算法学习：后缀数组（SA）

【参考博客】

https://xminh.github.io/2018/02/27/%E5%90%8E%E7%BC%80%E6%95%B0%E7%BB%84-%E6%9C%80%E8%AF%A6%E7%BB%86(maybe)%E8%AE%B2%E8%A7%A3.html

【定义】

【后缀】从第i位到字符串结尾的子串

【解决问题】

从而解决

...................在字符串中找子串

...................比较子串关系

...................查找不同子串的数目

一般来说都是解决

字符串和子串关系的问题

【算法学习】

后缀数组能够在 nlogn的时间复杂度内求取出以下数组

【注意】明白字符串包含字符的范围

SA [] 储存，第 i 个数字表示的是字典序第 i 大的后缀是以 SA_i 开始的后缀

即 “排第几的是哪个后缀”

rank [] 储存，从第i位开始的后缀的字典序排名是 i

即 “某个后缀排第几个”

对SA的求取，我们可以看作对所有的后缀进行排序

而这个排序显然如果直接莽的话肯定T，所以我们需要另外一种方法

这里使用基数排序+倍增的方法进行优化

将所有的后缀进行排序得到SA，这是我们的目的

基数排序，是对两个关键字的元素进行排序从而达到线性复杂度的方法

显然，在当两个后缀第一个字符相等的情况下，我们不可避免的去用第二个字符进行比较

这里我们需要注意到一个事情

第 i 个后缀的第二个字符是第 i + 1 的第一个字符

那这和直接莽好像没有什么区别？

所以我们就用到了倍增，每次确定后缀的以前 2 ^ k 长度的字符串排序的顺序

然后通过这个，就能够求出 2 ^ ( k + 1 ) 长度的后缀的前缀

通过，第 i 位的和第 i + k 位的，于是就能求出来

因为第一个字符有可能一样，导致有两个后缀排名相等

所以总排名数和后缀长度不同

所以长度为2时同理

而当所有总排名和后缀长度相同时，这个时候就找到了所有

下面是对使用到的各个数组的意义的描述：

c[] 桶，记录第 i 位的元素有多少个

x[] 后缀 i 的第一关键字，所以最开始是等于第 i 位字符

y[] 第二关键字排名第 i 的字符串，第一关键字的位置

【代码】

首先求出所需要的几个数组的初值

//初始化int n = strlen(s+1);int m = 128;//m只需要大于 ascii（‘z'）即可//因为第一步并不知道桶的规模for (int i = 1; i <= n; i++)++c[x[i] = s[i]];//计算每一个字符的数量，同样的放在一起for (int i = 2; i <= m; i++)c[i] += c[i - 1];//求前缀和for (int i = n; i >= 1; i--)    SA[c[x[i]]--] = i;//从后往前，这样就能求出最开始顺序

倍增的同时进行排序

for (int k = 1; k <= n; k <<= 1)
//k是之前提到的，每次枚举的字符串长度
    {int num = 0;for (int i = n - k + 1; i <= n; i++)    y[++num] = i;//先将最后的几个去掉for (int i = 1; i <= n; i++)if (SA[i] > k)y[++num] = SA[i] - k;//当这个位置的后缀在长度之外时//将这个位置的字符放到第二关键字中for (int i = 1; i <= m; i++)c[i] = 0;//清空桶for (int i = 1; i <= n; i++)c[x[i]]++;//放入第一关键字//第一关键字是已经算好的//第一次是初始化时计算好的//第二次的计算过程在下面for (int i = 2; i <= m; i++)c[i] += c[i - 1];//和初始化一样的求前缀和for (int i = n; i >= 1; i--)SA[c[x[y[i]]]--] = y[i], y[i] = 0;//在保证第一关键字的同时使用第二关键字排序//从后往前，第二关键字靠后的会被先剔除掉//考虑下数组的操作
swap(x, y);//这里是为了保存上一步得到的y，没有太多其他意思x[SA[1]] = 1; num = 1;for (int i = 2; i <= n; i++)x[SA[i]] =(y[SA[i]] == y[SA[i - 1]] && y[SA[i] + k] == y[SA[i - 1] + k]) ?//这里注意回忆SA的意义//比较的是和其排名相近的元素，也是最有可能两个关键字都相同的元素//当字符的第二关键字，前后都相同时//说明没有新的元素，所以不加//如果有，则加
                   ？ num : ++num;if (num == n) break;m = num;}

【模板题】

【luogu P3809】

求一个字符串的SA

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1000010;
char s[MAXN];
int  SA[MAXN];
int  x[MAXN], c[MAXN], y[MAXN];
void get_SA(char *s)
{//初始化int n = strlen(s + 1);int m = 128;for (int i = 1; i <= n; i++)++c[x[i] = s[i]];//计算每一个字符的数量，同样的放在一起for (int i = 2; i <= m; i++)c[i] += c[i - 1];//求前缀和for (int i = n; i >= 1; i--)SA[c[x[i]]--] = i;//从后往前，这样就能求出最开始顺序for (int k = 1; k <= n; k <<= 1){int num = 0;for (int i = n - k + 1; i <= n; i++)    y[++num] = i;//把最后几个字符放进去for (int i = 1; i <= n; i++)//按照顺序遍历if (SA[i] > k)//如果长度大于ky[++num] = SA[i] - k;//把第一个放进去for (int i = 1; i <= m; i++)c[i] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)c[x[i]]++;//x[i]是第一关键字for (int i = 2; i <= m; i++)c[i] += c[i - 1];//求前缀和for (int i = n; i >= 1; i--)SA[c[x[y[i]]]--] = y[i], y[i] = 0;swap(x, y);x[SA[1]] = 1; num = 1;for (int i = 2; i <= n; i++)x[SA[i]] = (y[SA[i]] == y[SA[i - 1]] && y[SA[i] + k] == y[SA[i - 1] + k]) ? num : ++num;if (num == n) break;m = num;}return;
}
int main()
{scanf("%s", s + 1);get_SA(s);int n = strlen(s + 1);for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d ", SA[i]);return 0;
}

View Code

【扩展】

LCP/height数组的求取

转载于:https://www.cnblogs.com/rentu/p/11331536.html

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