参考：

后缀数组最详细讲解

上面一篇是转载这一篇的：

后缀数组学习笔记

一、

后缀：suff(i)，后缀要排序

sa[i]，排名为i的后缀开始位置

rk[i]，i开始位置的后缀的排名。

rk[sa[i]]=i,sa[rk[i]]=i

后缀要排序。

暴力排序:O(n^2logn)

可以利用倍增+基数排序优化到O(nlogn)

以下图片转载自：后缀数组最详细讲解

为了避免常数过大，不能用vector当桶来用。

以及各种优化具体代码实现在下面。

二、

不能光排序。没有用。

设LCP(i,j)为，排名为i和排名为j的后缀的最长公共前缀长度。（注意i,j是排名）

即：LCP(suff[sa[i]],suff[sa[j]])（这个LCP是最长公共前缀的意思）

性质：

LCP(i,j)=LCP(j,i)

LCP(i,i)=len(sa[i])=n-sa[i]+1

这个太平凡了。

2.LCP(i,k)=min(LCP(i,j),LCP(j,k)) 对于任意1<=i<=j<=k<=n，都满足

证明：

设p=min(LCP(i,j),LCP(j,k))

那么有：LCP(i,j)>=p,LCP(j,k)>=p

那么必然有LCP(i,k)>=p

假如LCP(i,k)=q>p

那么有：s[i+p+1]=s[k+p+1],并且s[i+p+1]!=s[j+p+1],s[j+p+1]!=s[k+p+1]

那么，i,k的字典序显然更接近。不满足：1<=i<=j<=k<=n

所以LCP(i,k)<=p

所以，LCP(i,k)=p

证毕

3.LCP(i,k)=min(LCP(j,j-1)) 对于所有的1<i<=j<=k<=n取一个min

有：LCP(i,k)=min(LCP(i,i+1),LCP(i+1,k))，然后不断拆下去，即可证明。

三、LCP求法

根据以上性质，

人们设计了：height[i]表示，LCP(suff[sa[i]],suff[sa[i-1]])

设h[i]表示，height[rk[i]]

关键性质：

h[i]>=h[i-1]-1；

证明：

设sa[rk[i-1]-1]=k

h[i-1]=p

那么有：suff[k],suff[i-1]的前p位相同。

1.s[k]!=s[i-1]

即p=0，显然成立。

2.s[k]=s[i-1]

suff[k],suff[i-1]的前p位相同。

所以，suff[k+1],suff[i]的前p-1位相同，

LCP(suff[i],suff[k+1])=p-1

由于k+1对于i位置来讲，suff[k+1]比较平凡，不如suff[sa[rk[i]-1]]和suff[i]相似度更大。

所以，一定有：h[i]>=p-1=h[i-1]-1

证毕

有了这个性质，就可以算出height来了。或者h

然后利用LCP(i,k)=min(LCP(j,j-1)) 对于所有的1<i<=j<=k<=n取一个min

这一条就是LCP(i,k)=min(height[j])对于所有的1<i<j<=k<=n取一个min

经常求出height之后，用RMQ等可以直接找到LCP(i,k)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=1e6+6;
char s[N];
int n,m;
int x[2*N],y[2*N],sa[N];//不开两倍，下面求x的时候会RE（当然求x的时候，对sa[i]+k和n+1取min也可以，总之要是0
int c[N],num;
int rk[N],hei[N];
void get_SA(){m=122;//m表示剩下的排名种类个数 for(reg i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]=s[i]];//c是桶，x是第一关键字 for(reg i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];//c做前缀和，得到第一关键字为x的后缀排名最少是多少。 for(reg i=1;i<=n;++i) sa[c[x[i]]--]=i;//处理当前sa for(reg k=1;k<=n;k<<=1){num=0;for(reg i=n-k+1;i<=n;++i) y[++num]=i;//y[i]表示第二关键字排在 第i位的后缀，起始位置是多少 //这里直接把第二关键字是0的放进去，因为它们肯定在最前面 for(reg i=1;i<=n;++i) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;//如果满足sa[i]>k，就有i会作为sa[i]-k的第二关键字。加进去 for(reg i=1;i<=m;++i) c[i]=0;//清空桶 for(reg i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]];//累计第一关键字个数 for(reg i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];//前缀和 for(reg i=n;i>=1;--i) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;//处理当前sa，注意倒序这样第一关键字相同的，第二关键字一定升序排列 swap(x,y);//复制一下，便于后面处理x[i] num=1;x[sa[1]]=1;for(reg i=2;i<=n;++i) x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]])&&(y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num;//手动比较相邻排名是否真的不同，从而处理排名相同问题 if(num==n) break;//排好了 m=num;//重新设置最大关键字 //最后两步可以减小常数
    }
}
void get_HEI(){for(reg i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;//刷rank int k=0;for(reg i=1;i<=n;++i){if(rk[i]==1) continue;//h[sa[1]]=0 if(k) --k;//h[i]>=h[i-1]-1int j=sa[rk[i]-1];while(j+k<=n&&i+k<=n&&s[j+k]==s[i+k]) ++k;//暴力匹配，因为每次k最多-1，k最多是n，所以复杂度O(n) hei[rk[i]]=k;}
}
int main(){scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);get_SA();for(reg i=1;i<=n;++i){printf("%d ",sa[i]);}return 0;
}}
int main(){Miracle::main();return 0;
}/*Author: *Miracle*Date: 2018/11/14 21:24:52
*/

四、例题

P2408 不同子串个数

子串是所有后缀的所有前缀

对于出现两次的子串，必然起始位置的lcp大于等于长度。

某个子串每多出现一次，就会在某个hei[i]中出现。

所以，个数就是：n*(n-1)/2+n-∑hei[i]

每个出现多次的子串，都一定会被减掉多余的次数次。

更好的考虑方法是：

每个后缀贡献的前缀：就是n-sa[i]+1-height[i]

总共的前缀个数，减去和上一个排名的相同的前缀（即子串）个数。

剩下的一定都是之前没有出现过的。

所以所有之前出现出现过的都减去了。

当然，这个式子∑一下就是上面的那个。

BZOJ 4310: 跳蚤

求出本质不同的子串个数。

二分排名mid

从小到大枚举sa，求出第mid大的本质不同的子串出现位置。

具体来讲，每个位置的sa贡献的不同子串个数是：n-sa[i]+1-height[i]

而且新出现的一定是没有出现的最小的那几个。

所以，如果贡献的子串小于k个，就k-=贡献，继续找。否则就是剩下的第k个位置。

（当然，可以对贡献做一个前缀和，然后二分即可。O(n)->O(logn)）

之后贪心砍

从后往前，由于是子串的最大子串，所以，每当得到一个子串比第mid个子串大，必须砍掉。

不能不砍，而如果在之前砍的话，留下的部分字典序一定更大。不优。

所以贪心正确。

比较两个串字典序大小，利用后缀数组直接RMQ求LCP即可。

注意，二分的mid是long long级别。re也要开long long

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=1e5+5;
int n,m,p;
char s[N];
int sa[N],rk[N],hei[N];
int x[2*N],y[2*N];
int c[N],num;
void SA(){m=230;for(reg i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]=s[i]];for(reg i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];for(reg i=n;i>=1;--i) sa[c[x[i]]--]=i;for(reg k=1;k<=n;k<<=1){num=0;for(reg i=n-k+1;i<=n;++i) y[++num]=i;for(reg i=1;i<=n;++i) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;for(reg i=1;i<=m;++i) c[i]=0;for(reg i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]];for(reg i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];for(reg i=n;i>=1;--i) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;swap(x,y);num=1;x[sa[1]]=1;for(reg i=2;i<=n;++i){x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]])&&(y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num;}if(num==n) break;m=num; }
}
void HEI(){for(reg i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;int k=0;for(reg i=1;i<=n;++i){if(rk[i]==1) continue;if(k) --k;int j=sa[rk[i]-1];while(j+k<=n&&i+k<=n&&s[j+k]==s[i+k]) ++k;hei[rk[i]]=k;}
}
int f[N][20];
int lg[N];
int LCP(int i,int j){if(i>j) swap(i,j);if(i==j) return n-sa[i]+1;int len=j-i;int ret=min(f[i+1][lg[len]],f[j-(1<<lg[len])+1][lg[len]]);return ret;
}
bool cmp(int s1,int d1,int s2,int d2){//s1<=s2 return 1int lcp=LCP(rk[s1],rk[s2]);//cout<<" lcp "<<lcp<<endl;int l1=d1-s1+1,l2=d2-s2+1;if(l1<=l2){if(lcp>=l1) return true;if(lcp<l1) return s[s1+lcp]<=s[s2+lcp];} else{if(lcp>=l2) return false;if(lcp<l2) return s[s1+lcp]<=s[s2+lcp];}
}
ll l,r;
int st,nd;
bool che(ll mid){//cout<<" mid ------------------------"<<mid<<endl;int tot=0;st=1,nd=0;ll re=mid;while(re>n-sa[st]+1-hei[st]){re-=n-sa[st]+1-hei[st];++st;}nd=sa[st]+hei[st]-1+re;st=sa[st];//cout<<" st "<<st<<" nd "<<nd<<endl;int rr=n;for(reg i=n;i>=1;--i){if(tot>p) return false;while(i>=1&&cmp(i,rr,st,nd)) --i;++tot;rr=i;//cout<<" tot "<<tot<<" : "<<i<<" "<<rr<<endl;++i;}return tot<=p;
}
int main(){scanf("%d",&p);scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);SA();HEI();for(reg i=1;i<=n;++i) {lg[i]=(i>>(lg[i-1]+1))?lg[i-1]+1:lg[i-1];f[i][0]=hei[i];r+=n-sa[i]+1-hei[i];}for(reg j=1;(1<<j)<=n;++j){for(reg i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i){f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}l=1;ll ans=0;
//    for(reg i=1;i<=n;++i){
//        cout<<i<<" : "<<rk[i]<<" "<<sa[i]<<" "<<hei[i]<<endl;
//    }
//    cout<<" judge "<<cmp(4,5,1,4)<<endl;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(che(mid)){ans=mid;r=mid-1;            }else l=mid+1;}ans=che(ans);for(reg i=st;i<=nd;++i) putchar(s[i]);return 0;
}}
int main(){Miracle::main();return 0;
}/*Author: *Miracle*Date: 2018/11/15 21:46:33
*/

跳蚤

P2852 [USACO06DEC]牛奶模式Milk Patterns

对于出现k次的子串，考虑sa序列，枚举最长子串的出现位置中排名最靠后的位置的起始位置，为了找到最长的子串，必然找前面连续k个位置所代表的后缀，

不断求LCP，也就是求LCP(i,i-k+1)，就是这个子串长度

单调队列优化即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=1000000+5;
int s[N];
int n,m,p;
int sa[N],rk[N],hei[N],c[N];
int x[2*N],y[2*N];
int num;
void SA(){num=0;m=1000000;for(reg i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]=s[i]];for(reg i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];for(reg i=1;i<=n;++i) sa[c[x[i]]--]=i;for(reg k=1;k<=n;k<<=1){num=0;for(reg i=n-k+1;i<=n;++i) y[++num]=i;for(reg i=1;i<=n;++i) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;for(reg i=1;i<=m;++i) c[i]=0;for(reg i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]];for(reg i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];for(reg i=n;i>=1;--i) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;swap(x,y);num=1;x[sa[1]]=1;for(reg i=2;i<=n;++i){x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]])&&(y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num;}if(num==n) break;m=num;}
//    for(reg i=1;i<=n;++i){
//        cout<<i<<" : "<<sa[i]<<endl;
//    }
}
void HEI(){for(reg i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;int k=0;for(reg i=1;i<=n;++i){if(rk[i]==1) continue;if(k) --k;int j=sa[rk[i]-1];while(j+k<=n&&i+k<=n&&s[j+k]==s[i+k]) ++k;hei[rk[i]]=k;}
}
int q[N],l,r;
int wrk(){l=1;int ret=0;for(reg i=2;i<=p-1;++i){while(l<=r&&hei[q[r]]>=hei[i]) --r;q[++r]=i;}//if(l<=r) ret=max(ret,hei[q[l]]);for(reg i=p;i<=n;++i){while(l<=r&&hei[q[r]]>=hei[i]) --r;q[++r]=i;while(l<=r&&q[l]<i-p+2)++l;if(l<=r) ret=max(ret,hei[q[l]]);}return ret;
}
int main(){rd(n);rd(p);for(reg i=1;i<=n;++i) rd(s[i]);SA();HEI();int ans=wrk();printf("%d\n",ans);return 0;
}}
int main(){Miracle::main();return 0;
}/*Author: *Miracle*Date: 2018/11/15 8:52:42
*/

牛奶模式

P3181 [HAOI2016]找相同字符

另一篇：[HAOI2016]找相同字符

P2178 [NOI2015]品酒大会

求出height，显然要先求出LCP=r的个数以及最大值。然后前缀处理一下。

求LCP=r的个数及最大值：

1.分治。类似于“找相同字符”那个题，注意，mid左边选择一个最值，mid右边选择一个最值。维护两个指针扫过的位置的最值。

最后合并即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define int long long
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=300000+5;
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
char s[N];
ll a[N];
struct node{ll ans;ll mx;void init(){ans=0;mx=-inf;}node operator +(const node &b){node c;c.init();c.ans=ans+b.ans;c.mx=max(mx,b.mx);return c;}
}b[N];
int sa[N],rk[N],hei[N];
int y[2*N],x[2*N];
int c[N],num;
void SA(){m=122;for(reg i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]=s[i]];for(reg i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];for(reg i=n;i>=1;--i) sa[c[x[i]]--]=i;for(reg k=1;k<=n;k<<=1){num=0;for(reg i=n-k+1;i<=n;++i) y[++num]=i;for(reg i=1;i<=n;++i) if(sa[i]>k) y[++num]=sa[i]-k;for(reg i=1;i<=m;++i) c[i]=0;for(reg i=1;i<=n;++i) ++c[x[i]];for(reg i=2;i<=m;++i) c[i]+=c[i-1];for(reg i=n;i>=1;--i) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;swap(x,y);num=1;x[sa[1]]=1;for(reg i=2;i<=n;++i){x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]])&&(y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?num:++num;}if(num==n) break;m=num;}
}
void HEI(){for(reg i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;int k=0;for(reg i=1;i<=n;++i){if(rk[i]==1) continue;if(k) --k;int j=sa[rk[i]-1];while(j+k<=n&&i+k<=n&&s[j+k]==s[i+k]) ++k;hei[rk[i]]=k;}
}
void divi(int l,int r){
//    cout<<" divi "<<l<<" and "<<r<<" ---------------------------"<<endl;if(l==r) return;int mid=(l+r)/2;
//    cout<<" mid "<<mid<<endl;ll mxl=-inf,mil=inf;ll mxr=-inf,mir=inf;int mi=0x3f3f3f3f;int ptr=mid+1;for(reg i=mid+1;i<=r;++i){mi=min(mi,hei[i]);while(ptr>=l+1&&hei[ptr]>=mi){//tmp.upda(a[sa[ptr-1]]);mil=min(mil,a[sa[ptr-1]]);mxl=max(mxl,a[sa[ptr-1]]);ptr--;}b[mi].ans+=(mid-ptr+1);if(mil!=inf)b[mi].mx=max(b[mi].mx,mil*a[sa[i]]);if(mxl!=-inf)b[mi].mx=max(b[mi].mx,mxl*a[sa[i]]);//        cout<<" ii "<<i<<" ptr "<<ptr<<endl;
//        for(reg i=0;i<=2;++i){
//            cout<<i<<" : "<<b[i].val[0]<<" "<<b[i].val[1]<<" || "<<b[i].val[2]<<" "<<b[i].val[3]<<endl;
//        }
    }
//    cout<<" half "<<endl;
    mi=inf;ptr=mid;for(reg i=mid;i>=l;--i){mi=min(mi,hei[i+1]);while(ptr+1<=r&&hei[ptr+1]>mi){//tmp.upda(a[sa[ptr+1]]);mir=min(mir,a[sa[ptr+1]]);mxr=max(mxr,a[sa[ptr+1]]);++ptr;}b[mi].ans+=(ptr-mid);if(mir!=inf)b[mi].mx=max(b[mi].mx,mir*a[sa[i]]);if(mxr!=-inf)b[mi].mx=max(b[mi].mx,mxr*a[sa[i]]);}
//    cout<<" end "<<endl;
//    for(reg i=0;i<=2;++i){
//        cout<<i<<" : "<<b[i].ans<<" "<<b[i].mx<<endl;
//    }
    divi(l,mid);divi(mid+1,r);
}
int main(){scanf("%lld",&n);scanf("%s",s+1);for(reg i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]);SA();HEI();
//    for(reg i=1;i<=n;++i){
//        cout<<i<<" "<<sa[i]<<" "<<hei[i]<<endl;
//    }
//    cout<<"--------------------------------"<<endl;
//
//    cout<<"hei : ";
//    for(reg i=1;i<=n;++i){
//        cout<<hei[i]<<" ";
//    }cout<<endl;
//    cout<<"a[i]: ";
//    for(reg i=1;i<=n;++i){
//        cout<<a[i]<<" ";
//    }cout<<endl;
//    cout<<" sa : ";
//    for(reg i=1;i<=n;++i){
//        cout<<sa[i]<<" ";
//    }cout<<endl;
//    for(reg i=0;i<=n;++i)b[i].init();divi(1,n);for(reg i=n-1;i>=0;--i){b[i]=b[i]+b[i+1];}for(reg i=0;i<=n-1;++i){if(b[i].mx==-inf) b[i].mx=0;printf("%lld %lld\n",b[i].ans,b[i].mx);}return 0;
}}
signed main(){Miracle::main();return 0;
}/*Author: *Miracle*Date: 2018/11/15 15:54:36
*/

品酒大会

2.并查集。按照height排序，每次合并i,i+1两个排名所代表的字符串集合。设lcp长度为k，两边的集合两两组合，lcp一定都为k。

把两棵树的size相乘，加入ans[k][0]。每个并查集维护集合内的a[sa[i]]的最大值和最小值，然后ans[k][1]=max(ans[k][1],mi1*mi2,mx1*mx2)

本质是考虑两个要求LCP的i，j，取得min的位置在哪里。在取得min的位置的那里，就会合并这两个集合并且统计答案。

3.SAM做法

利用Parent树DP，类似“差异”一题。对反串建SAM，在LCA处统计LCP个数以及最大值，最小值。然后按照len从后往前处理一下即可。

最后都要前缀处理一下。

五、总结

后缀数组可以对一个串求出height，

就可以快速支持查找i,j位置开始的lcp长度。即LCP(rk[i],rk[j])，然后用RMQ即可优化。

和区间问题比较像。但是不是直观地在原始字符串上处理区间，而是对sa序列进行区间处理。

由于是区间，又是找一个最小值，所以可以利用到的方法就比较多了。

分治，并查集，单调栈，单调队列都可以尝试。

并且相邻两个排名LCP长度是最长的，这个性质有时也会用到。

转载于:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9963772.html

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[参考博客] https://xminh.github.io/2018/02/27/%E5%90%8E%E7%BC%80%E6%95%B0%E7%BB%84-%E6%9C%80%E8%AF%A6%E7 ...
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