标记网格法(marked-and-cell method)，简称MAC法，是一种偏微分方程数值解法，它是用差分法和标记点相结合的求解不可压缩自由表面流动问题的数值方法。

标记网格法通常用于计算机图形以离散流体和其他模拟的功能。它由弗朗西斯·哈洛(Harlow, F. H.)和他的合作者韦尔奇(We1ch,J. E.)在洛斯阿拉莫斯国家实验室开发。

中文名

标记网格法

外文名

marker-and-cell method

领    域

数理科学英文缩写

MAC

性    质

偏微分方程数值解法

相关名词

质点网格法、流体网格法

标记网格法简介

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标记网格法(marked-and-cell method)，简称MAC法，是一种偏微分方程数值解法，它是用差分法和标记点相结合的求解不可压缩自由表面流动问题的数值方法。

标记网格法通常用于计算机图形以离散流体和其他模拟的功能。[1]

它由弗朗西斯·哈洛和他的合作者在洛斯阿拉莫斯国家实验室开发。[2]

标记网格法原理

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它采用原始变量型纳维一斯托克斯方程，把压力和速度作为基本未知量，将计算区域划分成欧拉矩形网格单元，压力定义在格子中心，而r方向速度分量沿格子左、右边界中点定义，y方向速度分量沿格子上、下边界中点定义，用差分方法由动量方程和泊松方程分别计算出速度和压力.此外，该方法还在网格中布置适量的无质量的标记点，由它们来确定自由表面，每个质点的位置由拉格朗日坐标来表示，它们不直接参加计算.使用双变量线性插值计算标记点的速度，在整个计算过程中跟踪每个标记点，从而可确定自由表面的形状、位置及其演变J清况.。

所谓标记网格法(marker-and-cell method)，简称MAC法，是由算二维不可压缩粘性流动的 PIC法发展来的。此方法采用欧拉矩形网格单元，对纳维-斯托克斯方程则用差分近似。此外,这种方法还在网格中布置适量的标记点，但这种标记点和PIC法中的质点不同，本身并不带有质量。在每一个时间步长上，只用PIC法中确定质点速度的方法来确定每个标记的速度，并在整个计算中跟踪每个标记，以判定网格里有哪种流体存在。 因此MAC法能用于计算多种流体和带有自由面的问题。

标记网格法质点网格法(PIC)

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标记网格法概述

质点网格法(particle-in-cell method)是计算二维非定常可压缩理想流动问题的欧拉－拉格朗日混合方法,简称PIC法，它特别适用于计算具有多种介质和大变形流动的问题。

在流体动力学中，通常可用欧拉和拉格朗日两种不同坐标系来求解流体动力学问题，即所谓欧拉法和拉格朗日法。欧拉法可用于求解流体大畸变问题，但精度不高，而且在各个区域进行物质输运时会产生严重的物质扩散，使界面和自由面的位置不能精确确定。拉格朗日法正好相反，计算精度较高，能精确确定界面和自由面，但不能处理流体大畸变和在各种介质之间有剪切间断的滑移现象。针对这种情况，美国F.H.哈洛等人于1955年成功地把欧拉法和拉格朗日法结合起来，提出了质点网格法。[3]

标记网格法基本要点

PIC法的基本要点是，把含有多种介质的流动所通过的区域用欧拉法分成有限个网格，每个网格中的每种流体，用一组特定的离散化拉格朗日质点表示。图“×”表示一种流体质点,“·”表示另一种流体质点。只包含一种流体质点的格子称为纯单元，两种流体质点同时存在的格子称为混合单元，不存在任何流体质点的格子称为空单元。每个质点具有一定的质量，每个网格单元内的质点数目和质点分布都以流体流动的初始状态为依据，而且这些质点具有一定的速度和能量。计算开始后,质点在欧拉网格之间迁移,表示流体在运动。[4]

在每个时间步长内，计算分两步：第一步用欧拉法计算，即忽略偏微分方程中的输运效应，用差分方法计算由压力分布所引起的欧拉网格上速度(或动量)和能量的变化。若一个网格内含有多种流体，就应按一定的规则把能量的改变量适当分配给不同的质点。第二步是质点迁移计算，它是在第一步的基础上，按一定的加权平均方法计算出每个质点的速度和在时间步长结束时的新位置。一个质点从一个网格迁移到另一个网格，就把所携带的质量以及相应的动量和能量从原来的网格输送到新的网格中去。这一步实质上是对第一步计算中忽略的输运效应计算的补偿。

在具有激波间断的流动中，处理激波间断是一个难题(见激波数值处理)。PIC法由于有非线性的耗散效应，不仅可以减少差分格式所引起的起伏现象，而且起着类似于人工粘性的作用。因此，PIC法能自动处理流动中的激波间断。但在低速流动和固壁条件的计算中，这个耗散效应很弱，为了使计算稳定，还须引入人工粘性。

要得到较好的计算结果，除应考虑满足一定的稳定性条件外，还须考虑每个单元内的质点数目和分布以及它们的内能等。

参考资料

1.

Harlow, F. H.; J. E. Welch (1965). "Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with a free surface". Physics of Fluids. 8: 2182–2189. doi:10.1063/1.1761178.

2.

Erik van der Giessen and Hassan Aref (2003). Advances in Applied Mechanics. Academic Press. p. 86.

3.

B. Alder, et al.,ed.,Methods　in　Computational Physics,Vol.3,Academic　Press, New Yord,1964.

4.

P.J.罗奇著,钟锡昌、刘学宗译:《计算流体动力学》，科学出版社，北京,1983。(P. J. Roache, Computational Fluid Dynamics, Hermosa Pub.,Albuquerque,1972.)