数学建模作业

奶制品的生产与销售模型

奶制品的生产与销售模型

摘 要

随着社会的发展，人们的生活水平逐渐提高，对奶制品的要求也不断提高，因此，企业生产越来越注重对人们需求的供给，合理分配资源，获取最大利润。

根据本题的基本信息，提出奶制品的生产与销售模型，这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2(也可以时每天生产多少公斤A1，多少公斤A2),但存在着几个问题的制约，采用最小二乘的模型求解方法，按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到模型最优解，解决实际问题，使资源分配合理，并利用效益最大化。

关键字：生产要求 最优解 最小二乘法

一 问题重述

问题一 一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：

1)若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？

2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？

3)由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？

问题二 为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。试为该厂制订一个生产销售计划，是每天的净利润最大，并讨论以下问题：

1)若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？

2)每公斤高级奶制品B1，B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响？若每公斤B1的获利下降10%，计划应该变化吗？

二 问题分析

问题一 这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2(也可以时每天生产多少公斤A1，多少公斤A2)，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、甲类设备的加工能力。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。

问题二 要求制订生产销售计划，决策变量可以像例1那样，取作每天用多少桶牛奶生产A1、A2，再添上用多少公斤A1加工B1，用多少斤A2加工B2，但是由于问题要分析B1、B2的获利对生产销售计划的影响，所以决策变量取作A1，A2，B1，B2每天的销售量更方便。目标函数是工厂每天的净利润————A1、A2、B1、B2的获利之和扣除深加工费用。约束条件基本不变，只是要添上A1，A2深加工时间的约束。再与例1类似的假定下用线性规划模型解决这个问题。

三 基本假设

A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与他们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；

A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与他们相互间产量无关的常数；

加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意实数。

四 模型的变量与符号说明

问题一

符号符号说明X1每天用来生产A1的牛奶桶数X2每天用来生产A2的牛奶桶数z每天的获利问题二

符号符号说明X1每天销售A1的公斤数X2每天销售A2的公斤数X3

X4

X5

X6

z每天销售B1的公斤数

每天销售B2的公斤数

每天用 A1加工B1的A1公斤数

每天用 A2加工B2的A2公斤数

每天的净利润

五 模型的建立与求解

5.1模型的建立与求解

问题一 由上述问题分析可建立加工奶制品的生产计划的模型并进行求解：

设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2；每天获利为z元.x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16*4x2，z=72x1+64x2；

我们的目标是求出当x1,x2满足下列约束条件时z的最大值，及相应的x1,x2的取值。约束条件为：

1.原料供应：生产A1，A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2<=480小时；

2.劳动时间：生