行列式

（注：xmind转markdown有点格式问题，若觉得有帮助可以私信我获取word或xmind）

行列式的计算

消零化基本形法

• 思想：通过恒等变形变为基本形求解
• 恒等变形
  • 消零化
    • 当列/行元素大致相同时，用第一行倍加
    • 当列/行元素具有递推性质时，用i行倍加i+1行
    • 相同优先
  • 互换
    • 变为分块对角矩阵
    • 变换主/副对角线（变换次数为(n-1)n/2）
  • 展开定理
    • 第一列有两元素时，将其放置两头在进行展开

• 常见行列式形状
  • 爪形行列式
    • 爪形行列式一定可化成三角行列式
      • 对第一列消零化
  • 行和相等行列式
    • 求法
      • 1、所有元素向第一列求和
      • 2、提出第一列公因式
      • 3、将第一列归零化，视情况采用相应方法
  • 特殊：主对角线为a，其余元素为b的行列式
    • 公式

加边法

• 使用场景：无法通过互换、倍加、倍乘化简的行列式
• 使用方法：每列元素都含有同一参数的项，且该项系数（可以是其他参数）具有规律性

数学归纳法与递推法

• 使用场景：具有递推性质的n阶行列式的证明
• 第一类归纳法
  • 1、验证n=1时成立
  • 2、假设n=k时成立
  • 3、证明n=k+1时成立

• 第二类归纳法
  • 1、验证n=1、n=2时成立
  • 2、假设n<k时成立
  • 3、证明n=k时成立
• 常见行列式形状
  • 三主对角线行列式
    • 行和相等
      • 将首列非零元素变为两头位置，用第一种科学归纳法

• • • 行和不相等
      • 第二种科学归纳法
      • 逐行相加将最下面对角线消零

用范德蒙德行列式

• 各元素均为齐次式，同除转化为范德蒙德

行列式形式与解法总结

• 简单行列式
  • 公式法（2阶/3阶）
  • 展开定理

• 特殊形状行列式
  • 爪形行列式
  • 行和相等行列式
  • 三主对角线行列式
    • 阶数小的具体矩阵
    • n阶矩阵或大矩阵
• 多个行/列元素大致相同
  • 消零化基本型法—-第一行倍加

• 行列元素具有递推性质
  • 消零化基本型法——逐行倍加
• 零的分布有规律
  • 行互换 用拉普拉斯

• 第一列只有两个元素
  • 消去第二个元素
    • 累加/逐行倍加
  • 放置两头采用展开定理
    • 累加到首列

• 具有递推性质的n阶行列式
  • 数学归纳法
• 所有元素都为齐次式
  • 范德蒙德

• 每列元素都含有同一参数，且系数规律
  • 加边法

余子式和代数余子式的线性组合计算

法1:转化为行列式计算

• 用(代数)余子式的线性组合替换行列式某行元素

法2:用伴随矩阵计算

• 1、利用 A=|A|A逆 计算A
• 2、由伴随阵的相应元素得到余子式
• 要求：需要A逆好求，没啥大用

特别：所有代数余子式和的计算

• 将其转化为n个将第i行元素变为1的行列式之和

抽象行列式的计算

|A+B|

• 知列向量
  • 拆分
  • 将向量的线性组合转化为矩阵乘积
  • 将对矩阵的变换过程转化为矩阵乘积

• 完全抽象
  • 因式分解
    • AA=AA=|A|E
    • E做恒等变换
• 知部分具体矩阵C 或 C的特征值
  • 向|C|、|C+kE|靠拢
    • 相似：知A～B，可得|A+kE|=|B+kE|
    • 特征值性质：A+kE的特征值 为 A的特征值+k

行列式方程

• 1、将方程化为 待求矩阵为因子 的 因式方程
  • 因式方程：等号两侧只有因式

• 2、两边取行列式

行列式表示的函数和方程

求行列式函数f最高次数

• 化简行列式计算f
  • 观察有差相同的行列，尽可能化零
  • 多项式行列式化为基本型求解

求行列式函数f的复合函数

• 先复合再求行列式

求行列式函数f的根或根的个数

由行列式函数f的根特征（二重根）求参数

行列式在Ax=0上的应用——克拉默法则

注意：在求解|A|=0时，使用展开定理直接求因式乘积，不要先求多项式再因式分解，可能很难因式分解

|A|=0的证明

充要条件

• |A|=k|A|
  • 将关于A一次幂的表达式两边取行列式
  • 特别：正交矩阵相关证明【李线代讲义例2.29】
    • |A|=-|A|

• Ax=0有非零解
  • 将已知条件转化为AB=0形式
• 反证法
  • 设A逆存在，将已知条件转化为AB=E的形式

• 存在零特征值
  • 当题目中提到列向量时使用
  • 题目中有A的多项式函数：同乘å
• 矩阵的秩
  • 由AB=O，B≠O证r(A)<n

注意

• |A|=0>>no>>A=O

矩阵

方阵的幂

通用步骤

• 是否是特殊阵
  • 秩1阵
    • 分解为矩阵乘积

• • 对角阵
  • 小三角阵
  • 对角线元素相同的三角阵
    • 分解为矩阵和
  • 零分布规则的阵
    • 矩阵分块

• 一般方法
  • 矩阵和的幂
  • 利用递推式
  • 利用对角阵（特征值）

分解为矩阵乘积

• 1、若给定矩阵向量成比例，则可分解为两向量乘积
• 2、利用结合律将两向量交换相乘
• 原理
  • 行向量*列向量=数
  • 列向量*行向量=各行成比例的矩阵

利用递推式

• 使用场景：给定矩阵无法分解
• 1、依次求矩阵前几次幂，得递推式
  • 形式：A^m=k*A^s（n>m)
  • 注意
    • 左右不能同时约A，需要A可逆

• 2、由递推式用法化简求值
  • 1）从A^n中提出A^s，将其看作催化剂
  • 2）A^s把A^n剩余部分全部转化为k
    • 转化为(n-s)/(m-s)个k乘积
    • 当n-s/m-s不是整数时分类讨论

利用对角阵

• 1、求其相似对角阵代入
• 2、当对角阵元素相同时，求幂不需要求P
  • 绝对值相同时，偶数次幂不需要P

两方阵和的幂

• 通过二项式定理展开
• 特别：对角线元素相同的三角阵
  • 1、将给定矩阵分解为单位阵E和小三角阵B的和
  • 2、用二项式定理展开，消去零项，再求和
  • 背景知识：小三角阵
    • 对角元素为0的三角阵
    • 小三角阵的幂=更小三角阵
    • 小三角阵的”非零对角线到角的线数+1”次幂=O

矩阵乘法的可交换性

求与其可交换的矩阵

• 待定系数法
  • 1、假设同阶矩阵B与其可交换
  • 2、列式AB=BA并化简
  • 3、令对应元素相等得解

• 拆解单位阵法
  • 应用场景：给定矩阵与单位阵相近
  • 1、将给定矩阵呢拆解为单位阵E和矩阵B
  • 2、求与矩阵B可交换的矩阵

证明两矩阵可交换

• 利用伴随矩阵公式
  • 应用场景：被证明式中含有伴随阵
  • 1、凑出与伴随阵对应的矩阵
  • 2、用公式进行矩阵交换后恢复

• 利用可逆矩阵公式
  • 应用场景：给定两被证矩阵关系式
  • 1、将已知条件凑出AB=E，证明可逆
  • 2、由可逆矩阵可交换写出交换乘积等式
  • 3、将乘积展开，消去多余项

相关结论

• 对角矩阵与对角矩阵可交换
• (E+A)^(-1)与(E-A)可交换

对称矩阵和反对称矩阵

相关结论

• n阶方阵=对称矩阵+反对称矩阵
  • 证明（同证明：函数=奇函数+偶函数）

待定

证明A可逆并求A逆

求数值矩阵A的逆

• 伴随矩阵法
• 初等行变换法
  • 求出后用可逆矩阵公式验证

• 分块矩阵法
  • 通过切割矩阵来应用 分块矩阵求逆 来化简

求抽象矩阵的逆

• 定义法
  • 将已知条件凑出AB=E
    • 整式长除法

• 分解成多个可逆矩阵的乘积
  • 将待证矩阵分解为已知可逆矩阵的乘积
  • 相关结论
    • (A+B)当(A逆+B逆)可逆时可逆

分块矩阵的逆

• 主对角线分块矩阵的逆
• 副对角线分块矩阵的逆
  • 副对角线分块矩阵的逆的推广

• 待定系数法
  • 1、设出逆矩阵，令其与原矩阵相乘为单位阵
  • 2、由 对应块相等 列方程

可逆矩阵的判别验证

• 证明可逆
  • 证明|A|≠0
  • 特征值全为0部分+特征值全不为0部分
    • 证明特征值全0：xTAx = -xTAx

• 证明不可逆
  • 同|A|=0的证明

证明A=O

证明aij=0

• 构造∑aij^2=0

证明r(A)=0

相关结论

• 若实对称矩阵A平方=O，则A=O

抽象矩阵式化简

先化简条件，再化简被证式

用条件将被证式的不可转化单元表出

• 不可转化单元：A、AB、矩阵和的逆

伴随矩阵

低阶阵：定义法

• 二阶矩阵求伴随矩阵口诀
  • 主对换，副变号

一般/抽象阵：公式法

记忆

• r(A*)与r(A)关系证明

方阵的行列式

常见恒等变换

• 交换某项乘积顺序
  • 解法：一边消一边补
  • 例：(E+AB)=A(E+BA)A^(-1)

• (A^(-1)+B^(-1))=A^(-1)(A+B)B^(-1)

矩阵方程

技巧

• 知A*可直接求|A|、A^(-1)
• A逆的逆 可乘进 括号逆 中

初等矩阵

将左乘初等矩阵看作行变换

证明正交阵

证明ATA=AAT=E，不能只证一部分

矩阵的秩与等价矩阵

向量

向量组的线性表出

计算题

转化为线性方程组有没有解

证明题

构造方程组，证明方程组有解

• 等价证明r(å1,å2,...,ås)=r(å1,å2,...,ås,ç)

找出两个条件

• å1,å1,...,ås线性无关
• å1,å1,...,ås,ç线性相关

证明k≠0

• 应用场景：能表出

反证法

• 应用场景：不能表出

向量组的线性相关、无关

具体相关性计算

转化为Ax=0有没有非零解

特别

• 有零向量
• 向量数>维数
• n维n个向量行列式=0
• 向量数>矩阵秩

抽象相关性证明

定义法

• 1、设k1a1+k2a2+...+knan=0
• 2、恒等变形证明k1 k2 ... kn=0
  • 重组
  • 同乘
    • 同乘使n-1项为0
      • 找出使多项为0的条件

• • • 同乘使1项为0，需要多次同乘
      • 将条件变换为?a=0的形式
    • 同乘后与原式相加减消元

• • 常用条件
    • 特征向量：不同特征值特征向量线性无关
    • 基础解系：基础解系线性无关

秩

• 1、将被证向量组以列排为矩阵A
• 2、证明r(A)=s
  • A若有A=BC
    • 当B可逆，则r(AB)=r(BA)=r(A)

• • A若有AB=C
    • 公式r(AB)<=min{r(A),r(B)}
  • A若有AB=O
    • 若AB=O，则r(A)<=n-r(B)

秩

向量组

极大无关向量组

• 含一参向量组求极大【李线代讲义例3.21】
  • 拼矩阵、行变换、由参讨论秩
    • 注：含参行变换时，除参数需要讨论

• • 拼矩阵、行列式为零求参、行变换

求两向量组

矩阵

计算

• 初等变换
• 概念法：行列式

证明

• 思路：分别找到表大于和表小于的两个条件
• 条件
  • 行列式
    • |An|=0：秩≤n
    • |An|≠0：秩≥n

• • 向量
  • 方程组
    • 解向量的秩=n-r(A)
      • 若Ax=b、Ax=0有s个线性无关解向量，则s≤n-r(A)
      • 若AB=O，则r(B)≤n-r(A)

其他

• 已知r(A)求r(B)
  • 若A=BC，B可逆，则r(A)=r(B)

等价矩阵和等价向量组

分别证明向量组1、11可以相互线性表出

r(A)=r(B)=r(A,B)

当A B其中一个满秩时不需要求r(A,B)

A可由B表出，Ｂ不能由A表出

1、由r(A)<r(A,B)≤n得|A|=0解未知数

2、代入看是否满足r(A)<r(B)=r(A,B)

• 当B满秩时不用求r(A,B)

向量空间

线性方程组

齐次线性方程组

具体型求解

1、将系数矩阵化为含最大单位阵的矩阵

2、非单位阵列的位置填写100；010；001

3、在解向量其他位置填写填1列元素相反数

抽象型求解

1、推断r(A)知解向量个数

• 不能严格推断时分类讨论

2、找出n-r(A)个å使得Ax=0

• |A|=0 —> AA*=O

证明向量组是Ax=0的基础解系

1、验证Açi=0

2、证明ç1 ç2 ... çt无关

3、说明t=n-r(A)

非齐次线性方程组

具体型求解

一般步骤

• 1、将增广矩阵化为含最大单位阵的矩阵
• 2、自由变量赋值
  • 1/选取剩余非单位矩阵列作为自由变量
  • 2/给通解的自由变量列赋值100；010；001
  • 3/给特解的自由变量列赋值000

• 3、填写其他元素
  • 1/通解解向量其他位置填写填1列元素相反数
  • 2/特解解向量其他位置填写b向量元素

含参注意

• 首先尽量消去参数
• 不能对某行同乘/除（可能为零）含参项
• 不能对某行同除含参项后加到另一行（可能为∞）

含两参数的分类讨论

• 1、令|A|=0求出得唯一解参数范围
  • a≠1，b≠2
    • 【18讲例6.5】

• 2、剩余范围画树状图讨论
  • 三个主分支
    • a=1,b≠2
    • a≠1,b=2
    • a=1,b=2
  • 次分支标准
    • r(A)=?=r([A,b])
      • 此时只有无穷解和无解两种情况，不需要考虑唯一解

• 3、写情况类别
  • 将每种情况对应的路线取交集，得参数范围
  • 无解情况参数范围可取并集，合并为一种
  • 无穷解情况不可合并

抽象型求解

1、推断解的结构

• 由n-r(A)知对应齐次方程组的解向量个数

2、找出n-r(A)个线性无关齐次方程解向量

• 找到Aå=0条件取å
• 方程组两个不同解的差

3、找出特解

• 取方程组的一解作为特解
• 找到Aå=b取å为特解

A的行向量与Ax=0的解的关系

线性方程组系数矩阵列向量和解的关系

求两个方程组的公共解

两个方程组

联立成大方程组求解

抽象方程组：证明大方程组有非零解

一个方程组+另一方程组的基础解系

1、求出方程组的基础解系

2、将公共解用两个基础解系分别表示

• 其中一个基础解系用负系数表示
• 移项得 两个基础解系的线性组合=0

3、建立新齐次方程组 并求解

• 注意：要求非零公共解时，r(A)≠n

4、代回2步骤式得公共解

同解方程组

具体型

同解必要条件

• 两个方程组秩相等

题目

• 同未知数 不同方程数 的两个齐次方程组同解 求参数

步骤

• 1、由 方程式较多的方程组1非满秩 求参数
• 2、将方程组1求解得基础解系
• 3、将基础解系代入方程组2中 求参数
• 4、验证两方程组秩相同

抽象型

1、证明方程组(1)的解是(11)的解

• 设å是(1)的解，代入(11)中证明成立

2、证明方程组(11)的解是(1)的解

方程组的几何应用

求矩阵

AX=B型

• 将其看作多个同系数矩阵的方程组
• 1、设X=[x,y,z]，x y z为列向量
• 2、将A、B组成增广矩阵[A,B]求解

f(X)=B型（不可化为AX=B）

• 1、设未知矩阵为具体矩阵
• 2、代入条件令对应元素相等转化为方程组

特征值与特征向量

求特征值/向量

数值矩阵

特征方程法

• 1、利用特征方程求解特征根
  • 展开公式法
    • 找到两行/列相乘加满足
      • 1/有一个常数为0
      • 2/出现λ的公因式

• • 一般方法
    • 1、合并同类项写成降幂多项式
    • 2、猜根后通过多项式除法进行因式分解
• 2、带入特征根解齐次线性方程组求特征向量
  • 若系数阵不互成比例，其中一行可化为0

观察法

• 上下三角形
  • 对角线元素即为特征根

• 秩1矩阵
  • 1个特征根为迹，其余为0
• 主对角线ai，其他为b
  • 转化为 秩1矩阵+对角阵

• 求1个或2个特征值
  • 迹=特征值和；行列式=特征值积

抽象矩阵

方法

• 公式法
  • kA、A^k、f(A)、A^(-1)、A*、AT

• 定义法
  • 思想：将题目条件转化为Aå=kå形式
  • 常见
    • A列元素线性组合
    • A对应方程组的解
• 相似法
  • 背景知识
    • P^(-1)AP~B，特征值相同
    • B的特征向量=P^(-1)*A的特征向量
    • A的特征向量=P*B的特征向量

• • 思想：构造相似阵，求其特征，公式法求原矩阵特征
  • 题目特征
    • 题目出现‘å1 å2线性无关’，‘Aå1’，‘Aå2’
• 同乘å法
  • 步骤
    • 1、对f(A)=0同乘å转化为f(λ)=0，求λ可能值
    • 2、由 ’秩’ + ’可相似对角化’ 确定λ

题目

• 对A元素/列/方程组解的描述
  • 定义法

• ‘å1 å2线性无关’，‘Aå1’，‘Aå2’
  • 相似法
• 多项式f(A)=0
  • 同乘法

• 已知相关阵的特征值
  • 公式法

两个矩阵是否有相同的特征值

判断思路

特征多项式是否相等

常见判断

矩阵与转置阵

相似矩阵

两实对称矩阵的交换乘积

一矩阵为可逆矩阵的交换乘积

• 当A、B有一可逆时，AB～BA

特别

两矩阵秩的和<方阵阶数

• 1、纵向合并矩阵的齐次方程有非零解
• 2、该非零解同时为两矩阵对应的齐次方程的解
• 3、齐次方程可看作A特征值为0，特征向量为x

特征向量的性质

证明某向量是否为特征向量

证明同一特征向量不能属于两个不同特征值

证明两个不同特征值对应的特征向量线性无关

标志语句：n个互不相同的特征值

运用知识：单重特征根有两个特征向量，则线性相关

利用特征值计算行列式

常用结论

tr(A)=∑a_ii

∑A_ii=tr(A*)

其他

相似矩阵/对角化

矩阵能否相似对角化的判别与证明

判别步骤

1、是否为实对称矩阵

2、特征值是否为实单根

• 特殊矩阵：观察法
• 一般矩阵：解特征方程

3、k重特征根是否有k个线性无关特征向量

• 看n-r(λE-A)是否与λ的重根数相等

证明

证明n-r(λE-A) =(≠) λ的重根数

常用结论和误区

n重零特征根>>X>>A=O

满足f(A)=O的矩阵A求特征值时，不可对f(A)=O同乘g(A)，会导致特征值变多或变少

两个矩阵是否相似的判别和证明

方法

定义法

• 若有P^(-1)AP=B，则A~B
• 使用场景
  • 抽象矩阵相似的证明
  • 举例
    • 若A~B，证明
      • A^k~B^k
        • 证明方法需记忆

• • • • f(A)~f(B)，f(x)为多项式
      • A~B

必要条件法

• 比对矩阵属性是否相等
  • 秩
  • 行列式
  • 迹
  • 特征值

• 证明一矩阵只与自己相似
  • kE阵
• 证明一矩阵无法相似对角化
  • n-r(λE-A)≠λ重根数

• 使用场景
  • 用于证明不是相似矩阵

传递法

• 若A~Λ，Λ~B，则A~B
• 步骤
  • 1、判断A、B都可以相似对角化
  • 2、求A、B特征值

• 使用场景
  • 证明两个一般矩阵相似

题型

抽象矩阵相似证明

• 定义法

判别不是相似矩阵

• 必要条件法

证明两个一般矩阵相似

• 传递法

求可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=Λ

步骤

1、预处理（求参）

• 相似
  • 相似必要条件

• 特征值/向量
  • 特征多项式/定义式
• 有重特征值
  • 秩

2、求A的特征值和特征向量

3、组合特征向量得P

注意

可化为下阶梯形矩阵的线性方程组求解

• 1、将m个零行向量移到最下面
• 2、分别令前m行后面的非零元素对应的未知数为1，回代算出其他未知数

有参数的矩阵进行对角化

• 分类讨论
• 举例：当A本为对角阵或阶数为0时，对所有P都有Λ=P^(-1)AP

当A为抽象阵时

• 构造相似阵求其特征，再由公式法求A特征

实对称矩阵的相似对角化

步骤

1、求A的特征值和特征向量

• 常考：用正交求特征向量
  • 知重根特征向量
    • 单根特征向量

• • 知单根特征向量
    • 重根特征向量

2、将特征向量组正交单位化（若需要）

由特征值、特征向量反求A

步骤

1、求特征值/向量

2、用Α=PΛP^(-1)

常用结论

实对称矩阵的不同向量值对应的特征向量正交

使用场景：A为实对称矩阵，有一特征向量未知

相似对角化的应用

求A^k、f(A)

思想：将A相似对角化，用对角阵^n性质求解

注意

• 若对角阵为kE阵，则不需要P或简化计算
• 对0元素较多的矩阵，注意是否可写成分块对角矩阵
  • 这里可能用到其他矩阵高幂求法，见第三讲

求(A^k)*ß

1、考察ß是否可由特征向量线性表出

2、若可线性表出，则利用 ‘特征值定义式’ 求解

3、若不可线性表出，则先求A^k，在求原式

二次型

二次型的矩阵表示

注意：二次型的矩阵一定是实对称矩阵，但x^(T)Ax的矩阵不一定为实对称矩阵

化二次型为标准型

正交变换法

步骤

• 1、将二次型对应矩阵A写出
• 2、将矩阵A进行相似对角化并求正交矩阵

注意

• 正交变换只能化二次型为标准形
• 正交变换不唯一，但正交变换求的标准形唯一
• 解方程组的技巧
  • 当特征矩阵不满秩时，可只保留r行非零行，其他行化为零行再进行阶梯化

配方法

步骤

• 1、若无平方项，作线性变换
  • x1=y1+y2;x2=y1-y2;xi=yi;

• 2、将平方项及全部相关混合项配完全平方
  • 化为规范形时系数取+-1
  • 配完全平方是保证变换可逆：平方项数≤变量数
• 3、令平方项内容为新变量zi，写出线性变换x=Cz
  • 两组变量数应相同，当平方项不足时应增添zi=yi

• 4、求|C|验证是否为可逆线性变换

优先使用配方法

题目未做要求

特征值不能直接看出

正交变换法求出的标准型是配方法中的特殊情况

正定问题

具体型

步骤

• 1、判断主对角线元素>0
• 2、逐阶判断顺序主子式>0 or 全部特征值>0

注意

• 大型矩阵的顺序主子式正负判断
  • 化为三角行列式直接判断

• A相关矩阵正定性判断（A不一定正定）
  • 以特征值为桥梁判断p=n是否成立

抽象型

思路

• 证明全部特征值为正
  • f(A)：直接将特征值写出进行证明
  • AB：通过特征值定义式将λ表出

• 证明对任意x≠0都x^(T)Ax都为正
  • A^2：构造(xA)T(xA)

步骤

• 1、证明矩阵对称
• 2、证明正定

相关结论

• A正定时，A的相关矩阵均正定(其中系数为正）

二次型的最值问题

1、将其化为标准型（运算性质好）

2、找出上下界

3、证明上下界可取到（取特殊值）

【18讲例9.23】

矩阵的的等价、相似、合同

等价

定义

• 存在可逆阵P、Q，使得PAQ=B

充要条件

• A经过有限次初等变换化为B
• A、B等秩（判断用）

相似

定义

• 存在可逆阵P，使得P^(-1)AP=B

充分条件

• A B可相似对角化+特征值相等（判断用）
• A～Λ，Λ～B

必要条件

• 行列式、秩、迹、特征值 相等

合同

定义

• 存在可逆阵Q，使得Q^(T)AQ=B

充要条件

• A B有相同的正负惯性指数

判断

• 思路：看正负惯性指数是否相同
  • 配方法
  • 特征方程法
    • 通过求出所有特征根来看p q

• • 推理法
    • 通过求特征根的和、积来推断p q
    • 适用于目标矩阵阶数小(3阶)的情形
• 其他问法
  • A是否为二次型的标准形/规范形