作者 | kyle       责编 | 欧阳姝黎

故事起源

一人有 240 升水，他想运往干旱地区赚钱。有几个限制条件如下：

• 每次最多携带 60 升

• 每前进 1 公里须耗水 1 升(均匀耗水)

• 水的价格与路程成正比，出发地为 0 元/升，前进 10 公里处为 10 元/升

• 他必须安全返回出发地

那么应该采取怎样的策略，赚取最多的钱？

分析

总共 240 L，每次最多 60 L，那就分 4 次运输。假设前进公里处卖掉：

则收益为：.

这样就变成了一个二次函数求最值问题，画出函数图像如下：

得到结论：分 4 次往返运输，每次装满 60 L，前进 15 公里的地方卖掉，再返回。

总共获利：。

那这样问题貌似已经完美解决了，网上其它的分析基本也都是这样，但题目貌似有一些歧义，接着我们继续往下分析。

深入思考

题意描述是一个数学模型，但其实我们也可以反向建模。以前都是将生活场景抽象成数学模型，这次我们尝试找一个对应的生活场景。

上面我们通过计算得到了结论，但应该怎么去理解呢，它是否具备可解释性？

这样来理解：水在原产地没有价格差异，所以不论有多少，收益都为 0。运输到了外地产生了价格差，但运输成本也会增加。

那收益为什么会存在一个确定的最大值呢？
比如在成都产的小麦，为啥不运输到纽约去卖呢。先不考虑其它的客观条件，只通过计算经济收益来考虑。

先来研究一下价格、运输成本与距离的关系。

通过上面的函数图像可以发现：

• 收益=价格 剩余数量，即收益，这不是线性关系，因为货物数量在越来越少

• 只看成本，则成本=损耗数量价格，即成本，也不是线性增长，因为成本是损耗的货物本身，而货物本身的价格在增长，所以成本以非线性上升

如果理想场景，价格与距离成正比，运输成本也与距离成正比，且货物数量不变。

则收益为：利差*数量

那么收益与距离成正比，距离越远，收益就越高。如果从成都运输小麦到纽约符合这个模型，那么肯定应该把小麦卖得越远越好，但实际生活中，有很多其它的因素，不满足线性关系。
比如到纽约的小麦价格涨 10 倍，但成本却要涨 100 倍，这样收益就会越来越低，甚至亏损。

对生活场景的思考

4.1 场景 1

平时外出经常需要打车。打车人数一般不会变，单价固定，而司机的成本也就考虑油费，这时司机的收益可以假设与里程成正比，那么跑得越远，收益越多。

所以你打车的时候会发现，他们都喜欢跑距离远的单子，近距离一般都不喜欢接。

4.2 场景 2

收益=利差*数量，通过这个公式，可以看出要提高收益，就增大利差或者增大销售数量。所以为啥 iphone 要卖向全球，因为能提高销售数量，至于利差也不一定要比原产地高，但整体收益肯定会增加。从市场经济的角度来说，理论上有更高利润，那么这个经济行为就可以发生。

4.3 场景 3

回到之前的问题，随着距离的增加，货物越来越少，最后可能是一个大货车运一瓶矿泉水，也可以理解为运输效率越来越低，成本自然就越来越高。

比如网购的快递运输。快递在长途运输是用大货车，但最后派送却是用的电瓶车，你应该没见过一个大货车装几个包裹开你家门口吧，快递公司都是有很多的中转站。

那么之前的问题，是否也可以用中转的方式呢，这就是有歧义的地方。题目没有说必须一次运输到目标点再全部卖掉，接着我们继续分析。

中转

为了解决运输效率低，我们肯定是希望货车尽量的满载，因为限制最多60L，那就尽量装满 60 L，所以可以在中途建立中转站。

中转站建设规则：

• 240 L，要运输 4 次，如果有 181 L，也要运输 4 次，所以保证每个中转站都还剩 60 的倍数

• 在到每一个中转站途中，选择最大的收益卖掉，最后比较取全局最优

• 到达一个中转站，如果不卖，就要将返程的水放这里，等返回的时候再装上

5.1 第一站，7.5 公里

运输4次，最佳卖点是 7.5 公里的位置，最多可得 1350 元。如果不卖就往返 7 次，留 7.5L 在此处，继续往前转运，返程再装回 7.5L。

5.2 第二站，10 公里

在站点卖掉，最多可得 2100 元。

5.3 第三站，15 公里

在距离第二站 6.25 公里处卖掉，最多可得 2256.25 元。

如果在第 3 站站点卖掉得 60*32.5=1950，往后只会更低。所以按上面方式转运，最多可得 2256.25 元。

ok，我们成功的把一个简单的问题复杂化了，perfect。

总结

简单的问题也要多深入思考，全方位 360 度无死角，就有可能发现很多不一样的结论。生活中的各种场景都可以和严谨的数学联系起来，关键是能否找出他们的本质规律。

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