常用算法：问题求解与优化

0. 概述

在面对问题求解或优化（求最优解）需求时，提出解决方案的核心思想是：分解问题规模，直到问题规模小到可以用非常简单、直接的方式来解决为止（此规模，称为问题的基本情况）。

根据分解后得到的基本情况（种类）数量，及从整体（规模）问题到基本情况的演进规律，可分别采用分治、递归（可升级为动态规划，二者适用解决的问题情况相同）和贪心算法来求解问题，如下表所示：

整体问题分解结果	适用算法	结果情况
整体问题有多个独立的不同基本情况（子问题），且已知所有基本情况的并集就是整体问题本身	分治	全局最优解
整体问题只有一种基本情况，且已知整体问题可分解为更小规模的相同问题（直至基本情况规模）	递归/动态规划	全局最优解
整体问题只有一种基本情况，但不知道整体问题向基本情况的演进规律	贪心	局部最优解

1. 分治算法

将问题分为若干更小规模的部分，通过解决每一个小规模部分问题，并将结果汇总得到原问题的解

2. 递归算法

递归是一种解决问题的方法，其精髓在于将问题分解为规模更小的相同问题，持续分解，直到问题规模小到可以用非常简单直接的方式来解决。

递归算法的实现过程为：递归函数“调用自身”，由整体问题减小问题规模向基本结束条件演进，到达基本情况后再逐层返回结果推广出整体规模问题的结果。其程序实现要点是：

递归算法必须有一个基本结束条件（最小规模问题的直接解决）
递归算法必须能改变状态向基本结束条件演进（减小问题规模）
递归算法必须调用自身（解决减小了规模的相同问题）

递归调用的实现过程中，容易出现资源耗尽的错误。这是因为当一个函数被调用的时，系统会把调用时的现场数据压入到系统调用栈每次调用，压入栈的现场数据称为栈帧当函数返回时，要从调用栈的栈顶取得返回地址，恢复现场，弹出栈帧，按地址返回。所以当递归的层数太多时，因系统调用栈容量有限，容易出现资源耗尽的错误。

此时应检查程序中是否忘记设置基本结束条件，导致无限递归或者向基本结束条件演进太慢，使递归层数太多、调用栈溢出。若检查无误，在内存大小允许的情况下，可适当增大Python默认的调用栈容量大小（默认为1000层）。在Python内置的sys模块可以获取和调整最大递归深度，如下图所示：

代码实现：

# 递归 v 1.0
coin_dic = {1: 1, 2: 1, 5: 1, 10: 1
}
#
def MakeChange(coin, dic):if coin in dic:return dic[coin]else:      return min([1 + MakeChange(coin-v, dic) for v in dic if coin > v])# test
MakeChange(21, coin_dic, temp)

递归实现时，可通过“memoization（记忆化/函数值缓存）”的技术避免重复计算，提高算法计算效率。

# 递归 v2.0：增加备忘录（memoization）
coin_dic = {1: 1, 2: 1, 5: 1, 10: 1
}
temp = coin_dic.copy()
#
def MakeChange(coin, dic, temp):if coin in temp:return temp[coin]else:temp[coin] = min([1 + MakeChange(coin-v, dic, temp) for v in dic if coin > v])return temp[coin]# test
MakeChange(21, coin_dic, temp)

3. 动态规划

动态规划较递归算法的主要改进是：直接由基本情况（最优子问题）开始逐步迭代，每一步都依靠以前的最优解来得到本步骤的最优解，直到得到答案。这与递归算法相比，省去了由整体问题分解到基本情况的过程，节省了现场数据压入到系统调用栈所需的存储空间，在时间复杂度和空间复杂度上有显著提升。值得注意的是：不是所有动态规划问题都可以简化掉备忘录的中间结果缓存空间，使算法空间复杂度下降到 O(1) 的。（比如下例硬币兑换问题中，就无法简化掉备忘录空间）

示例代码实现：

# 动态规划
coin_dic = {1: 1, 2: 1, 5: 1, 10: 1
}
def dpMakeChange(dic, coin):# 中间结果缓存temp = coin_dic# 规模演进for i in range(1, coin+1, 1):if i not in temp:temp[i] = min([1 + temp.get(i-v, 10*i) for v in dic])return temp[coin]# test
dpMakeChange(coin_dic, 11)

4. 贪心算法