动态规划法——常见题型及算法思路

有关动态规划类问题本书不够入门，内容较严谨，不太适合小白，在此我将写下一些动态规划的基础思想(基础不代表简单，只是需要的前备知识少)。

使用动态规划法求解整数拆分问题

下面是逻辑推理的过程（动态规划方程的理由），只是为了方便理解规划方程的原因才硬写出来的。

即使不知道原因，也能写出动态规划方程，不用理由。有基础的可以跳到下方红线处。

该题目中n代表数值，k代表最多能被拆成多少组

n=4，k=4：

4—1+1+1+1

2+1+1

3+1

-------------------------------------------------------

n=4，k=3：

4—2+1+1

3+1

---------------------------------------------------------

n=4，k=2：

4—3+1

------------------------------------

n=4，k=1：

4—4

-----------------------------------------------

n=1，k=3：(1虽然可以允许最多被分成3个，由于1只能分成1个，因此n=1时k=2时与k=1时结果没区别)

1—1

n=2，k=2：

2—1+1

n=2，k=3：（2虽然允许被分成3个但2最多能被分成2个数，因此n=2时k=3与k=2没区别）

2—1+1

n=3，k=3：

3—1 +1+1

2+1

n=3，k=2：

3—2+1

n=3，k=1：

3—3

***********************************************************************************************************

该问题中要求求解整数拆分：

N表示要拆分的数字，k表示最多能被拆成k个的所有情况

根据上面题目

书中如此解释：

1.当n=1或k=1(k=1表示这个数最终只能被分成一个数字，那就是说不能拆，也就是它自己)

因此f(n==1 || k==1)=1

2.当k>n时(例如允许2 ，拆成3个数；允许3，拆成4个数，跟允许2分成2个数，允许3分成3个数，没区别，因为大小为n的数最多被拆成n个数)

因此f(k>n)=f(k=n)

3.当k=n时

如图：

发现了吗？f(n,n)所组成的方法数比f(n,n-1)多出来1个方案(多出来的1个方案是全部都由1组成的方法)

因此可得规律：

N=k时，f(n,n)=f(n,n-1)+1

4.当k<n时。。。balabala在此不建议看书上了，我明明白白告诉你，那个理由是作者弄出答案之后硬掰出来的。为的是让自己写的书看起来逻辑完美。笔试时压根不会给你时间深究原理。)

下面是做动态规划求解此题的真正做法：

设f(n,k)为n的k拆分的拆分方法数

N表示要拆分的数字，k表示最多能被拆成k个的所有情况

打表（根据算出来的解，填表）如下

因此，

可得出规律：f(n,k)=f(n-k,k)+f(n,k-1)

同样根据表中规律可得出：

动态规划步骤就这么简单，算出前面几个解后，填表，找规律，就能求出解，

真正的难点在于试法（这个表该怎么画，是应该一维的还是二维的，变量要怎么选，要选几个），清楚了如何去试之后，解题就没什么难点，后面重点就是优化了。

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