最近看了一下BP神经网络(Backpropagation Neural Networks)，发现很多资料对于BP神经网络的讲解注重原理，而对于反向传播公式的推导介绍的比较简略，故自己根据《PATTERN RECOGNITION AND MACHINE LEARNING》这本书的思路推导了一下反向传播的过程，记录在这里，以便以后看。对于BP神经网络的工作原理此处就不再赘述，周志华大牛的《机器学习》中介绍的很详细。

PS: 本人第一次写博客，不足之处还请见谅。

1. BP网络模型及变量说明

1.1 模型简图

1.2 变量说明：

• mlml：第ll层神经元个数

• x(1)pxp(1): 输入层第pp个神经元，p=1...m1p=1...m1；

• ykyk : 输出层第kk的神经元的输出，k=1...ml+1k=1...ml+1；

• tktk：输出层第kk的神经元的目标值，k=1...ml+1k=1...ml+1；

• z(l)jzj(l)：第ll层的第jj的神经元的输入；

• a(l)jaj(l)：第ll层第jj个神经元的输出；

• a(l)0a0(l)：第ll层的偏置项；

• w(l)jiwji(l)：第l−1l−1层第ii个神经元与第ll层第jj个神经元的连接权值；

• h(.)h(.)：激活函数，这里假设每一层各个神经元的激励函数相同（实际中可能不同）；

• EpEp：网络在第pp个样本输入下的偏差，n=1...Nn=1...N；

• NN：样本总数

2. 误差反向传播相关推导

2.1 正向传播（forward-propagation）

正向传播的思想比较直观，最主要的是对于激活函数的理解。对于网络中第ll层的第jj个神经元，它会接受来自第l−1l−1层所有神经元的信号，即：

如果令wj0=1wj0=1，可以将公式简写为：

则经过该神经元后的输出值为：

对于多分类问题，网络输出层第kk个神经元输出可表示为：

这里说明一下，BP神经网络中激活函数通常会取sigmoidsigmoid函数或tanhtanh函数，不清楚的可以百度一下这两个函数，这里不再赘述。

2.2 代价函数（cost function）

由2.1节公式可以得到BP网络在一个样本下的输出值，我们定义平方和误差函数（sum-of-square error function）如下：

所有样本输入下，网络的总误差为：

2.3 反向传播（back-propagation）

这是BP神经网络最核心的部分，误差从输出层逐层反向传播，各层权值通过梯度下降法（gradient descent algorithm）进行更新，即：

上式中，ηη是每次更新的步长，▽Ep(w)▽Ep(w)是第pp个样本输入下的输出偏差对某一层权值的偏导数，表示每输入一个样本更新一次参数。

下面我们以w(l)jiwji(l)为例推导梯度项：

这里我们定义δ(l)j=∂Ep∂z(l)jδj(l)=∂Ep∂zj(l)，对于输出层，可以得出δ(l+1)k=yk−tk=a(l+1)k−tkδk(l+1)=yk−tk=ak(l+1)−tk，则上式可表示为：

现在问题转换为求解δ(l+1)kδk(l+1):

根据δδ的定义可知∂Ep∂z(l+1)k=δ(l+1)k∂Ep∂zk(l+1)=δk(l+1)，代入上式，则：

根据z(l+1)kzk(l+1)和aljajl的定义可知：

代入上式得：

由此我们得到了误差从输出层向低层反向传播的递推公式，进而可以求出误差对于每一层权值的梯度▽Ep(w)▽Ep(w)

3. 总结

BP神经网络是应用最多的一种神经网络，其精髓在于误差反向传播。本人在学习这块内容是为了给接下来学习和研究深度学习及caffe做准备，由于个人水平有限，在上述推导中可能存在不合理的地方，还请见谅，同时也欢迎指出内容的不足之处。

4. 参考文献

[1] 周志华，机器学习[M] , 清华大学出版社，2016. 
[2] CHRISTOPHER M.BISHOP. PATTERN RECOGNITION AND MACHINE LEARNING [M], 2006.