信息学奥赛一本通（1214：八皇后）

1214：八皇后

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【题目描述】

会下国际象棋的人都很清楚：皇后可以在横、竖、斜线上不限步数地吃掉其他棋子。如何将8个皇后放在棋盘上（有8 × 8个方格），使它们谁也不能被吃掉！这就是著名的八皇后问题。

对于某个满足要求的8皇后的摆放方法，定义一个皇后串a与之对应，即a=b1b2...b8a=b1b2...b8，其中bi为相应摆法中第i行皇后所处的列数。已经知道8皇后问题一共有92组解（即92个不同的皇后串）。

给出一个数b，要求输出第b个串。串的比较是这样的：皇后串x置于皇后串y之前，当且仅当将x视为整数时比y小。

【输入】

第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数b(1≤b≤92)。

【输出】

输出有n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，是对应于b的皇后串。

【输入样例】

2
1
92

【输出样例】

15863724
84136275

【分析】

显然问题的关键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同;如果在同列上，则列号相同;如果同在 / 斜线上，则行列值之和相同；如果同在 \ 斜线上，则行列值之差相同；从下图可验证。

考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组 a[1...8] 表示皇后的放置∶第 i 行皇后放在第 j 列，
用 a[i] = j 来表示，即下标是行数，内容是列数。例如∶a[3] = 5 就表示第3个皇后在第3行第5列上。
判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组 b[1...8] 控制
同一列只能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组 c[1...16]、d[-7...7]控制同一对角线上只能有一个皇后。如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相同。在这种方式下，要表示两个皇后 i 和 i 不在同一列或斜线上的条件可以描述为∶(a[i]!=a[j]) && (abs(i-j) != abs(a[i]-a[j])) { i 和 j 分别表示两个皇后的行号 }。

【参考代码】

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 9
int a[N];     //皇后放置数组
int b[N];     //标志数组，控制同一列只有一个皇后
int c[N];     //标志数组，控制正向对角线只能有一个皇后
int d[N];     //标志数组，控制反向对角线只能有一个皇后
int sum,x;
void print()
{int i;sum++;      //方案数累加1 if(x==sum){for(i=1;i<=8;i++)printf("%d",a[i]);printf("\n");}
}
void dfs(int i)
{int j;for(j=1;j<=8;j++)  // 每个皇后都有8位置（列）可以试放{if(!b[j] && !c[i+j] && !d[i-j+7])  //寻找放置皇后的位置 {                  //由于C++不能操作负数组，因此考虑加7a[i]=j;        //摆放皇后 b[j]=1;        //宣布占领第j列 c[i+j]=1;      //占领两个对角线 d[i-j+7]=1;if(i==8)       //8个皇后都放好，输出 print();else           //继续递归放置下一个皇后 dfs(i+1);b[j]=0;        //递归返回，即为回溯一步，当前皇后退出 c[i+j]=0;d[i-j+7]=0;}}
}
int main()
{int i,j,t;scanf("%d",&t);while(t--){x=0;scanf("%d",&x);dfs(1);     //从第一个皇后开始放置 sum=0;}return 0;
}

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1214