DDA算法和Bresenham算法

本文结构如下：

1、DDA算法
2、Bresenham算法
3、代码实现核心部分

1、DDA算法

DDA算法是计算机图形学中最简单的绘制直线算法。其主要思想是由直线公式y = kx + b推导出来的。
我们已知直线段两个端点P₀(x₀,y₀)和P₁(x₁,y₁)，就能求出 k 和 b 。

在k，b均求出的条件下，只要知道一个x值，我们就能计算出一个y值。如果x的步进为1（x每次加1，即x = x +1），那么y的步进就为k+b；同样知道一个y值也能计算出x值，此时y的步进为1，x的步进为(1-b)/k。根据计算出的x值和y值，向下取整，得到坐标(x’,y’)，并在(x’,y’)处绘制直线段上的一点。

为进一步简化计算，通常可令b取0，将起点看作(0,0)。设当前点为(x_i, y_i)则用DDA算法求解(x_i+1，y_i+1)的计算公式可以概括为：

x_i+1 = x_i + xStep (1)
y_i+1 = y_i + yStep (2)

我们一般通过计算 Δx 和 Δy 来确定xStep和yStep：

如果 Δx > Δy ，说明x轴的最大差值大于y轴的最大差值，x轴方向为步进的主方向，xStep = 1，yStep = k；
如果 Δy> Δx，说明y轴的最大差值大于x轴的最大差值，y轴方向为步进的主方向，yStep = 1，xStep = 1 / k。

根据这个公式，就能通过(x_i，y_i)迭代计算出(x_i+1、y_i+1)，然后在坐标系中绘制计算出的(x,y)坐标点。

2、Bresenham算法

Bresenham算法也是一种计算机图形学中常见的绘制直线的算法，其本质思想也是步进的思想，但由于避免了浮点运算，相当于DDA算法的一种改进算法。

设直线的斜率为k，当|k| <=1时，x方向为主步进方向；当|k| >1时，y方向为主步进方向。现以|k| <1时为例，推导Bresenham算法的原理。

Bresenham算法直线绘制示意图
图片来自：http://st251256589.blog.163.com/blog/static/16487644920114112817666/

图中绘制了一条直线，蓝色点表示该直线上的点，红色点表示光栅下绘制的点。
假设当前点是(x_i,y_i)
- 如果int(y_i+0.5) = y_i，则在点(x_i, round(y_i))处绘制.
- 如果int(y_i+0.5) = y_i + 1，则在点(x_i, round(y_i)+1)处绘制。

上述逻辑可简述为：当x方向是主要步进方向时，以每一小格的中点为界，如果当前的y_i在中点(图中红色短线)下方，则y取round(y_i); 如果当前的y_i在中点上方，则y取rund(y_i)+1。

引用部分：现考虑这种方法的误差，因为直线的起始点在像素中心，所以误差项d的初值d₀＝0。x下标每增加1，d的值相应递增。直线的斜率值k，即d＝d＋k。一旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时，最接近于当前像素的右上方像素（x+1,y+1）而当d<0.5时，更接近于右方像素(x+1,y）为方便计算，令e＝d-0.5，e的初值为-0.5，增量为k。当e≥0时，取当前像素（x_i，y_i）的右上方像素（x+1,y+1），而当e<0时，更接近于右方像素(x+1,y）可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：
e₁ = 2e * Δx。

参考：
http://blog.csdn.net/xdg_blog/article/details/52848891
http://www.cnblogs.com/weiweishuo/archive/2013/03/11/2954443.html

3、代码实现

1、DDA算法

void CGView::DrawDDALine(int startx,int starty, int endx, int endy)
{   CDC* pDC = GetDC();DrawStandLine(pDC);//绘制标准直线int x0 = startx; int y0 = starty ;int x1 = endx; int y1 = endy; int color=RGB(255,0,0);int x; float dx,dy,y,k;dx = x1-x0, dy = y1-y0;k = dy / dx,y = y0;int x2 = startx; int y2 = endx;for(x = x0;x <= x1;x++){   //(20,360)是坐标轴的起点x2 = 20 + x * 30; //30是坐标轴的单位刻度pDC->Ellipse( x2 - 5, y2 - 5, x2 + 5, y2 + 5 );y = k * x + k;y = (int)(y+0.5);y2 = 360 - y * 30;}
}

2、Bresenham算法

void CGView::DrawBresenham(int startx,int starty, int endx, int endy)
{CDC* pDC = GetDC();DrawStandLine(pDC);//绘制标准直线int x0, y0, x1, y1;x0 = startx; y0 =starty;x1 = endx; y1 = endy;int x, y, dx, dy;  dx = x1-x0, dy = y1- y0; x = x0;y = y0;double k = dy / dx;//如果 >1，则y方向是主要步进方向，需要转换坐标系方向if(abs(k)>1){Swap(startx,starty,endx,endy);}int e = -dx; int x2 = 20, y2 = 360; //(20,360)是坐标轴的起点for (int x=x0; x<=x1; x++){ pDC->Ellipse( x2 - 5, y2 - 5, x2 + 5, y2 + 5 );x2 += 30;e += 2 * dy;if (e > 0){ y++;y2 -= 30; //30是坐标轴的单位刻度e -= 2*dx;}}
}

两种算法的运行结果情况如下图所示，从图中可已看出，两种算法都能绘制出直线段，但是在细节稍有不同，当x=4时，DDA算法的y值为3，而Bresenham的算法y为2。在不过从效率上看，由于Bresenham避免了浮点运算，所以效率更高。

本文参考了网上的资料，包括图片、文字等。在文中均给出了链接。时间太久了，代码已经找不到出处了。如有疏漏，请指出。