【概述】

给出一个由 n 个点和 m 条边构成的简单无向加权图，有时需要对生成树计数或对最小生成树计数。

当对生成树计数时，利用基尔霍夫矩阵的 Matrix-Tree 定理即可解决，而对最小生成树计数时，根据数据范围的不同，所采用的方法也不同。

关于基尔霍夫矩阵：点击这里

【生成树计数】

对于生成树的计数，一般采用矩阵树定理(Matrix-Tree 定理)来解决。

Matrix-Tree 定理的内容为：对于已经得出的基尔霍夫矩阵，去掉其随意一行一列得出的矩阵的行列式，其绝对值为生成树的个数

因此，对于给定的图 G，若要求其生成树个数，可以先求其基尔霍夫矩阵，然后随意取其任意一个 n-1 阶行列式，然后求出行列式的值，其绝对值就是这个图中生成树的个数。

LL K[N][N];
LL gauss(int n){//求矩阵K的n-1阶顺序主子式LL res=1;for(int i=1;i<=n-1;i++){//枚举主对角线上第i个元素for(int j=i+1;j<=n-1;j++){//枚举剩下的行while(K[j][i]){//辗转相除int t=K[i][i]/K[j][i];for(int k=i;k<=n-1;k++)//转为倒三角K[i][k]=(K[i][k]-t*K[j][k]+MOD)%MOD;swap(K[i],K[j]);//交换i、j两行res=-res;//取负}}res=(res*K[i][i])%MOD;}return (res+MOD)%MOD;
}
int main(){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);memset(K,0,sizeof(K));for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);K[x][x]++;K[y][y]++;K[x][y]--;K[y][x]--;}printf("%lld\n",gauss(n));return 0;
}

【最小生成树计数】

根据给出的 n、m 的数据范围，最小生成树的计数分为简化版、加强版。

最小生成树的计数的核心为 MST 的以下两条性质：

每种权值的边的数量是固定的
不同的生成树中，某一种权值的边任意加入需要的数量后，形成的联通块状态是相同的

1.简化版

当每种权值的边不超过 10 条时，利用 dfs，暴力枚举即可解决，时间复杂度为 $O(2^{10} m)$

根据最小生成树的性质，先统计出每种权值需要的边的条数 cnt

然后进行 dfs，枚举第 i 种权值的边选择哪 cnt 条，然后根据乘法原理来统计答案

需要注意的是，为了能够快速分开连通块，并查集中不能使用路径压缩

struct Edge {int x,y;int dis;bool operator < (const Edge &rhs)const{return dis<rhs.dis;}
} edge[N];
struct build {int l,r;int cnt;
} a[N];
int tot;
int n,m;
int father[N];
int sum;int Find(int x) {if(father[x]!=x)return Find(father[x]);return father[x];
}
void dfs(int x,int now,int num) {if(now==a[x].r+1) {if(num==a[x].cnt)//选指定的条数sum++;return ;}int fx=Find(edge[now].x);int fy=Find(edge[now].y);if(fx!=fy) {//选father[fx]=fy;dfs(x,now+1,num+1);father[fx]=fx;father[fy]=fy;}dfs(x,now+1,num);//不选
}
int Kruskal() {sort(edge+1,edge+m+1);for(int i=1; i<=n; i++)father[i]=i;int cnt=0;for(int i=1; i<=m; i++) {if(edge[i].dis!=edge[i-1].dis) {tot++;a[tot].l=i;a[tot-1].r=i-1;}int x=Find(edge[i].x);int y=Find(edge[i].y);if(x!=y) {father[y]=x;a[tot].cnt++;cnt++;}}a[tot].r=m;return cnt;
}
int main() {scanf("%d%d",&n,&m);int x,y,z;for(int i=1; i<=m; i++)scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].dis);int num=Kruskal();if(num!=n-1) {printf("0");return 0;}else{for(int i=1; i<=n; i++)father[i]=i;int res=1;for(int i=1; i<=tot; i++) {sum=0;dfs(i,a[i].l,0);res=res*sum;for(int j=a[i].l; j<=a[i].r; j++) {int x=Find(edge[j].x);int y=Find(edge[j].y);if(x!=y)father[y]=x;}}printf("%d",res);}return 0;
}

2.加强版

当每种权值的边不超过 100 条，需要利用 Matrix-Tree 定理，时间复杂度为 $O(n^3 logn)$

根据 MST 的性质，枚举树边的权值 i，将权值不是 i 的树边都加入到图中然后进行缩点。将权值是 i 的原图中的边，在缩点后构造基尔霍夫矩阵，再利用 Matrix-Tree 定理求出方案数。

最终答案根据乘法原理进行计算即可。

struct Edge {int x,y;int dis;bool operator < (const Edge &rhs) const {return dis<rhs.dis;}
} edge[N],tr[N];
int n,m;
int father[N];
int G[N][N];
int tot,bel[N],val[N];
int Find(int x) {if(father[x]!=x)return father[x]=Find(father[x]);return x;
}
int Gauss(int n) {int res=1;for(int i=1; i<=n; i++) {for(int k=i+1; k<=n; k++) {while(G[k][i]) {int d=G[i][i]/G[k][i];for(int j=i; j<=n; j++)G[i][j]=(G[i][j]-1LL*d*G[k][j]%MOD+MOD)%MOD;swap(G[i],G[k]);res=-res;}}res=1LL*res*G[i][i]%MOD,res=(res+MOD)%MOD;}return res;
}
int Kruskal() {sort(edge+1,edge+m+1);for(int i=1; i<=n; i++)father[i]=i;int cnt=0;for(int i=1; i<=m; i++) {int fu=Find(edge[i].x);int fv=Find(edge[i].y);if(fu==fv)continue;father[fu]=fv,tr[++cnt]=edge[i];if(edge[i].dis!=val[tot])val[++tot]=edge[i].dis;}return cnt;
}
void addTreeEdge(int v) {for(int i=1; i<n&&tr[i].dis!=v; i++){int x=tr[i].x;int y=tr[i].y;father[Find(x)]=Find(y);}for(int i=n-1; i&&tr[i].dis!=v; i--){int x=tr[i].x;int y=tr[i].y;father[Find(x)]=Find(y);}
}
void rebuild(int v) {memset(G,0,sizeof(G));for(int i=1; i<=m; i++){if(edge[i].dis==v){int x=bel[edge[i].x];int y=bel[edge[i].y];G[x][y]--;G[y][x]--;G[x][x]++;G[y][y]++;}}
}
int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1; i<=m; i++)scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].dis);int cnt=Kruskal();if(cnt!=n-1) {printf("0\n");}else{int res=1;for(int i=1; i<=tot; i++) {for(int i=1; i<=n; i++)father[i]=i;addTreeEdge(val[i]);int blo=0;for(int i=1; i<=n; i++)if(Find(i)==i)bel[i]=++blo;for(int i=1; i<=n; i++)bel[i]=bel[Find(i)];rebuild(val[i]);res=1LL*res*Gauss(blo-1)%MOD;}printf("%d\n",res);}return 0;
}

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