1.投影与投影矩阵

上课感觉自己听的还可以，下来算的时候就

1.1定义

设L,ML,ML,M是CnC^nCn的子空间并且有L+M=L⊕U=CnL+M=L\oplus U=C^nL+M=L⊕U=Cn,即∀x∈Cn,∃唯一y∈L,z∈M,使得x=y+z\forall x\in C^n,\exists 唯一y\in L,z\in M,使得x=y+z∀x∈Cn,∃唯一y∈L,z∈M,使得x=y+z，称y为x研M到L的投影，也称为投影算子

1.2充要条件

1.2.1引理

设E为n阶幂等矩阵，那么有N(P)=R(I−P)N(P)=R(I-P)N(P)=R(I−P)
说明：

幂等矩阵：形如A2=AA^2=AA2=A的矩阵
N(E)={x∣Ex=0,x∈Cn}N(E)=\{ x|Ex=0,x\in C^n \}N(E)={x∣Ex=0,x∈Cn}
R(E)={y∣y=Ex,x∈Cn}R(E)=\{ y|y=Ex,x\in C^n\}R(E)={y∣y=Ex,x∈Cn}注意值域

证明：
P2=P→P(I−P)=O→∀x∈Cn,P(I−P)x=0P^2=P\rightarrow P(I-P)=O\rightarrow\forall x\in C^n,P(I-P)x=0P2=P→P(I−P)=O→∀x∈Cn,P(I−P)x=0 上式可以写为P(R(I−P))=0P(R(I-P))=0P(R(I−P))=0即R(I−P)R(I-P)R(I−P)的值域包含在N(P)N(P)N(P)中。接下来有,对于∀Px=0,\forall Px=0,∀Px=0,x=Ix−Px=(I−P)x∈R(1−P)x=Ix-Px =(I-P)x\in R(1-P)x=Ix−Px=(I−P)x∈R(1−P)即N(P)⊂R(I−P)N(P)\subset R(I-P)N(P)⊂R(I−P)
综上，得证。理解R(p)R(p)R(p)的值域的含义很关键

1.2.2定理

n阶方阵P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵（投影的子空间为R(P),N(P)R(P),N(P)R(P),N(P)）
证明：
充分性：
分析：成为投影矩阵需要满足R(P)+N(P)=CnR(P)+N(P)=C^nR(P)+N(P)=Cn且R(P)⋂N(P)={0}R(P)\bigcap N(P)=\{0\}R(P)⋂N(P)={0}
首先证明第一点：
∵∀x∈Cn有\because \forall x\in C^n有∵∀x∈Cn有 x=x+Px−Px=Px+(I−P)xx=x+Px-Px=Px+(I-P)xx=x+Px−Px=Px+(I−P)x ∵Px∈R(P),(I−P)x∈R(I−P)=N(P)\because Px\in R(P), (I-P)x\in R(I-P)=N(P)∵Px∈R(P),(I−P)x∈R(I−P)=N(P) ∴R(P)+N(P)=Cn\therefore R(P)+N(P)=C^n∴R(P)+N(P)=Cn 接下来证明R(P)⋂N(P)={0}R(P)\bigcap N(P)=\{0\}R(P)⋂N(P)={0}
一方面，x∈R(P),x=Pux\in R(P),x=Pux∈R(P),x=Pu另一方面x∈N(P)，Px=Ox\in N(P)，Px=Ox∈N(P)，Px=O Px=O=P2u=Pu=x=0(Pu=x说明x是在R(P)之中的)Px=O= P^2u=Pu =x=0(Pu=x说明x是在R(P)之中的)Px=O=P2u=Pu=x=0(Pu=x说明x是在R(P)之中的) ∴R(P)⋂N(P)={0}\therefore R(P)\bigcap N(P)=\{0\}∴R(P)⋂N(P)={0}充分性得证
接下来证明必要性：
∵∀x∈Cn,∃唯一分解有y∈L,z∈M使得x=y+z且Px=y\because \forall x\in C^n,\exists 唯一分解有 y\in L,z\in M 使得x=y+z且Px=y∵∀x∈Cn,∃唯一分解有y∈L,z∈M使得x=y+z且Px=y P2x=Py=y=Px(对于y,有唯一分解y=y+o)P^2x= Py =y =Px (对于y,有唯一分解y=y+o)P2x=Py=y=Px(对于y,有唯一分解y=y+o) ∴P2=P\therefore P^2=P∴P2=P必要性得证

1.3投影矩阵的构造

依据Py=yPy=yPy=y
X=[x1,x2,...,xr]X=[x_1,x_2,...,x_r]X=[x1,x2,...,xr]是L的一组基,Y=[y1,y2,...,yn−r]Y=[y_1,y_2,...,y_{n-r}]Y=[y1,y2,...,yn−r]是M的一组基。那么有PL,M[XY]=[XO]P_{L,M}[XY]=[XO]PL,M[XY]=[XO]所以PL,M=[XO][XY]−1P_{L,M}=[XO][XY]^{-1}PL,M=[XO][XY]−1

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