单用户MIMO系统（一）：信道信息在发端已知

关键词

MIMO，单用户，信道容量，注水算法，Matlab实现

基本介绍

本文介绍了单用户MIMO系统在发端知道信道状态信息时的系统速率优化算法（注水算法、CVX）并且给出了对应的Matlab实现。除了介绍发射机的设计方案外，也给出了对应的接收机的设计方案。

考虑图1所示的单用户MIMO系统，发射机配有NtN_{\text t}Nt条射频链路，接收机配置有NrN_{\text r}Nr条射频链路，无线信道可以用矩阵H∈CNr×Nt{\textbf H}\in{\mathbb C}^{N_{\text r}\times N_{\text t}}H∈CNr×Nt表示。接收机接收到的信号向量为：y=Hs+n,{\textbf y}={\textbf H}{\textbf s}+{\textbf n},y=Hs+n,其中s∈CNt×1{\textbf s}\in{\mathbb C}^{N_{\text t}\times 1}s∈CNt×1表示传输的信号向量， n∼CN(0,σ2INr){\textbf n}\sim{\mathcal{CN}}\left(0,\sigma^2{\textbf I}_{N_{\text r}}\right)n∼CN(0,σ2INr)表示接收侧加性噪声，系统传输速率可以表示为[1]R=log⁡det⁡(INr+1σ2HΦH†),{\mathcal R}=\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text r}}+\frac{1}{\sigma^2}{\textbf H}{\bm\Phi}{\textbf H}^{\dag}\right),R=logdet(INr+σ21HΦH†),其中Φ=E{ss†}{\bm\Phi}={\mathbb E}\left\{{\textbf s}{\textbf s}^{\dag}\right\}Φ=E{ss†}表示发射信号的协方差矩阵，Tr(Φ){\rm{Tr}}\left(\bm\Phi\right)Tr(Φ)表示传输功率。

图1：单用户MIMO传输系统框图

假设发送方与接收方都知道信道信息H{\textbf H}H，那么可以对协方差矩阵进行设计使得传输速率最大，即：P0:Φ⋆=arg⁡max⁡Φ⪰0log⁡det⁡(INr+1σ2HΦH†).{\mathcal P}_0:{\bm\Phi}^{\star}=\arg\max_{{\bm\Phi}\succeq{\textbf 0}}\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text r}}+\frac{1}{\sigma^2}{\textbf H}{\bm\Phi}{\textbf H}^{\dag}\right).P0:Φ⋆=argΦ⪰0maxlogdet(INr+σ21HΦH†).上述问题难以直接进行求解，对信道矩阵先进行奇异值分解，得到H=UrΛUt{\textbf H}={\textbf U}_{\text r}{\bm\Lambda}{\textbf U}_{\text t}H=UrΛUt，其中Λ∈CNr×Nt{\bm\Lambda}\in{\mathbb C}^{N_{\text r}\times N_{\text t}}Λ∈CNr×Nt是一个对角阵，Ur∈CNr×Nr{\textbf U}_{\text r}\in{\mathbb C}^{N_{\text r}\times N_{\text r}}Ur∈CNr×Nr与Ut∈CNt×Nt{\textbf U}_{\text t}\in{\mathbb C}^{N_{\text t}\times N_{\text t}}Ut∈CNt×Nt为酉矩阵。首先，利用奇异值分解以及Sylvester行列式等式 log⁡det⁡(I+AB)=log⁡det⁡(I+BA)\log\det\left({\textbf I}+{\textbf A}{\textbf B}\right)=\log\det\left({\textbf I}+{\textbf B}{\textbf A}\right)logdet(I+AB)=logdet(I+BA)，可以得到：
R=log⁡det⁡(INr+1σ2HΦH†)=log⁡det⁡(INt+1σ2H†HΦ)=log⁡det⁡(INt+1σ2Ut†Λ†ΛUtΦ)=log⁡det⁡(INt+1σ2Λ†ΛUtΦUt†).\begin{aligned} {\mathcal R}&=\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text r}}+\frac{1}{\sigma^2}{\textbf H}{\bm\Phi}{\textbf H}^{\dag}\right) =\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2}{\textbf H}^{\dag}{\textbf H}{\bm\Phi}\right)\\ &=\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2}{\textbf U}_{\text t}^{\dag}{\bm\Lambda}^{\dag}{\bm\Lambda}{\textbf U}_{\text t}{\bm\Phi}\right) =\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Lambda}^{\dag}{\bm\Lambda}{\textbf U}_{\text t}{\bm\Phi}{\textbf U}_{\text t}^{\dag} \right)\end{aligned}.R=logdet(INr+σ21HΦH†)=logdet(INt+σ21H†HΦ)=logdet(INt+σ21Ut†Λ†ΛUtΦ)=logdet(INt+σ21Λ†ΛUtΦUt†).基于上述关系，将之前定义的速率优化问题写为：P1:Φ⋆=arg⁡max⁡Φ⪰0log⁡det⁡(INt+1σ2Λ†ΛUtΦUt†).{\mathcal P}_1:{\bm\Phi}^{\star}=\arg\max_{{\bm\Phi}\succeq{\textbf 0}}\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Lambda}^{\dag}{\bm\Lambda}{\textbf U}_{\text t}{\bm\Phi}{\textbf U}_{\text t}^{\dag}\right).P1:Φ⋆=argΦ⪰0maxlogdet(INt+σ21Λ†ΛUtΦUt†).

作为协方差矩阵，Φ{\bm\Phi}Φ必定是个厄尔米特矩阵，满足 Φ=Φ†{\bm\Phi}={\bm\Phi}^{\dag}Φ=Φ†，对Φ{\bm\Phi}Φ进行特征值分解（此时也就是奇异值分解），为Φ=W†ΩW{\bm\Phi}={\textbf W}^{\dag}{\bm\Omega}{\textbf W}Φ=W†ΩW，因此Φ{\bm\Phi}Φ的优化可以等价为W{\textbf W}W与Ω{\bm\Omega}Ω的联合优化。注意W{\textbf W}W是个酉矩阵，Ω{\bm\Omega}Ω是个对角矩阵且满足Tr(Ω)=Tr(Φ){\rm{Tr}}\left(\bm\Omega\right)={\rm{Tr}}\left(\bm\Phi\right)Tr(Ω)=Tr(Φ)。可以看出，Φ{\bm\Phi}Φ就是功率分配矩阵，而W{\textbf W}W就是预编码矩阵。直观来看，最优的Φ{\bm\Phi}Φ应该满足某些结构上的特性，猜测最优的W{\textbf W}W满足W=Ut{\textbf W}={\textbf U}_{\text t}W=Ut。现在，抛开Φ{\bm\Phi}Φ的结构特性不管（也就是不再认为它是一个对角矩阵），以此为基础，将速率优化问题写为：P2:Δ⋆=arg⁡max⁡Δ⪰0log⁡det⁡(INt+1σ2Λ†ΛUtUt†ΔUtUt†)=arg⁡max⁡Δ⪰0log⁡det⁡(INt+1σ2Λ†ΛΔ)=arg⁡max⁡Δ⪰0log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΔΓ†),\begin{aligned} {\mathcal P}_2:{\bm\Delta}^{\star}&=\arg\max_{{\bm\Delta}\succeq{\textbf 0}}\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Lambda}^{\dag}{\bm\Lambda}{\textbf U}_{\text t}{\textbf U}_{\text t}^{\dag}{\bm\Delta}{\textbf U}_{\text t}{\textbf U}_{\text t}^{\dag}\right)\\ &=\arg\max_{{\bm\Delta}\succeq{\textbf 0}}\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Lambda}^{\dag}{\bm\Lambda}{\bm\Delta}\right)\\ &=\arg\max_{{\bm\Delta}\succeq{\textbf 0}}\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+ \frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Delta}{\bm\Gamma}^{\dag}\right) \end{aligned},P2:Δ⋆=argΔ⪰0maxlogdet(INt+σ21Λ†ΛUtUt†ΔUtUt†)=argΔ⪰0maxlogdet(INt+σ21Λ†ΛΔ)=argΔ⪰0maxlogdet(INt+σ21ΓΔΓ†),其中Γ∈CNt×Nt{\bm\Gamma}\in{\mathbb C}^{N_{\text t}\times N_{\text t}}Γ∈CNt×Nt为对角矩阵，满足Γ†Γ=Λ†Λ{\bm\Gamma}^{\dag}{\bm\Gamma}={\bm\Lambda}^{\dag}{\bm\Lambda}Γ†Γ=Λ†Λ。如果最优的W{\textbf W}W满足W⋆=Ut{\textbf W}^{\star}={\textbf U}_{\text t}W⋆=Ut，那么问题P2{\mathcal P}_2P2的最优解Δ⋆{\bm\Delta}^{\star}Δ⋆必定是个对角矩阵，且最优的Ω{\bm\Omega}Ω等于Δ⋆{\bm\Delta}^{\star}Δ⋆。如果W⋆≠Ut{\textbf W}^{\star}\neq{\textbf U}_{\text t}W⋆=Ut，那么最优解Δ⋆{\bm\Delta}^{\star}Δ⋆必定满足Δ⋆=UtAUt†{\bm\Delta}^{\star}={\textbf U}_{\text t}{\textbf A}{\textbf U}_{\text t}^{\dag}Δ⋆=UtAUt†，其中A⪰0{\textbf A}\succeq{\textbf 0}A⪰0是一个半正定矩阵。通过分析，可以得到下述定理：
定理1：问题P2{\mathcal P}_2P2的最优解Δ⋆{\bm\Delta}^{\star}Δ⋆是个对角矩阵。[2]
证明：定义对角矩阵Πl∈CNt×Nt{\bm\Pi}_l\in{\mathbb C}^{N_{\text t}\times N_{\text t}}Πl∈CNt×Nt，其中， Πl{\bm\Pi}_lΠl的第(l,l)(l,l)(l,l)个元素为-1，其余的对角元素为1。注意到，矩阵ΠlΔΠl†{\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag}ΠlΔΠl†与矩阵Δ{\bm\Delta}Δ的第lll行与第lll列的非对角元素互为相反数，其余的元素相同（注意这两个矩阵的第(l,l)(l,l)(l,l)个元素是相同的）。根据这一特点，可以得到Tr(ΠlΔΠl†)=Tr(Π){\rm{Tr}}\left({\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag}\right)={\rm{Tr}}\left(\bm\Pi\right)Tr(ΠlΔΠl†)=Tr(Π)。进一步，可以得到下述表达式：log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΠlΔΠl†Γ†)=log⁡det⁡(INt+1σ2(ΓΠl)Δ(ΓΠl)†)=log⁡det⁡(INt+1σ2(ΓΠl)†(ΓΠl)Δ).\begin{aligned} \log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag}{\bm\Gamma}^{\dag}\right)&= \log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} \left({\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l\right){\bm\Delta}\left({\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l\right)^{\dag}\right)\\ &=\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} \left({\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l\right)^{\dag} \left({\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l\right) {\bm\Delta} \right) \end{aligned}.logdet(INt+σ21ΓΠlΔΠl†Γ†)=logdet(INt+σ21(ΓΠl)Δ(ΓΠl)†)=logdet(INt+σ21(ΓΠl)†(ΓΠl)Δ).由于矩阵Πl{\bm\Pi}_lΠl与Γ\bm\GammaΓ都是对角矩阵，利用矩阵Πl{\bm\Pi}_lΠl结构的特点，可以得到(ΓΠl)†(ΓΠl)=Γ†Γ.\left({\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l\right)^{\dag} \left({\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l\right)={\bm\Gamma}^{\dag}{\bm\Gamma}.(ΓΠl)†(ΓΠl)=Γ†Γ.综上所述，log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΠlΔΠl†Γ†)=log⁡det⁡(INt+1σ2Γ†ΓΔ)=log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΔΓ†).\begin{aligned} \log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag}{\bm\Gamma}^{\dag}\right)&= \log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}^{\dag}{\bm\Gamma}{\bm\Delta}\right)\\ &=\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Delta}{\bm\Gamma}^{\dag} \right)\end{aligned}.logdet(INt+σ21ΓΠlΔΠl†Γ†)=logdet(INt+σ21Γ†ΓΔ)=logdet(INt+σ21ΓΔΓ†).此外，注意到矩阵12(ΠlΔΠl†+Δ)\frac{1}{2}\left( {\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag} +{\bm\Delta}\right)21(ΠlΔΠl†+Δ)除了第lll行与第lll列的非对角元素为0，其余的元素与矩阵Δ{\bm\Delta}Δ的对应位置的元素相同。此外，对矩阵Δ{\bm\Delta}Δ做奇异值分解，为Δ=GKG†{\bm\Delta}={\textbf G}{\textbf K}{\textbf G}^{\dag}Δ=GKG†，注意到(ΠlG)(ΠlG)†=ΠlGG†Πl†=INt\left({\bm\Pi}_l{\textbf G}\right)\left({\bm\Pi}_l{\textbf G}\right)^{\dag} ={\bm\Pi}_l{\textbf G}{\textbf G}^{\dag}{\bm\Pi}_l^{\dag}={\textbf I}_{N_{\text t}}(ΠlG)(ΠlG)†=ΠlGG†Πl†=INt，即ΠlG{\bm\Pi}_l{\textbf G}ΠlG是个酉矩阵。因此，ΠlΔΠl†⪰0{\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag} \succeq{\textbf 0}ΠlΔΠl†⪰0。由于log⁡det⁡(INt+ΓXΓ†)\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+{\bm\Gamma}{\textbf X}{\bm\Gamma}^{\dag}\right)logdet(INt+ΓXΓ†)是关于X⪰0{\textbf X}\succeq{\textbf 0}X⪰0的凹函数，利用琴生不等式，可以得到log⁡det⁡(INt+1σ2Γ(12(ΠlΔΠl†+Δ))Γ†)≥log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΔΓ†)+log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΠlΔΠl†Γ†)2.\begin{aligned} &\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2}{\bm\Gamma} \left(\frac{1}{2}\left( {\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag} +{\bm\Delta}\right)\right) {\bm\Gamma}^{\dag}\right)\\ &\geq \frac{\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Delta}{\bm\Gamma}^{\dag} \right)+\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag}{\bm\Gamma}^{\dag} \right)}{2} \end{aligned}.logdet(INt+σ21Γ(21(ΠlΔΠl†+Δ))Γ†)≥2logdet(INt+σ21ΓΔΓ†)+logdet(INt+σ21ΓΠlΔΠl†Γ†).利用前面的结论log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΠlΔΠl†Γ†)=log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΔΓ†)\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag}{\bm\Gamma}^{\dag}\right)= \log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Delta}{\bm\Gamma}^{\dag} \right)logdet(INt+σ21ΓΠlΔΠl†Γ†)=logdet(INt+σ21ΓΔΓ†)可以得到：log⁡det⁡(INt+1σ2Γ(12(ΠlΔΠl†+Δ))Γ†)⁣≥⁣log⁡det⁡(INt+1σ2ΓΠlΔΠl†Γ†).\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2}{\bm\Gamma} \left(\frac{1}{2}\left( {\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag} +{\bm\Delta}\right)\right) {\bm\Gamma}^{\dag}\right) \!\geq\! \log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Gamma}{\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag}{\bm\Gamma}^{\dag} \right).logdet(INt+σ21Γ(21(ΠlΔΠl†+Δ))Γ†)≥logdet(INt+σ21ΓΠlΔΠl†Γ†).上述公式说明，将矩阵Δ{\bm\Delta}Δ中第lll行与第lll列的非对角元素置为0得到矩阵12(ΠlΔΠl†+Δ)\frac{1}{2}\left( {\bm\Pi}_l{\bm\Delta}{\bm\Pi}_l^{\dag} +{\bm\Delta}\right)21(ΠlΔΠl†+Δ)，可以使得传输速率增加。重复上述过程NtN_{\text t}Nt次，矩阵Δ\bm\DeltaΔ只剩下对角线的元素（其余元素都是0），这个过程会使得传输速率不断增长。由此，我们可以得到结论，问题P2{\mathcal P}_2P2的最优解Δ⋆{\bm\Delta}^{\star}Δ⋆是个对角矩阵。换言之，如果Δ⋆{\bm\Delta}^{\star}Δ⋆不是一个对角阵，可以通过将它的非对角元素置0以进一步提高系统传输速率。由此证明了定理1。
在证明定理1的过程中，用到了结论“log⁡det⁡(INt+ΓXΓ†)\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+{\bm\Gamma}{\textbf X}{\bm\Gamma}^{\dag}\right)logdet(INt+ΓXΓ†)是关于X⪰0{\textbf X}\succeq{\textbf 0}X⪰0的凹函数”，以下对这一结论进行证明。
引理1：假设K⪰0{\textbf K}\succeq{\textbf 0}K⪰0，则函数f(X)=log⁡det⁡(I+KX)f\left(\textbf X\right) =\log\det\left({\textbf I}+{\textbf K}{\textbf X}\right)f(X)=logdet(I+KX)是关于X⪰0{\textbf X}\succeq{\textbf 0}X⪰0的凹函数。
证明：上述引理的证明需要用到结论“log⁡det⁡(Z)\log\det\left(\textbf Z\right)logdet(Z)是关于Z≻0{\textbf Z}\succ{\textbf 0}Z≻0的凹函数”[3],[4]。定义λ∈[0,1]\lambda\in\left[0,1\right]λ∈[0,1]、X1⪰0{\textbf X}_1\succeq{\textbf 0}X1⪰0、X2⪰0{\textbf X}_2\succeq{\textbf 0}X2⪰0，可以得到f(X1)=log⁡det⁡(I+KX1)f\left({\textbf X}_1\right) =\log\det \left({\textbf I}+{\textbf K}{\textbf X}_1\right)f(X1)=logdet(I+KX1)与f(X2)=log⁡det⁡(I+KX2)f\left({\textbf X}_2\right) =\log\det\left({\textbf I}+{\textbf K}{\textbf X}_2\right)f(X2)=logdet(I+KX2)。此外，λX1+(1−λ)X2⪰0\lambda{\textbf X}_1+\left(1-\lambda\right){\textbf X}_2\succeq{\textbf 0}λX1+(1−λ)X2⪰0，因此f(λX1+(1−λ)X2)=log⁡det⁡(I+K(λX1+(1−λ)X2))=log⁡det⁡(I+K12(λX1+(1−λ)X2)K12)=log⁡det⁡((λ+1−λ)I+K12(λX1+(1−λ)X2)K12)=log⁡det⁡(λ(I+K12X1K12)+(1−λ)(I+K12X2K12)).\begin{aligned} &f\left(\lambda{\textbf X}_1+\left(1-\lambda\right){\textbf X}_2\right)\\ &= \log\det\left({\textbf I}+{\textbf K}\left(\lambda{\textbf X}_1+\left(1-\lambda\right){\textbf X}_2\right)\right)\\ &=\log\det\left({\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}}\left(\lambda{\textbf X}_1+\left(1-\lambda\right){\textbf X}_2\right){\textbf K}^{\frac{1}{2}}\right) \\ &=\log\det\left(\left(\lambda+1-\lambda\right){\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}}\left(\lambda{\textbf X}_1+\left(1-\lambda\right){\textbf X}_2\right) {\textbf K}^{\frac{1}{2}} \right) \\ &=\log\det\left( \lambda\left( {\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}} {\textbf X}_1{\textbf K}^{\frac{1}{2}} \right)+ \left(1-\lambda\right)\left({\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}}{\textbf X}_2{\textbf K}^{\frac{1}{2}}\right) \right) \end{aligned}.f(λX1+(1−λ)X2)=logdet(I+K(λX1+(1−λ)X2))=logdet(I+K21(λX1+(1−λ)X2)K21)=logdet((λ+1−λ)I+K21(λX1+(1−λ)X2)K21)=logdet(λ(I+K21X1K21)+(1−λ)(I+K21X2K21)).由于I+K12X1K12≻0{\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}} {\textbf X}_1{\textbf K}^{\frac{1}{2}}\succ{\textbf 0}I+K21X1K21≻0、I+K12X2K12≻0{\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}} {\textbf X}_2{\textbf K}^{\frac{1}{2}}\succ{\textbf 0}I+K21X2K21≻0，利用函数log⁡det⁡(Z)\log\det\left(\textbf Z\right)logdet(Z)的凹性，可以得到，如果Z1≻0{\textbf Z}_1\succ{\textbf 0}Z1≻0、Z2≻0{\textbf Z}_2\succ{\textbf 0}Z2≻0，则log⁡det⁡(λZ1+(1−λ)Z2)≥λlog⁡det⁡(Z1)+(1−λ)log⁡det⁡(Z2).\log\det\left(\lambda{\textbf Z}_1+\left(1-\lambda\right){\textbf Z}_2\right) \geq \lambda\log\det\left({\textbf Z}_1\right) +\left(1-\lambda\right) \log\det\left({\textbf Z}_2\right).logdet(λZ1+(1−λ)Z2)≥λlogdet(Z1)+(1−λ)logdet(Z2).基于上述表达式，可以得到：log⁡det⁡(λ(I+K12X1K12)+(1−λ)(I+K12X2K12))=λlog⁡det⁡(I+K12X1K12)+(1−λ)log⁡det⁡(I+K12X2K12)=λlog⁡det⁡(I+KX1)+(1−λ)log⁡det⁡(I+KX2).\begin{aligned} &\log\det\left( \lambda\left( {\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}} {\textbf X}_1{\textbf K}^{\frac{1}{2}} \right)+ \left(1-\lambda\right)\left({\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}}{\textbf X}_2{\textbf K}^{\frac{1}{2}}\right) \right) \\ &= \lambda \log\det\left({\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}} {\textbf X}_1{\textbf K}^{\frac{1}{2}} \right) + \left(1-\lambda\right) \log\det\left({\textbf I}+{\textbf K}^{\frac{1}{2}} {\textbf X}_2{\textbf K}^{\frac{1}{2}} \right)\\ &= \lambda \log\det\left({\textbf I}+{\textbf K} {\textbf X}_1 \right) + \left(1-\lambda\right) \log\det\left({\textbf I}+{\textbf K} {\textbf X}_2 \right) \end{aligned}.logdet(λ(I+K21X1K21)+(1−λ)(I+K21X2K21))=λlogdet(I+K21X1K21)+(1−λ)logdet(I+K21X2K21)=λlogdet(I+KX1)+(1−λ)logdet(I+KX2).综上所述，可以得到f(λX1+(1−λ)X2)≥λf(X1)+(1−λ)f(X2)f\left(\lambda{\textbf X}_1+\left(1-\lambda\right){\textbf X}_2\right)\geq \lambda f\left({\textbf X}_1\right) +\left(1-\lambda\right)f\left({\textbf X}_2\right)f(λX1+(1−λ)X2)≥λf(X1)+(1−λ)f(X2)，这说明函数f(X)=log⁡det⁡(I+KX)f\left(\textbf X\right) =\log\det\left({\textbf I}+{\textbf K}{\textbf X}\right)f(X)=logdet(I+KX)是关于X⪰0{\textbf X}\succeq{\textbf 0}X⪰0的凹函数。由此，引理得到了证明。
函数log⁡det⁡(INt+ΓXΓ†)\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+{\bm\Gamma}{\textbf X}{\bm\Gamma}^{\dag}\right)logdet(INt+ΓXΓ†)满足log⁡det⁡(INt+ΓXΓ†)=log⁡det⁡(INt+Γ†ΓX)\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+{\bm\Gamma}{\textbf X}{\bm\Gamma}^{\dag}\right) =\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+{\bm\Gamma}^{\dag}{\bm\Gamma}{\textbf X}\right)logdet(INt+ΓXΓ†)=logdet(INt+Γ†ΓX)，所以log⁡det⁡(INt+ΓXΓ†)\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+{\bm\Gamma}{\textbf X}{\bm\Gamma}^{\dag}\right)logdet(INt+ΓXΓ†)是个关于X⪰0{\textbf X}\succeq{\textbf 0}X⪰0的凹函数。

至此，已经证明了最优的协方差矩阵Φ⋆{\bm\Phi}^{\star}Φ⋆满足Φ=Ut†ΩUt{\bm\Phi}={\textbf U}_{\text t}^{\dag}{\bm\Omega}{\textbf U}_{\text t}Φ=Ut†ΩUt，其中Ω\bm\OmegaΩ是个对角矩阵，此时系统速率优化问题可以简化为：P3:Ω⋆=arg⁡max⁡Tr(Ω)≤Plog⁡det⁡(INt+1σ2Λ†ΛΩ),{\mathcal P}_3:{\bm\Omega}^{\star}=\arg\max_{{\rm{Tr}}\left({\bm\Omega}\right)\leq P}\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Lambda}^{\dag}{\bm\Lambda}{\bm\Omega}\right),P3:Ω⋆=argTr(Ω)≤Pmaxlogdet(INt+σ21Λ†ΛΩ),其中P>0P>0P>0是最大传输功率，显然，上述问题的最优解应该在Tr(Ω)≤P{\rm{Tr}}\left({\bm\Omega}\right)\leq PTr(Ω)≤P取等号时达到，即Tr(Ω⋆)=P{\rm{Tr}}\left({\bm\Omega}^{\star}\right)= PTr(Ω⋆)=P，因此上述问题可进一步简化为P4:Ω⋆=arg⁡max⁡Tr(Ω)=Plog⁡det⁡(INt+1σ2ΥΩ),{\mathcal P}_4:{\bm\Omega}^{\star}=\arg\max_{{\rm{Tr}}\left({\bm\Omega}\right)= P}\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text t}}+\frac{1}{\sigma^2} {\bm\Upsilon}{\bm\Omega}\right),P4:Ω⋆=argTr(Ω)=Pmaxlogdet(INt+σ21ΥΩ),其中Υ=Γ†Γ{\bm\Upsilon}={\bm\Gamma}^{\dag}{\bm\Gamma}Υ=Γ†Γ是对角矩阵。记Υ=diag{γ1,⋯,γNt}{\bm\Upsilon}={\rm{diag}}\left\{\gamma_1,\cdots,\gamma_{N_{\text t}}\right\}Υ=diag{γ1,⋯,γNt}、Ω=diag{ω1,⋯,ωNt}{\bm\Omega}={\rm{diag}}\left\{\omega_1,\cdots,\omega_{N_{\text t}}\right\}Ω=diag{ω1,⋯,ωNt}，其中γi≥0\gamma_{i}\geq0γi≥0，则问题P4{\mathcal P}_4P4可以进一步化简为P4:max⁡ωi∑i=1Ntlog⁡(1+γiσ2ωi)s.t. ωi≥0∑i=1Ntωi=P.\begin{aligned} {\mathcal P}_4:\max_{{\omega_i}}~&\sum\nolimits_{i=1}^{N_{\text t}}\log\left(1+\frac{\gamma_i}{\sigma^2}\omega_i\right) \\ {\text{s.t.}}~&\omega_i\geq0\\ ~&\sum\nolimits_{i=1}^{N_{\text t}}\omega_i=P \end{aligned}.P4:ωimax s.t. ∑i=1Ntlog(1+σ2γiωi)ωi≥0∑i=1Ntωi=P.上述问题实际上就是一个并行信道的功率分配问题。具体来讲，由于γi≥0\gamma_{i}\geq0γi≥0，问题P4{\mathcal P}_4P4的目标函数是个关于ωi\omega_iωi的凹函数；此外，两个约束条件都是关于ωi\omega_iωi的线性函数，是凸的。因此，这个最大化传输速率问题是个凸优化问题，可以直接使用CVX工具包进行求解。不过，也可以从KKT条件出发，寻求原问题的闭合解，对应的算法也就是经典的注水算法[4],[5]。具体来讲，由于P4{\mathcal P}_4P4是个凸问题，写出相应的拉格朗日函数，为L(ω)=−∑i=1Ntlog⁡(1+γiσ2ωi)−λ⊺ω+μ(1⊺ω−P){\mathcal L}\left({\bm\omega}\right)=-\sum_{i=1}^{N_{\text t}}\log\left(1+\frac{\gamma_i}{\sigma^2}\omega_i\right)-{\bm\lambda}^{\intercal}{\bm\omega}+\mu\left({\textbf 1}^{\intercal}{\bm\omega}-P\right)L(ω)=−∑i=1Ntlog(1+σ2γiωi)−λ⊺ω+μ(1⊺ω−P)，其中ω=[ω1,⋯,ωNt]⊺{\bm\omega}=\left[\omega_1,\cdots,\omega_{N_{\text t}}\right]^{\intercal}ω=[ω1,⋯,ωNt]⊺、λ=[λ1,⋯,λNt]⊺{\bm\lambda}=\left[\lambda_1,\cdots,\lambda_{N_{\text t}}\right]^{\intercal}λ=[λ1,⋯,λNt]⊺，相应的KKT条件为λiωi=0\lambda_i\omega_i=0λiωi=0，ωi≥0\omega_i\geq0ωi≥0，λi≥0\lambda_i\geq0λi≥0，∂∂ωiL(ω)=−11+γiσ2ωiγiσ2−λi+μ=0\frac{\partial}{\partial {\bm\omega}_i}{\mathcal L}\left(\omega\right)=-\frac{1}{1+\frac{\gamma_i}{\sigma^2}\omega_i}\frac{\gamma_i}{\sigma^2}-\lambda_i+\mu=0∂ωi∂L(ω)=−1+σ2γiωi1σ2γi−λi+μ=0。可以得到λi=μ−1σ2γi+ωi\lambda_i=\mu-\frac{1}{\frac{\sigma^2}{\gamma_i}+\omega_i}λi=μ−γiσ2+ωi1。以下考虑两种情况：

λi>0\lambda_i>0λi>0，此时ωi=0\omega_i=0ωi=0，此外μ−1σ2γi>0\mu-\frac{1}{\frac{\sigma^2}{\gamma_i}}>0μ−γiσ21>0，即0<1μ<σ2γi0<\frac{1}{\mu}<\frac{\sigma^2}{\gamma_i}0<μ1<γiσ2；
λi=0\lambda_i=0λi=0，此时ωi≥0\omega_i\geq0ωi≥0，此外ωi=1μ−σ2γi\omega_i=\frac{1}{\mu}-\frac{\sigma^2}{\gamma_i}ωi=μ1−γiσ2。
综上所述，最优的功率分配准则可以表示为ωi⋆=max⁡{1μ−σ2γi,0},\omega_i^{\star}= \max\left\{\frac{1}{\mu}-\frac{\sigma^2}{\gamma_i} ,0\right\},ωi⋆=max{μ1−γiσ2,0},其中参数的计算可通过下述方程确定：∑i=1Ntωi⋆=∑i=1Ntmax⁡{1μ−σ2γi,0}=P,\sum_{i=1}^{N_{\text t}}\omega_i^{\star}=\sum_{i=1}^{N_{\text t}}\max\left\{\frac{1}{\mu}-\frac{\sigma^2}{\gamma_i} ,0\right\}=P,i=1∑Ntωi⋆=i=1∑Ntmax{μ1−γiσ2,0}=P,上述方程可以利用二分法来求解。可以用下图来对上述算法进行详细的说明。
图2：注水算法图示

如图所示，6个并行子信道可以理解为6个容器，参数1μ\frac{1}{\mu}μ1可以理解为水平面，σ2γi\frac{\sigma^2}{\gamma_i}γiσ2代表每个子信道（容器）的底座，向每个容器中倒水，使得全部容器里的水的深度之和恰好为P{P}P。可以看出，σ2γi\frac{\sigma^2}{\gamma_i}γiσ2越大（即底座越高），相应分配的功率比较少（容器的水的深度越小）。从信道来看，σ2γi\frac{\sigma^2}{\gamma_i}γiσ2越大意味着信道的质量越差，综上所述，应该为质量越差的子信道分配给更少的功率。

对以上内容做个总结。在发射机知道信道信息的时候，可以采用信道矩阵的右奇异矩阵作为预编码矩阵，采用注水算法设计数据流的功率分配方案。在这样的预编码矩阵以及功率分配方案下，传输速率可达到最大，即信道容量。在上述推导中，使用了奇异值分解将MIMO信道划分为几个并行的子信道，信道的增益γi≥0\sqrt{\gamma_i}\geq0γi≥0恰好是信道H{\textbf H}H的奇异值，信道增益的平方γi\gamma_iγi恰好是信道H†H{\textbf H}^{\dag}{\textbf H}H†H的特征值。在进行功率分配时，只会考虑信道增益不为0的子信道。因此，子信道数量等于信道矩阵H{\textbf H}H的非零奇异值的数量，即信道矩阵H{\textbf H}H的秩rank(H){\rm{rank}}\left(\textbf H\right)rank(H)。根据矩阵的性质，rank(H)≤min⁡{Nr,Nt}{\rm{rank}}\left(\textbf H\right)\leq\min\left\{N_{\text r},N_{\text t}\right\}rank(H)≤min{Nr,Nt}。由此可知，信道矩阵H{\textbf H}H所能支持的最大的数据流数等于信道矩阵的秩。接下来，考虑一个更具有一般性的MIMO系统。记发射机的预编码矩阵为B∈CNt×L{\textbf B}\in{\mathbb C}^{N_{\text t}\times L}B∈CNt×L，发送的符号向量为x∈CL×1{\textbf x}\in{\mathbb C}^{L\times 1}x∈CL×1，满足E{xx†}=INt{\mathbb E}\left\{{\textbf x}{\textbf x}^{\dag}\right\}={\textbf I}_{N_{\text t}}E{xx†}=INt，其中LLL为数据流数。系统模型可以表示为y=HBx+n,{\textbf y}={\textbf H}{\textbf B}{\textbf x}+{\textbf n},y=HBx+n,发送信号s=Bx{\textbf s}={\textbf B}{\textbf x}s=Bx的协方差为E{ss†}=BB†≜Φ{\mathbb E}\left\{{\textbf s}{\textbf s}^{\dag}\right\}={\textbf B}{\textbf B}^{\dag}\triangleq{\bm\Phi}E{ss†}=BB†≜Φ。假设发端知道信道信息，系统传输速率可以表示为R=log⁡det⁡(INr+1σ2HΦH†).{\mathcal R}=\log\det\left({\textbf I}_{N_{\text r}}+\frac{1}{\sigma^2}{\textbf H}{\bm\Phi}{\textbf H}^{\dag}\right).R=logdet(INr+σ21HΦH†).使得传输速率最大（即达到信道容量）的最优协方差矩阵其实就是问题P0{\mathcal P}_0P0的最优解，结合奇异值分解以及注水算法可以求得。此外，前文已经提及，系统所能传输的数据流数与信道矩阵的秩是相同的。以下，针对广义传输模型y=HBx+n{\textbf y}={\textbf H}{\textbf B}{\textbf x}+{\textbf n}y=HBx+n 讨论数据流数变化的时候，最优的传输策略。

当数据流数与信道矩阵的秩相同，即L=rank(H)L={\rm{rank}}\left(\textbf H\right)L=rank(H)，此时全部的数据流都可以传输，最优的预编码矩阵满足B⋆=Ut†diag{ω1⋆,⋯,ωL⋆,0,⋯,0,},{\textbf B}^{\star}={\textbf U}_{\text t}^{\dag}{\rm{diag}}\left\{ \sqrt{\omega_1^{\star}},\cdots,\sqrt{\omega_L^{\star}},0,\cdots,0,\right\},B⋆=Ut†diag{ω1⋆,⋯,ωL⋆,0,⋯,0,},其中Ut{\textbf U}_{\text t}Ut是信道矩阵的右奇异矩阵，ωi⋆{\omega}_i^{\star}ωi⋆表示由注水定理确定的最优功率；
当数据流数小于信道矩阵的秩，即L<rank(H)L<{\rm{rank}}\left(\textbf H\right)L<rank(H)，此时全部的数据流也可以传输，此时最优的传输方案是选择全部rank(H){\rm{rank}}\left(\textbf H\right)rank(H)个并行子信道中信道质量最好的LLL个进行传输；
当数据流数大于信道矩阵的秩，即L>rank(H)L>{\rm{rank}}\left(\textbf H\right)L>rank(H)，此时全部的数据流无法同时传输，此时最优的传输方案是先在全部的并行子信道中传输rank(H){\rm{rank}}\left(\textbf H\right)rank(H)个数据流，之后再挑选信道质量最好的L−rank(H)L-{\rm{rank}}\left(\textbf H\right)L−rank(H)个子信道进行传输。

接下来，给出具体的Matlab代码来解决问题P0{\mathcal P}_0P0。

Power = [-10:5:30]; % 发送功率 (dB)
noise = 1; % 噪声功率 (0dB)
Nt = 6; % 发端天线数
Nr = 8; % 收段天线数
Monte_Carlo = 1e2; % 蒙特卡洛仿真次数
Capacity = ones(1,length(Power)); % 存储信道容量
Tmp = ones(Monte_Carlo,length(Power));
Tmp1 = ones(Monte_Carlo,length(Power));
for Monte = [1:1:Monte_Carlo]for power_index = [1:1:length(Power)][Monte,power_index]P = 10^(Power(power_index)/10);H = 1/sqrt(2)*randn(Nr,Nt) + 1j*1/sqrt(2)*randn(Nr,Nt); % MIMO信道(考虑瑞利衰落模型)channel_gain = abs((svd(H'*H))'); % 利用奇异值分解（svd）构造并行子信道channel_gain = channel_gain(find(channel_gain>0)); % 只考虑增益为正的子信道%% 使用二分法搜索注水算法的水平面upper_bound = max(noise./channel_gain) + P; % 搜索范围的上界，设置为功率与最小的信道增益的倒数之和lower_bound = 0; % 搜索范围的下界，设置为0precision = 1e-6; % 搜索精度while (abs(sum(max([(upper_bound - noise./channel_gain);zeros(1,length(channel_gain))]))-P)>precision)mid = (upper_bound+lower_bound)/2;Result = sum(max([(mid - noise./channel_gain);zeros(1,length(channel_gain))]))-P;if Result>=0upper_bound = mid;elselower_bound = mid;endend %% 得到每个子信道分配到的功率subchannel_power = max([(upper_bound - noise./channel_gain);zeros(1,length(channel_gain))]);%% 计算各个子信道的容量之和（MIMO信道的容量）Sum_Capacity = sum(log(1+subchannel_power.*channel_gain/noise));%% 存储结果Tmp(Monte,power_index) = Sum_Capacity;N = length(channel_gain);%% 使用CVX工具包计算最优功率分配方案cvx_clearcvx_begin quietvariable x(N,1);minimize(-1*sum(log(1+transpose(x).*channel_gain/noise)));subject to-1*x <= 0;sum(x) == P;cvx_end%% 得到每个子信道分配到的功率subchannel_power = transpose(x);%% 计算各个子信道的容量之和（MIMO信道的容量）Sum_Capacity = sum(log(1+subchannel_power.*channel_gain/noise));%% 存储结果Tmp1(Monte,power_index) = Sum_Capacity;end
end
plot(Power,mean(Tmp),'-o');
hold on;
plot(Power,mean(Tmp1),'-x');
xlabel('发送功率 [dB]');
ylabel('容量 [bps/Hz]');
grid on;

前文提到，功率分配问题的求解可以使用二分法或者CVX工具包。使用CVX求解凸问题，时间复杂度较高，因为CVX采用的数值求解方法（即内点法），复杂度较高，约为O(N3){\mathcal O}\left(N^3\right)O(N3)，其中NNN为优化变量的总数。但是二分法搜索复杂度很低，而且每一步都有闭合表达式，复杂度很低，约为O(Nlog⁡1ϵ){\mathcal O}\left(N\log{\frac{1}{\epsilon }}\right)O(Nlogϵ1)，其中ϵ\epsilonϵ为精度。图3绘制了信道容量随传输功率变化的曲线，从图中可以看出，注水算法与CVX可以实现相同的传输速率（容量）。注意，使用CVX需要先安装相应的Matlab工具包[6]。

图3：MIMO信道容量与发送功率的关系，信道采用瑞利衰落模型，蒙特卡洛仿真次数设置为50，Nt=6N_{\text t}=6Nt=6 ，Nr=8N_{\text r}=8Nr=8 ，σ2=1\sigma^2=1σ2=1 。

前文重点关注的是发射机，即预编码以及功率分配策略的设计。现在，考虑接收机的结构，为了达到信道容量，除了预编码外，发端还需采用信道编码，接收端需要进行相应的信道译码（decoding）。对于多天线系统而言，接收机收到的是一个信号向量，进行信道译码时需要对发送的数据流进行联合译码（joint decoding）,复杂度随着数据流数呈指数增长，复杂度较高。但是，对于单用户MIMO系统而言，由于其结构的特殊性，可以有更加简单的接收机结构。具体来讲，从之前的推导可以看出，信道容量与信道矩阵H{\textbf H}H的左奇异矩阵Ur{\textbf U}_{\text r}Ur无关。因此，可以先对接收到的信号y=Hs+n{\textbf y}={\textbf H}{\textbf s}+{\textbf n}y=Hs+n用矩阵Ur†{\textbf U}_{\text r}^{\dag}Ur†进行滤波，得到：z=Ur†HBx+Ur†n=Ur†UrΛUtUt†x+n~=Λx+n~.{\textbf z}={\textbf U}_{\text r}^{\dag}{\textbf H}{\textbf B}{\textbf x}+{\textbf U}_{\text r}^{\dag}{\textbf n} = {\textbf U}_{\text r}^{\dag}{\textbf U}_{\text r}{\bm\Lambda}{\textbf U}_{\text t}{\textbf U}_{\text t}^{\dag}{\textbf x}+\tilde{\textbf n} ={\bm\Lambda}{\textbf x}+\tilde{\textbf n}.z=Ur†HBx+Ur†n=Ur†UrΛUtUt†x+n~=Λx+n~.其中n~=Ur†n\tilde{\textbf n}={\textbf U}_{\text r}^{\dag}{\textbf n}n~=Ur†n。由于矩阵Ur†{\textbf U}_{\text r}^{\dag}Ur†是个酉矩阵，因此n~∼CN(0,σ2Ur†Ur)\tilde{ \textbf n}\sim{\mathcal{CN}}\left({\textbf 0},\sigma^2{\textbf U}_{\text r}^{\dag}{\textbf U}_{\text r}\right)n~∼CN(0,σ2Ur†Ur)，即n~∼CN(0,σ2INr)\tilde{ \textbf n}\sim{\mathcal{CN}}\left({\textbf 0},\sigma^2{\textbf I}_{N_{\text r}}\right)n~∼CN(0,σ2INr) 。系统模型z=Λx+n~{\textbf z}={\bm\Lambda}{\textbf x}+\tilde{\textbf n}z=Λx+n~可以视作输入为x{\textbf x}x、信道为Λ{\bm\Lambda}Λ、噪声为n~∼CN(0,σ2INr)\tilde{ \textbf n}\sim{\mathcal{CN}}\left({\textbf 0},\sigma^2{\textbf I}_{N_{\text r}}\right)n~∼CN(0,σ2INr)的MIMO信道。由于Λ{\bm\Lambda}Λ是个对角矩阵，对应的传输速率为：R~=∑i=1rank(H)log⁡(1+γiσ2ωi⋆).\tilde{\mathcal R}=\sum_{i=1}^{{\rm{rank}}\left(\textbf H\right)}\log\left(1+\frac{\gamma_i}{\sigma^2}\omega_i^{\star}\right).R~=i=1∑rank(H)log(1+σ2γiωi⋆).上式与系统模型y=Hs+n{\textbf y}={\textbf H}{\textbf s}+{\textbf n}y=Hs+n对应的MIMO信道容量相同。因此，使用矩阵Ur†{\textbf U}_{\text r}^{\dag}Ur†进行滤波不会减少系统的传输速率。在滤波之后，系统可以视为rank(H){\rm{rank}}\left(\textbf H\right)rank(H)个并行子信道，只需要对每个子信道的数据流进行译码即可，而且各个子信道的译码可以并行进行，复杂度随着数据流数呈线性增长，复杂度相比联合译码而言要低很多。

最后，对上述内容进行总结。对于MIMO信道而言，当发射机已知信道信息时，发射机与接收机使用如下的结构可以达到最大传输速率（信道容量）：
1. 发射机利用注水算法进行数据流的功率分配，再采用信道矩阵的右奇异矩阵的转置作为预编码矩阵；
2. 接收机采用信道矩阵的左奇异矩阵的转置作为滤波矩阵，再对各个子信道的数据流进行并行译码。

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多用户MIMO系统预编码：广义矩阵求逆法
前言行将毕业了,最近不太看那些智能反射面.通感一体化之类的热点了.有限的时间里,准备多读一些过去的经典沉淀一下. 疫情汹涌,祝大家一切都好.接下来在家的日子里,希望要求自己每天写一篇经典论文的摘记博 ...
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多用户MIMO系统中各种波束成型预编码性能比较(ZF,BD,MMSE,SLNR,MF,SVD) 关注次数: 905 下载次数: 155 文件大小: 207K 下载需要积分: 1 代码分类: 开发平台: ...
linux单用户模式和多用户模式的区别,什么是Linux单用户模式？
一.Linux用户模式 0:关机 1:单用户模式 2:无网络支持的多用户模式 3:有网络支持的多用户模式 4:保留,未使用 5:有网络支持有X-Window支持的多用户模式 6:重新引导系统,即重启 ...

单用户MIMO系统（一）：信道信息在发端已知

关键词

基本介绍

参考文献

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