【LeetCode】剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列

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【LeetCode】剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列
一、求和公式
二、滑动窗口（双指针）

一、求和公式

设连续正整数序列的左边界 i 和右边界 j，则此序列的元素和 target 等于元素平均值（i + j）/ 2 乘以元素数量（j - i + 1），即：

观察发现，当确定元素和 target 与左边界 i 时，可通过解一元二次方程，直接计算出右边界 j，公式推导如下：

整理上式得：

根据一元二次方程求根公式得：

由于 j > i 恒成立，因此直接舍去必为负数的解，即 j 的唯一解求取公式为：

因此，通过从小到大遍历左边界 i 来计算以 i 为起始数字的连续正整数序列。每轮中，由以上公式计算得到右边界 j，当 j 满足以下两个条件时记录结果：

j 为整数：符合题目所求【连续正整数序列】
i < j：满足题目要求【至少含有两个数】

class Solution{public int[][] findContinuousSequence(int target){int i = 1;double j = 2.0;ArrayList<int[]> res = new ArrayList<>();while(i < j){j = (-1 + Math.sqrt(1 + 4 * (2 * target + (long) i * i - i))) / 2;if(i < j && j == (int)j){int[] ans = new int[(int)j - i + 1];for(int k = i; k <= (int)j; k++)ans[k - i] = k;res.add(ans);}i++;}return res.toArray(new int[0][]);}
}

时间复杂度 O(n)：其中 N = target。连续整数序列至少有两个数字，而 i < j 恒成立，因此至多循环 target / 2 次，使用 O(n) 时间。循环内，计算 j 使用 O(1) 时间。当 i = 1 时，达到最大序列长度，考虑到解的稀疏性，将列表构建时间简化考虑为 O(1)
空间复杂度 O(1) ：变量 i，j 使用常数大小的额外空间

二、滑动窗口（双指针）

设连续正整数序列的左边界 i 和有边界 j，则可构建滑动窗口从左向右滑动。循环中，每轮判断滑动窗口内元素与目标值 target 的大小关系，若相等则记录结果，若大于 target 则移动左边界 i （以减小窗口内的元素和），若小于 target 则移动右边界 j（以增大窗口内的元素和）

算法流程：

初始化：左边界 i = 1，右边界 j = 2，元素和 s = 3，结果列表 res
循环：当 i ≥ j 时跳出
- 当 s > target 时：向右移动左边界 i = i + 1，并更新元素和 s
- 当 s < target 时：向右移动右边界 j = j + 1，并更新元素和 s
- 当 s = target 时：记录连续整数序列，并向右移动左边界 i = i + 1
返回值：返回结果列表 res

class Solution{public int[][] findContinuousSequence(int target){int i = 1;int j = 2;int s = 3;ArrayList<int[]> res = new ArrayList<>();while(i < j){if(s == target){int[] ans = new int[j - i + 1];for(int k = i; k <= j; k++)ans[k - i] = k;res.add(ans);}if(s >= target){s -= i;i++;}else{j++;s += j;}}return res.toArray(new int[0][]);}
}

时间复杂度 O(n)：其中 N = target。连续整数序列至少有两个数字，而 i < j 恒成立，因此至多循环 target 次（i，j 都移动到 target / 2），使用 O(n) 时间。当 i = 1 时，达到最大序列长度，考虑到解的稀疏性，将列表构建时间简化考虑为 O(1)
空间复杂度 O(1)：变量 i，j，s 使用常数大小的额外空间

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