是否能任取前序、中序和后序两种序列建立二叉树？

前言

二叉树的遍历有三种方式，前序，中序和后序遍历都可以完成对二叉树的遍历。遍历一颗树很容易，那么建树呢？是否可以选择任意 2 种遍历序列来建立一颗二叉树。

分析

这三种遍历方式最为特殊就是中序遍历，中序遍历先遍历左子树后输出当前节点再遍历右子树，这种遍历方式可以保证当前位置的左边元素都是左子树的，右边的元素都是右子树的。前序序列的第一个元素为根节点，后序遍历的最后一个元素为根节点，配合中序遍历我们可以不断确定根节点从而建立二叉树，所以中序遍历配合后序或者前序就可以确认一颗二叉树，

那么前序和后序遍历配合能否建立二叉树呢？当然可以建立，不过这个二叉树无法唯一确定，因为前序和后序本质上都是将父节点和子节点进行分离，并没有指明左子树和右子树的能力。如果没有中序遍历来确定下一个根节点的方向，就可能出现下面这种情况：

上面两个二叉树的前序遍历都是2-1-3，后序遍历都是3-1-2，但是它们显然是不同的二叉树，所以根据先序序列和后序序列并不能唯一确定二叉树。（可以建树，不过结果可能不唯一）

实现

1、前序遍历和中序遍历建树

前序遍历数组的第一个元素就是当前二叉树的根节点
在中序序列找到该根节点，该根节点把中序序列分为左右子树两部分，确定左右子树长度
通过左右子树长度来确定左右子树的前序序列范围，前部分是左子树的前序序列，后部分是右子树的前序序列
同样的规则递归左右两个子树不断确定根节点

例如：

先序序列：1 2 3 4 5 6
中序序列：3 2 4 1 6 5 7

根据先序序列可以知道该根节点为1，那么找到中序序列中该根节点的位置 k，当前 k 为4 （1 2 3 4 5 6 7）
根据中序序列的特点，可知该位置的左边就是根节点的左子树，右边为根节点的右子树。（3 2 4 1 6 5 7）
接下来就要确定左右子树的前序和中序序列，不断缩小树的规模。

左子树的中序序列：`il`到`k-1`

左子树的先序序列：`pl+1`到`k-il+pl`

右子树的中序序列：`k+1`到`ir`

右子树的先序序列：`k-il+pl+1`到`pr`

通过这些序列后左子树和右子树就是一颗我们原来的树了，以同样的方法递归左右子树不断确定根节点就建立了一颗树

Code~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005],b[1005];
struct Tree{Tree * l, *r;int val;
};
// [pl,pr] 前序序列开始和结束
// [il,ir] 中序序列开始和结束
// n       树的结点个数
Tree * build(int pl,int pr,int il,int ir,int n){if(n == 0) return NULL;Tree * root = new Tree();root->val = a[pl];int k = il;while(a[pl] != b[k]) k++;root->l = build(pl + 1, k - il + pl, il, k - 1, k - il);root->r = build(k - il + pl + 1, pr, k + 1, ir, ir - k);return root;
}
int main()
{int n;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> b[i];}Tree * tree;tree = build(1,n,1,n,n);
}

2、后序遍历和后序遍历建树

后序遍历数组的最后一个元素就是当前二叉树的根节点
在中序序列找到该根节点，该根节点把中序序列分为左右子树两部分，确定左右子树长度
通过左右子树长度来确定左右子树的后序序列范围，前部分是左子树的后序序列，后部分是右子树的后序序列
同样的规则递归左右两个子树不断确定根节点

左子树的中序序列：`il`到`k-1`

左子树的后序序列：`pl`到`k-il+pl-1`

右子树的中序序列：`k+1`到`ir`

右子树的后序序列：`k-il+pl`到`pr-1`

同理递归左右子树不断确定根节点就建立了一颗树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005],b[1005];
struct Tree{Tree * l,*r;int val;
};
// [pl,pr] 后序序列开始和结束
// [il,ir] 中序序列开始和结束
// n       树的结点个数
Tree * build(int pl,int pr,int il,int ir,int n){if(n == 0) return NULL;Tree * root = new Tree();root->val = a[pr];int k = il;while(a[pr] != b[k]) k++;root->l = build(pl, k - il + pl - 1, il, k - 1, k - il);root->r = build(k - il + pl, pr - 1, k + 1, ir, ir - k);return root;
}
int main()
{int n;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> b[i];}Tree * tree;tree = build(1,n,1,n,n);
}

3、前序遍历和后序遍历建树

前序遍历，根节点在左右子树的前前面。而在后序遍历中，根结点在左右子树后面。
后序序列确定好根结点，该结点前面的序列按左子树右子树的顺序进行排列。
在前序序列以一个顶点作为根节点，提供其随后的节点A作为左子树根节点
在后序序列中找到该根节点A的位置，即可获取左子树的长度
确定好左右子树的前序和后序序列，即可以同样的规则递归左右两个子树不断确定根节点。

左子树的前序序列：`pl+1`到`pl+k-il+1`

左子树的后序序列：`pl`到`k`

右子树的前序序列：`pl+k-il+1+1`到`pr`

右子树的后序序列：`k+1`到`ir-1`

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node {int value;node *lchild, *rchild;
};
int n;
int pre[105], post[105];
map<int, int> mp;node *create(int pl, int pr, int il, int ir) {if (pl > pr) return NULL;if (pl == pr) {node* root = new node;root->value = pre[pl];root->lchild = root->rchild = NULL;return root;}node *root = new node;root->value = pre[pl];int k = mp[pre[pl + 1]];int numleft = k - il + 1;root->lchild = create(pl + 1, pl + numleft, il, k);root->rchild = create(pl + numleft + 1, pr, k + 1, ir - 1);return root;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++){cin >> pre[i];}for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> post[i]; mp[post[i]] = i; }node *root = create(0, n - 1, 0, n - 1);return 0;
}

前序和后序建树练习题：https://pintia.cn/problem-sets/994805342720868352/problems/99480535347086

参考资料：

https://blog.csdn.net/Mr_dimple/article/details/117046959 先序(后序)配合中序建树

https://blog.csdn.net/JasonRaySHD/article/details/104223642 前序序列与后序序列建树