【BZOJ3227】红黑树，打表找规律/DP

传送门
思路：
很有意思的一道题
DP思路十分显然，我们以最小值为例
f[x][h][0/1]表示节点数为x的子树，该树的黑高度为h，根节点颜色为红/黑时
f[x][h][0]=min{f[y][h][1]+f[x−y−1][h][1]}+1f[x][h][0]=\min\{f[y][h][1]+f[x-y-1][h][1]\}+1
f[x][h][1]=min{f[y][h−1][0/1]+f[x−y−1][h−1][0/1]}f[x][h][1]=\min\{f[y][h-1][0/1]+f[x-y-1][h-1][0/1]\}
0≤y<x0\leq y
复杂度是O(n3)O(n^3)的，一开始并没有想到怎么优化
看看只输入一个数。。。打表！
但是跑得太慢了，所以就把前100的答案拿出来观察一番
瞪眼观察了半天后，发现最大值g[n]g[n]有这样的规律
当n=2kn=2^k时
g[n]=g[n−1]−⌈k2⌉+1g[n]=g[n-1]-\lceil \frac k 2 \rceil+1
当n=2k⋅s(s>1)n=2^k·s(s>1)时
g[n]=g[n−1]−⌊k−12⌋g[n]=g[n-1]-\lfloor \frac {k-1} 2\rfloor
最小值没(lan)有(de)看(kan)出(le)，翻了一下OEIS(啪)，发现是catalan数每一项的2的幂指数
表示奥妙重重而且不会证明~~反正是对的就行了~~
（这里我还推错了几次，有一次竟然A了，发现数据规模很小，感人至深）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
int f[5005],g[5005],bit[20005];
main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin>>n;g[1]=1;bit[1]=0;for (int i=2;i<=4*n;++i)if (i%2==0) bit[i]=bit[i/2]+1;else bit[i]=0;f[1]=0;for (int i=2;i<=n;++i){int t=bit[i&-i];if (i^(i&-i))g[i]=g[i-1]-t/2+1;elseg[i]=g[i-1]-(t-1)/2;f[i]=f[i-1]+bit[4*i-2]-bit[i+1];}printf("%d\n%d\n",f[n],g[n]);
}

我们返回来看原先的DP式子
虽然不会写红黑树，但我们还是很容易感受出来一颗红黑树是不会很长的，它的节点分布一定很平均
实际上，一颗黑高度为hh的红黑树，它的内节点数至少为2h−12^{h}-1（比较显然，只要所有节点都是黑节点就可以了），那也就是说对于一颗节点数为xx的红黑树，它的深度不超过⌊log2(x+1)⌋\lfloor \log_2(x+1)\rfloor，所以我们DP时枚举黑高度的次数由O(n)O(n)减小到了O(logn)O(\log n)!，复杂度O(n2logn)O(n^2\log n),表示这个复杂度在本机上很难过，不过codevs上好像跑的还挺快？
反正xjb优化了一些东西后，本机跑n=5000终于能进2s了

#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
int f[5005][17][2],g[5005][17][2];
inline int min(int x,int y){return x>y?y:x;}
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
main()
{scanf("%d",&n);memset(f,63,sizeof(f));memset(g,-63,sizeof(g));f[0][1][1]=0;g[0][1][1]=0;for (int i=1;i<=n;++i)for (int j=1;(1<<j-1)<=n+1&&j<=i+1;++j)for (int k=(j>1?(1<<j-2)-1:0);k<=i-k-1;++k){f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[k][j][1]+f[i-k-1][j][1]+1);g[i][j][0]=max(g[i][j][0],g[k][j][1]+g[i-k-1][j][1]+1);if (j>1)f[i][j][1]=min(f[i][j][1],min(f[k][j-1][1],f[k][j-1][0])+min(f[i-k-1][j-1][0],f[i-k-1][j-1][1])),g[i][j][1]=max(g[i][j][1],max(g[k][j-1][1],g[k][j-1][0])+max(g[i-k-1][j-1][0],g[i-k-1][j-1][1]));}int mi=10000,mx=0;for (int i=1;(1<<i-1)<=n+1;++i)mi=min(mi,min(f[n][i][0],f[n][i][1])),mx=max(mx,max(g[n][i][0],g[n][i][1]));printf("%d\n%d\n",mi,mx);
}

百度一下并没有我起初打表递推的做法，主要是DP和贪心？贪心！
贪心做法很劲的样子，表示吓哭

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