白板机器学习笔记 P39-P45 指数族分布

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P39 指数族分布1/2 - 背景
本节内容：主要给出了指数族分布的数学形式。并简要引出了指数族分布的三大特征：充分统计量、共轭、最大熵（无信息推断）。还说明了指数族分布的三大应用场景：广义线性模型、概率图模型、变分推断。

P41 指数族分布3 - 高斯分布的指数族形式
本节内容：将高斯分布化成指数族形式 P(x|η) = h(x)·exp(η^Tф(x)-A(η))。化简过程中最重要的思想是将含自变量x和含参数η的项分开。含x和η的项都能写成独立的形式。

P42 指数族分布4 - 对数配分函数与充分统计量
注意：P(x|η) = h(x)·exp(ηTф(x)-A(η)) 式中的exp(-A(η))可以拿到等式前边来，变成X分之一的形式。
本节内容：接着由P(x|η)是概率密度函数，对x求积分等于1，列出等式。因为exp(A(η))与x无关，移项后左右求导，推出A’(η)的表达形式恰好就是以概率分布P(x|η)求出的充分统计量ф(x)的期望。A’(η)是ф(x)的方差。本节最主要的思想是：证明指数族分布中自变量x和参数η之间存在联系，联系就是上边推出的A(η)的一阶导是ф(x)的期望，二阶导是ф(x)的方差。

P43 指数族分布5 - 极大似然估计与充分统计量
本节内容：根据极大似然估计将 η 表示成 P(x|η) 连乘的形式。左右求导为0，化简出下图中红框部分的结果。可以看出 A’(η_MLE) 仍然是ф(x)的期望，与上节结论一样，只不过极大似然估计引入了独立同分布假设，所以这里的期望不再是连续的积分，而是变成了离散并且等可能的形式。只与ф(x)有关，也即这时可以扔掉所有数据X了，只用ф(x)即可得出 η，这就是为什么ф(x)被称为充分统计量的原因。

注意：本节独立同分布假设主要体现在对η求导的计算中，这里A’(η)中的参数η是由特定x_i的充分统计量ф(x)估计出来的，应该是不同的。但这里我们认为A’(η)是一个常量，可以被提出来表示成N倍的形式，其实就是利用了独立同分布的假设。在这种假设下，事件是根据一个恒定不变的概率分布来发生的，所以跟η有关的量都应该是常量，代表了一种终极规律。这也让我想到了频率派和贝叶斯派的区别，频率派主要就是这种思想，用极大似然估计时假定概率分布恒定；贝叶斯派则将参数η作为变量，是随着观测的结果进行动态调整的，也即我们是去逼近这个终极规律，而不是一开始就假设出终极规律的符号进行运算。

P44 指数族分布6 - 最大熵角度（1）
本节内容：用拉格朗日乘子法优化了信息熵的定义式。证明了在任何信息都不知道的情况下，等可能事件的熵最大。（因为熵就代表不确定程度，每种结果发生的可能性相同时，最不能够确定发生的是哪个事件了，也即这时事件发生类型的不确定程度最大）

对最大熵为什么要最大化熵的一点理解
https://blog.csdn.net/qq_40367091/article/details/114684682

P45 指数族分布7 - 最大熵角度（2）
本节内容：前半部分展示了如何将数据变成经验分布，进而变成充分统计量，并加入到最大熵模型的约束条件中去。后半部分用拉格朗日乘子法对带条件约束的最大熵模型进行优化，得到的最终形式也是指数族分布。
注意：充分统计量不一定是一个数，也可能是一组统计信息。泛函

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文章目录 0 笔记说明 1 背景 1.1 指数族分布的一般形式 1.2 共轭先验 2 高斯分布的指数族形式 3 对数配分函数与充分统计量 4 极大似然估计与充分统计量 5 熵 5.1 最大熵⇔x服从均 ...

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