SC算法及matlab仿真

1、内容目录
2、引言
3、串行抵消（SC）译码算法
- 3.1、算法介绍
- 3.2、长度为2的极化码的SC译码过程
- - 3.2.1、数学计算过程
  - 3.2.2、译码举例
- 3.3、长度为2n2^n2n的极化码的SC译码过程
4、SC译码算法matlab仿真代码
5、总结

1、内容目录

开篇1-内容介绍&参考文献
概述2-什么是极化码？
原理3-Arikan原版论文学习总结
编码算法4-巴氏参数、GA算法以及matlab仿真
译码算法5-SC算法及matlab仿真
译码算法6-SCL、CA-SCL及matlab仿真

2、引言

上一章叙述了极化码的编码过程和针对不同信道的经典构造算法，本章对极化码的几种不同的译码算法进行详细介绍。首先介绍的是SC译码算法，该译码算法是E.Arikan针对极化码的递归编码结构所提出的，可以很好的反映编码过程，是下面几种译码的基础，需要详细介绍和研究。之后介绍目前使用范围最广的SCL译码算法，该算法原理是基于SC译码算法的，增加了译码器列表这一个参数，可以解决SC译码器的一些不足。最后介绍CA-SCL译码算法，这种算法是针对SCL译码算法，在纠错性能上的一个改进，即利用CRC辅助译码，提高对译码结果的纠错性能。接下来，就对这三种算法进行详细介绍。

3、串行抵消（SC）译码算法

3.1、算法介绍

该译码算法是极化码的经典译码算法之一。对于长度为N =2n2^n2n的极化码，SC译码器接收到的信号为y1Ny_1^Ny1N，该信号是发送端发出的经BPSK调制的信息比特，并且通过高斯信道加噪之后的信号。译码时首先利用接收信号y1Ny_1^Ny1N译码u1u_1u1,然后再利用接收信号和u1u_1u1的译码结果(这里假设u1u_1u1译码正确)继续译码u2u_2u2，之后利用接收信号和u1u_1u1,u2u_2u2,…,uiu_iui−_-−1_11 的译码结果去译码uiu_iui，直到译码uNu_NuN为止。在本节中，我们先介绍长度为2的极化码的SC译码，然后推广至长度为2n2^n2n的极化码。

3.2、长度为2的极化码的SC译码过程

3.2.1、数学计算过程

让我们来考虑一个联合分布Pr（u1,u2,y1,y2）,这些随机变量的关系为：u1,u2是生成概率均为1/2的(0,1)变量，x1，x2表示经过极化码编码后的比特，则有如下等式：

它们经过二进制输入无记忆离散信道W的传输，分别形成接收信号y1,y2。现在想用观测值 y1,y2 估计原信息比特的值u1,u2。

用条件概率Pr (y1y2|u1)作为判决u1的依据：如果Pr (y1y2|u1=0)≥Pr (y1y2|u1=1)，则u1判决为0；反之，将u1判决为1。结合条件概率的含义，这一点十分好理解。那么如何计算该条件概率呢？
计算过程如下：

上式中之所以得到（a）式，是因为对于任意u1,u2，Pr(u1)=0.5, Pr(u1u2)=0.25,且发送u1，u2与发送x1,x2的概率一一对应。得到等号（b）处是因为W是无记忆信道，即从信道发出x1，对应收到的信号则对应y1，同理x2与y2对应。因此可以根据以上结果，来计算该条件概率的对数似然比为：

上式在各个文献中常被称为 f 运算，其中L1和L2的表达式如下所示，他们分别表示接收信号y1和y2的LLR，若我们能计算得到L1和L2的值，则可以计算得到上式的对数似然比的值。如何计算呢？

二元输入AWGN信道是连续输出信道，如果使用BPSK调制，即s=1-2x,其中x∈{0,1}，s∈{-1,1}，s是发送的调制信号，y=s + n是接收信号，其中n是均值为0，方差为δ2δ^2δ2的高斯加性白噪声，则Pr(yiy_iyi)是均值为{-1，+1}，方差为δ2δ^2δ2的函数，故yiy_iyi的对数似然比的形式为，将该计算公式命名为 2.2.1式 :

由以上公式可得，当我们已知接收的信号以及信道的噪声方差时，便可计算每一个接收信号的对数似然比，这一点是极化码译码的起点，理解这一点很重要。
由于f运算的计算非常复杂，同时包括指数和对数的运算，不利于硬件实现，故常常使用它的近似式，其中sign表示取符号位，将该式命名为 2.2.2式：

到此，基本的计算公式都已经介绍完毕。下面举例来说明如何利用以上公式来进行译码。

3.2.2、译码举例

首先完成u1的译码：
当我们接收到y1和y2，就结合信道噪声方差，利用2.2.1式计算y1,y2对应的对数似然比L1，L2。再把L1和L2代入2.2.2式中进行计算得到接收信号条件概率的对数似然比。如果u1是冻结比特，直接把它判决为预设的值；否则，如果计算结果≥0，说明Pr(y1y2|u1=0)≥Pr(y1y2|u1=1)，那么将u1判决为0；反之，u1判决为1。
下面再开始判决u2的值。我们利用接收信号y1、y2与u1的值来判决u2，考虑条件概率为Pr(y1y2u1|u2)，它的计算过程与计算Pr (y1y2|u1)类似，读者可自行推演，可得：

上式中代入前面判决所得到的u1的值，可求得对数似然比为，该式最后的结果在文献中被称为 g运算，该结果的推导需结合前面的推导结果才能得到正确的结果，若读者推导有困难，可私信我为你解答：

得到了该结果后，我们就可以对u2进行译码：
在第一步中获得L1，L2，u1后，代入式g运算的式子中，得到u2对应的条件概率的对数似然比的值。若u2是冻结比特，直接把它判决为预设值；若计算结果≥0，说明 Pr(y1y2u1|u2=0)≥Pr(y1y2u1|u2=1)，将u2判决为0，反之，u2判决为1。

通过两步操作，我们已经完成了长度为2的极化码的译码工作。

3.3、长度为2n2^n2n的极化码的SC译码过程

通过上一章极化码的编码过程可知，长度为2n2^n2n的极化码是用n2n2^n2n−^-−1^11个2*2的基本极化码模块按照一定规则拼凑成的，于是可得，长度为2n2^n2n的极化码的SC译码也是用n2n2^n2n−^-−1^11个2*2基本极化码模块按照一定规则拼凑起来的。下面，以一个长度N=8的极化码为例，来进行极化码译码演示。
(高能预警：下面的内容需要在充分理解2.2节内容的基础上再来阅读)
例：先设置传输基本参数：AWGN信道，信噪比Eb/N0=4dB;
码长N=8，信息比特长度K=4，码率R=K/N=0.5；
信息位集合A={4,6,7,8}，冻结比特全部取0；
四个信息比特为（1,1,1,1），则u18=(00010111),编码后 =(01101001)。
x18进行BPSK调制s=1-2x后得s18=(1,-1,-1,1,-1,1,1,-1)。
调制序列通过高斯信道后得到接收序列y18=(-0.4,-0.5,-0.8,0.2,-1.3,1.2,3.3,0.7)。
计算对数似然比 =（-2.0，-2.5，-4.0,1.0，-6.5,6.0,16.6,3.5）。
接下来开始译码工作（所有标红的元素都是对应步骤所计算得到的结果）:
1、第一步如图所示，第4级所有元素为接收信号的LLR值，对第3级所有22模块执行f运算，得到第3级对应的LLR值。

2、第二步如图所示，对第2级前两个22模块运行f函数;

3、第三步如图所示，第1级第一个22模块运行f函数，判决u1。由于u1是冻结比特，故直接判决为0。

4、第四步如图4所示，第1级第一个22模块运行g函数，判决u2。由于u2是冻结比特，直接判决为0。

5、第五步如图所示，第2级前两个22模块运行g函数。

6、第六步如图所示，第1级第2个22模块运行f函数，判决u3。由于u3是冻结比特，直接判决为0。

7、第七步如图所示，第1级第2个22模块运行g函数，判决u4。由于u4是信息比特，其L值为-3.5，小于零，故判决u4=1。

8、第八步如图所示，第3级所有22模块运行g函数

9、第九步如图所示，第2级下两个22模块运行f函数。

10、第十步如图所示，第1级第3个22模块运行f函数，判决u5。由于u5是冻结比特，故直接将其判决为0。

11、第十一步如图所示，第1级第3个模块运行g函数，判决u6。由于u6是信息比特，其对应的LLR值小于0，故判决u6=1。

12、第十二步如图所示，第2级下两个22模块运行g函数。

13、第十三步如图所示，第1级第4个22模块运行f函数，判决u7。由于u7是信息比特，其对应的LLR值小于0，故u7判决为1。

14、第十四步如图所示，第1级第4个2*2模块运行g函数，判决u8。由于u8是信息比特，其对应的LLR值小于0，故u8判决为1。

通过以上十四步的SC译码步骤，我们最终获得了译码结果为（00010111），该结果与发送的信息比特是相同的，译码正确。经过该例的SC译码推算，可以获得更加一般的SC译码步骤，无非就是将上述译码表扩展为N*(log2_22⁡N+1)的一个矩阵，按照上述流程一步步推算，最终译码得出所有的结果。

4、SC译码算法matlab仿真代码

在这里我仅提供SC译码算法的代码，供大家理解，若要运行该函数，需要搭配极化码编码算法来使用，完整的项目代码我将会在之后上传至CSDN上。

function polar_info_esti = SC_decoder(llr,K, frozen_bits, lambda_offset, llr_layer_vec, bit_layer_vec)
N = length(llr);%llr refers to channel LLR.
n = log2(N);
P = zeros(N - 1, 1);%channel llr is not include in P.
C = zeros(N - 1, 2);%C stores internal bit values
polar_info_esti = zeros(K, 1);
cnt_K = 1;
for phi = 0 : N - 1switch phicase 0%for decoding u_1index_1 = lambda_offset(n);for beta = 0 : index_1 - 1%use llr vectorP(beta + index_1) =  sign(llr(beta + 1)) * sign(llr(beta + 1 + index_1)) * min(abs(llr(beta + 1)), abs(llr(beta + 1 + index_1)));endfor i_layer = n - 2 : -1 : 0%use P vectorindex_1 = lambda_offset(i_layer + 1);index_2 = lambda_offset(i_layer + 2);for beta = index_1 : index_2 - 1P(beta) =  sign(P(beta + index_1)) * sign(P(beta + index_2)) * min(abs(P(beta + index_1)), abs(P(beta + index_2)));endendcase N/2%for deocding u_{N/2 + 1}index_1 = lambda_offset(n);for beta = 0 : index_1 - 1%use llr vector. g function.P(beta + index_1) = (1 - 2 * C(beta + index_1, 1)) * llr(beta + 1) + llr(beta + 1 + index_1);endfor i_layer = n - 2 : -1 : 0%use P vector. f functionindex_1 = lambda_offset(i_layer + 1);index_2 = lambda_offset(i_layer + 2);for beta = index_1 : index_2 - 1P(beta) =  sign(P(beta + index_1)) * sign(P(beta + index_2)) * min(abs(P(beta + index_1)), abs(P(beta + index_2)));endendotherwisellr_layer = llr_layer_vec(phi + 1);index_1 = lambda_offset(llr_layer + 1);index_2 = lambda_offset(llr_layer + 2);for beta = index_1 : index_2 - 1%g function is first implemented.P(beta) = (1 - 2 * C(beta, 1)) * P(beta + index_1) + P(beta + index_2);endfor i_layer = llr_layer - 1 : -1 : 0%then f function is implemented.index_1 = lambda_offset(i_layer + 1);index_2 = lambda_offset(i_layer + 2);for beta = index_1 : index_2 - 1P(beta) =  sign(P(beta + index_1)) * sign(P(beta + index_2)) * min(abs(P(beta + index_1)), abs(P(beta + index_2)));endendendphi_mod_2 = mod(phi, 2);if frozen_bits(phi + 1) == 1%frozen bitC(1, 1 + phi_mod_2) = 0;else%information bitC(1, 1 + phi_mod_2) = P(1) < 0;%store internal bit valuespolar_info_esti(cnt_K) = P(1) < 0;cnt_K = cnt_K + 1;endif phi_mod_2  == 1 && phi ~= N - 1bit_layer = bit_layer_vec(phi + 1);for i_layer = 0 : bit_layer - 1%give values to the 2nd column of Cindex_1 = lambda_offset(i_layer + 1);index_2 = lambda_offset(i_layer + 2);for beta = index_1 : index_2 - 1C(beta + index_1, 2) = mod(C(beta, 1) + C(beta, 2), 2);C(beta + index_2, 2) = C(beta, 2);endendindex_1 = lambda_offset(bit_layer + 1);index_2 = lambda_offset(bit_layer + 2);for beta = index_1 : index_2 - 1%give values to the 1st column of CC(beta + index_1, 1) = mod(C(beta, 1) + C(beta, 2), 2);C(beta + index_2, 1) = C(beta, 2);endend
end
end

当运行完整的项目代码时，将会有如下图所示效果：

5、总结

在本节中，我们主要介绍了极化码三种常见译码算法中的最基础，也是最经典的一种译码算法—串行译码（SC）。这一节有两大难点:
第一点是推导与理解SC译码的数学推导公式，这是该算法的基础，若大家理解并可以自己推导出文中提到的所有公式，相信对你理解后面的内容将十分有帮助。
第二点如何将推导出的公式，应用到实际的译码过程中，长度为2的极化码译码与长度为8的极化码译码，对于其译码过程的理解难度是指数级增长的，但是如果大家跟着我的推导思路走一遍，理解我对每个环节的描述，相信到最后也不会特别的难。
最后，给大家提供了SC译码算法的matlab仿真代码，读者可以根据前面的内容，去理解代码所表示的意思。但是，要运行该代码，还需要结合我的整个系列的文章，才能真正将该极化码编码和译码的过程演示出来。
相信通过本节的学习，大家可以对极化码的SC译码算法过程有一个很直观的理解和认识，在下一节中，我会为各位读者介绍其余的两种极化码译码算法SCL与CA-SCL。
欢迎大家与我进行交流，新人博主写帖子不易，如果你觉得对你有帮助，多多点赞分享关注打赏，给我更多创作动力。祝大家都能有所学，有所获，加油！

闲言：由于去年开始工作后，比较忙碌，一直没有时间和精力去更新这个系列的帖子，停滞了大概半年左右没有更新。近期，有很多读者私信我催更，说我写的内容有帮助到他们理解极化码及其算法是怎么一回事，我十分开心，因为这就是我当初写这个系列的帖子的初衷。非常感谢大家的支持，因此我打算在工作之余忙里偷闲，继续更新这个系列的帖子，争取把这个系列完结，给大家一个交代，希望大家继续给我支持。有任何内容上的问题可以私信或者评论，我看到一定回复。

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