正负数在计算机中的表示（原码反码补码）及位运算

负数在现代计算机里一般用补码表示（正数也是）

正数补码就是它的原码

负数补码：

最高位是符号位，其余位为对应整数的原码取反再＋1

如：1000 0000还原为原码：最高位是1，表示负数，剩余的各位取反 111 1111 再+1 得到 1000 0000, +128的原码，整个数为-128 (-0,但0的正负无意义，所以这里规定-0为-128)

求负整数的补码，将其对应正数二进制表示所有位取反（包括符号位，0变1，1变0）后加1 。
同一个数字在不同的补码表示形式中是不同的。比如-15的补码，在8位二进制中是11110001，然而在16位二进制补码表示中，就是1111111111110001。以下都使用8位2进制来表示。
【例2】求-5的补码。
-5对应正数5（00000101）→所有位取反（11111010）→加1(11111011)
所以-5的补码是11111011。
【例3】数0的补码表示是唯一的。
[+0]补=[+0]反=[+0]原=00000000
[ -0]补=11111111+1=00000000

转化为原码
已知一个数的补码，求原码的操作其实就是对该补码再求补码：
⑴如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。
⑵如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。
【例4】已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）。
因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。
其余七位1111001取反后为0000110；
再加1，所以是10000111。

补码的绝对值
【例5】-65的补码是10111111
若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。
事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。
若要得到一个负二进制补码的数值，只要对补码全部取反并加1，就可得到其数值。
如：二进制值：10111111（-65的补码）
各位取反：01000000
加1：01000001（+65）

转换原理参考：https://www.cnblogs.com/pauline/p/7573208.html

另一算法：设第k位为符号位，每位上的数为a[i]，则值为 ,可知表示是为0~最大整数~最小负数~0

按位与运算

通常用来将某变量中的某些位清0(&0)或保留某些位不变(&1)。

例如，如果需要将int型变量n的低8位全置成0，而其余位不变，则可以执行： n = n & 0xffffff00; 也可以写成： n &= 0xffffff00;

如果n是short类型的，则只需执行： n &= 0xff00;

如何判断一个int型变量n的第7位（从右往左，从0开始数）是否是1 ? 只需看表达式 “n & 0x80”的值是否等于0x80即可。

按位或运算

通常用来将某变量中的某些位置1(|1)或保留某些位不变(|0)。

例如，如果需要将int型变量n的低8位全置成1，而其余位不变，则可以执行： n |= 0xff;

左移运算符“<<”

是双目运算符。其功能是将左操作数的各二进位全部左移若干位后得到的值，右操作数指明了要左移的位数。左移时，高位丢弃，右边低位补0。

实际上，左移1位，就等于是乘以2，左移n位，就等于是乘以2n。而左移操作比乘法操作快得多。

特别注意：有符号数的左移溢出情况。

#include <stdio.h>
main() {int n1 = 15; short n2 = 15;unsigned short n3 = 15;unsigned char c = 15;n1 <<= 15; n2 <<= 15;n3 <<= 15;c <<= 6; printf( "n1=%x,n2=%d,n3=%d,c=%x,c<<4=%d",n1,n2,n3,c,c << 4);
}
/*
n1=78000,n2=-32768,n3=32768,c=c0,c<<4=3072
*/

右移运算符“>>”

双目运算符。其计算结果是把“>> ”的左操作数的各二进位全部右移若干位后得到的值，要移动的位数就是“>>”的右操作数。移出最右边的位就被丢弃。

对于有符号数，如long,int,short,char类型变量，在右移时，符号位（即最高位）将一起移动，并且大多数C/C++编译器规定，如果原符号位为1，则右移时左边高位就补充1，原符号位为0，则右移时高位就补充0。

实际上，右移n位，就相当于左操作数除以2^n，并且将结果往小里取整。


#include <stdio.h>
main()
{int n1 = 15; short n2 = -15;unsigned short n3 = 0xffe0;unsigned char c = 15;n1 = n1>>2; n2 >>= 3;n3 >>= 4;c >>= 3; printf( "n1=%x,n2=%d,n3=%x,c=%x",n1,n2,n3,c);
}
/*
n1=3,n2=-2,n3=ffe,c=1//直接除2^n或化为二进制移位计算
*/

浮点数在计算机的存储

按IEEE制定的标准，所有计算机硬件都支持。

将二进制位分为三部分：符号位S、阶码E、尾数M来表示浮点数。

单精度用32位表示，分别为1、8、23；双精度用64位表示，分别为1、11、52位。

符号位S：为0代表正数，1代表负数；

阶码E：分两种：非规格化值和规格化值。

非规格化值：表示+0、-0、+∞、-∞。这时M=f的形式为0. ....,范围在[0.0,1.0)阶码求法E=1-bias (bias为定值：，k为阶码位数，所以float型bias为127)

（1）阶码位全为0，则Exp(阶码位值)为0,阶码为-126。当S为0时表示+0，当S为1时表示-0

（2）阶码位全为1，则Exp(阶码位值)为1,阶码为-126。当M=0时为∞，当S为0时表示+∞，当S为1时表示-∞；当M！=0时为NaN

规格化值：表示正负数。这时M=1+f的形式为1. ....,范围在[1.0,2.0)阶码求法E=Exp-bias (bias为定值：，k为阶码位数，所以float型bias为127)