博弈——威佐夫博弈（hdu1527，2177）

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1527

题目描述：

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

首先介绍一下威佐夫博弈（Wythoff Game）的概念：

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

性质：两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

判断是否为奇异局势：任给一个局势（a，b）, (下面用到的a是两者中较小的数)ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618…,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，

若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，

若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

我们再用具体的数值说明一下：

当面对（0，0）时很显然我们是处于必败的状态，而下一个该状态即（1，2）

因为无论我们做（0，2）（1，1）（1，0）那种操作对方都能使我们变成（0，0）

以此类推，前几个奇异局势是:(0，0)、(1，2)、(3，5)、(4，7)、(6，10)、(8，13)、(9，15)、(11，18)、(12，20)。

而他们的差值就是0，1，2，3，4，5，6，7……

所以第一个值 = 差值 * 1.618满足黄金分割数的比例。

这是为什么呢？

首先，若 (x, y) 是必败态，那么(x+i,y),((x,y+i)肯定是必胜态，因为我可以通过拿去i个石子使其变成(x,y)

这也就说明了，以后的必败态绝对不会再出现x、y。因为如果出现，我可以通过改变另一个值使它变为(x,y)，那么就不是必败态了。

首先，假设我们得到状态 (a[i] - p, a[i] - p + y)，并且比 a[i] 小的数都在之前出现过，若 a[i] - p 存在必败态，那么当前状态 (a[i] - p, a[i] - p + y)肯定是必胜态了

若 a[i] - p 出现在较大的数，由于小数是单增的，因而其对应的小数必小于 a[i] + y，故而也可推出其状态为必胜态。

于是，(a[i], a[i] +y) 状态的胜负性只与状态 (a[i], a[i] + d) (d <y) 有关。不难看出，y= i 时恰为必败态，因为不论从第二堆中取出多少个石子，作为另一堆的第一堆石子并没有在之

前出现过，所以得到的一定是一个必胜态，因而 (a[i], a[i] + y) 为必败态，即矩阵i 个必败态大数等于小数加上 i。

所以差值就是0，1，2，3，4，5，6，7……了

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{int a,b;while(~scanf("%d%d",&a,&b)){double j,k,r;int t;if(a>b){t=a;a=b;b=t;}r=(sqrt(5.0)-1)/2;j=(int)(r*a);if(a!=(int)(j/r))j+=1;if(b!=(int)(j/r)+j)printf("1\n");elseprintf("0\n");}return 0;
}

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2177

原理相同

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{int a,b;while(~scanf("%d%d",&a,&b)&&(a||b)){double j,k,r,x;int i,n,m,m_n;int t;if(a>b){t=a;a=b;b=t;}r=(sqrt(5.0)-1)/2;x=r+1;j=(int)(r*a);if(a!=(int)(j/r))j+=1;if(b==(int)(j/r)+j)printf("0\n");else{printf("1\n");for(i=1;i<=a;i++){n=a-i;m=b-i;m_n=m-n;if((int)(m_n*x)==n)printf("%d %d\n",n,m);}for(i=b-1;i>=0;i--){n=a;m=i;if(n>m){t=n;n=m;m=t;}m_n=m-n;if((int)(m_n*x)==n)printf("%d %d\n",n,m);}}}return 0;
}

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