)}{n}+\frac{f(1)}{n}nf(n)=ng(n)+...g(1)+nf(1)
n→+∞显然等于lim⁡x→+∞g(n)=An\to +\infty显然等于\lim_{x \to +\infty}g(n)=An→+∞显然等于x→+∞limg(n)=A

这个咋做呢这个咋做呢这个咋做呢
f(x)x={f(x)−f(x−1)[x]−no\frac{f(x)}{x}=\{\frac{f(x)-f(x-1)}{[x]-n_o}xf(x)={[x]−nof(x)−f(x−1)
+f(x−1)−f(x−2)[x]−no+\frac{f(x-1)-f(x-2)}{[x]-n_o}+[x]−nof(x−1)−f(x−2)
+...f(x−(x−[n0]))−f(x−(x−[n0]+1)[x]−no}+...\frac{f(x-(x-[n_0]))-f(x-(x-[n_0]+1)}{[x]-n_o}\}+...[x]−nof(x−(x−[n0]))−f(x−(x−[n0]+1)}
[x]−x0x\frac{[x]-x_0}{x}x[x]−x0

看到了lim⁡x+∞([x]−x0x)=1看到了\lim_{x+\infty}(\frac{[x]-x_0}{x})=1看到了x+∞lim(x[x]−x0)=1
所以特奶奶的，lim⁡f(x)x=lim⁡x+∞f(x)−f(x−1)=A所以特奶奶的，\lim_{f(x)}{x}=\lim_{x +\infty}{f(x)-f(x-1)}=A所以特奶奶的，f(x)limx=x+∞limf(x)−f(x−1)=A

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