ax的范数最大_各类范数定义
范数的定义
设
X
是数域
K
上线性空间，称
║˙║
为
X
上的范数
(norm)
，若它满足：
1.
正定性：
║x║≥0
，且
║x║=0
<=>
x=0
；
2.
齐次性：
║cx║=│c│║x║
；
3.
次可加性
(
三角不等式
)
：
║x+y║≤║x║+║y║
。
注意到
║x+y║≤║x║+║y║
中如令
y=-x
，再利用
║
-
x║=║x║
可以得到
║x║≥0
，即
║x║≥0
在定
义中不是必要的。
如果线性空间上定义了范数，则称之为
赋范线性空间
。
注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。
1.
利用范数可以诱导出度量：
d(x,y)=║x
-
y║
，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是
度
量空间
。
但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。
2.
如果赋范线性空间作为
(
由其范数自然诱导度量
d(x,y)=║x
-
y║
的
)
度量空间是完备的，
即
任何柯西
(Cauchy)
序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为
巴拿赫
(Banach)
空间
。
3.
利用内积
可以诱导出范数：
║x║=^{1/2}
。
反过来，范数不一定可以由内积来诱导。当范数满足平行四边形公式
║x+y║^2+║x
-
y║^2=
2(║x║^2+║y║^2)
时，这个范数一定可以由内积来诱导。
完备的内积空间成为
希尔伯特
(Hilbert)
空间
。
4.
如果去掉范数定义中的正定性，
那么得到的泛函称为半范数
(seminorm
或者叫准范数
)
，
相应的完备空间称为
Fréchet
空间
。
对于
X
上的两种范数
║x║α,║x║β
，若存在正常数
C
满足
║x║β≤C║x║α
那么称
║x║β
弱于
║x║α
。如果
║x║β
弱于
║x║α
且
║x║α
弱于
║x║β
，那么称这两种范数等
价。
可以证明，有限维空间上的范数都等价，无限维空间上至少有阿列夫
1(
实数集的基数
)
种
不等价的范数。
算子范数
如果
X
和
Y
是巴拿赫空间，
T
是
X->Y
的线性算子，那么可以按下述方式定义
║T║
：
║T║
=
sup{║Tx║
：
║x║<=1}
根据定义容易证明
║Tx║
<=
║T║║x║
。
对于多个空间之间的复合算子，也有
║XY║
<=
║X║║Y║
。
如果一个线性算子
T
的范数满足
║T║
<
+∞
，那么称
T
是
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