(数学概念)矩阵的逆、伪逆、左右逆,最小二乘,投影矩阵
主要内容:
- 矩阵的逆、伪逆、左右逆
- 矩阵的左逆与最小二乘
- 左右逆与投影矩阵
一、矩阵的逆、伪逆、左右逆
1、矩阵的逆
定义:
设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=I。 则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。
可逆条件:
A是可逆矩阵的充分必要条件是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。(当 时,A称为奇异矩阵)
性质:
- 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
- 可逆矩阵一定是方阵。
- 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。
- 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
- 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
- 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
- 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
求逆方法:
伴随矩阵法、初等变换法
2、矩阵的伪逆和左右逆
伪逆矩阵:
伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵,但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinv为pseudo-inverse的缩写:max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A' 同型的矩阵X,并且满足:AXA=A,XAX=X.此时,称矩阵X为矩阵A的伪逆,也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性,但不与inv(A)完全等同。 如果A为非奇异方阵,pinv(A)=inv(A),但却会耗费大量的计算时间,相比较而言,inv(A)花费更少的时间。
伪逆矩阵求法:
A 为m*n矩阵,r代表矩阵的秩:
若矩阵A是方阵,且|A|!=0,则存在AA-1=E;
若A不是方阵,或者|A|=0,那么只能求A的伪逆,所谓伪逆是通过SVD计算出来的;
pinv(A)表示A是伪逆:
如果A列满秩,列向量线性无关,r=n,Ax=b为超定方程组,存在0个或1个解,那么,因为,因此也称为左逆;
如果A行满秩,行向量线性无关,Ax=b为欠定方程组,存在0个或无穷个解,那么,因为,因此也称为右逆;
如果秩亏损,那么只好先做奇异值分解,U,V是正交阵,D是对角阵;然后取对角阵S,如果D(i,i)=0,那么S(i,i)=0,如果D(i,i)<>0,那么S(i,i)=1/D(i,i)。于是;
二、矩阵的左逆与最小二乘
关于最小二乘可以参考:最小二乘的几何意义及投影矩阵http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5053354.html
其实,最小二乘就是一个超定方程组的求解问题,根据上述的了解,超定方程组的求解方法之一就是通过求伪逆的形式,具体来说就是求左逆。即:
最小二乘也可以从几何的角度来考虑,那就是下面要说的投影矩阵。
三、左右逆与投影矩阵
左逆中, ,如果将左逆写在A右边将得不到单位矩阵了,那么 是什么?是在A矩阵列空间(A矩阵各列张成的子空间)投影的投影矩阵,它会尽量靠近单位矩阵,一个投影矩阵很想成为单位矩阵,但不可能做到。
右逆中, ,如果将右逆写在A左边也不是单位矩阵了,那是什么?是在A矩阵行空间(A矩阵各行张成的子空间)投影的投影矩阵。
四、参考文章
http://baike.baidu.com/link?url=whnNGl6wlBJ7bIzn-ldxZ3KfXj03WlXxuJvLw2VPLcCjLvFtSU_7csPUyNQ57cMzk9zz-y6sG_7hrt88NHcg2a
http://baike.baidu.com/link?url=9BBn2Hc2IgUjr2bwr8CGOFvNRfSWZB3AW6_p5DjTxY74OtZJJYvXIMQPmQ3zDpDsX36HLkEbeskvVczEruqHFa
http://shijuanfeng.blogbus.com/logs/206966888.html
http://www.blogbus.com/shijuanfeng-logs/238839798.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_438e26440102vsm8.html
(数学概念)矩阵的逆、伪逆、左右逆,最小二乘,投影矩阵相关推荐
- 压缩感知中的数学知识:投影矩阵(projection matrix)
题目:压缩感知中的数学知识:投影矩阵(projection matrix) ========================背景======================== 关注于投影矩阵主要是看 ...
- 深入理解OpenGL之投影矩阵推导
深入理解OpenGL之投影矩阵推导 OpenGL流水线中的投影矩阵以及坐标变换 OpenGL中,投影矩阵在Vertex shader中使用,用于变换顶点.一般和Model, View矩阵结合成MVP矩 ...
- 【转】投影矩阵的推导
[转]投影矩阵的推导 原文:https://www.cnblogs.com/wonderKK/p/5695116.html 博主: 这篇文章写得非常好,对投影矩阵的推导清晰明了,但有个错误:推导的全程 ...
- 投影矩阵(投影变换)解惑
背景 投影矩阵的推导曾经让我困惑了很久,反思可能是自己数学知识的浅薄,所以很多大神写的关于投影矩阵的推导很明晰还是看不懂,好在经过两周的努力学习和思考,终于弄明白了这个问题,特此做一个总结和大家分享一 ...
- 投影矩阵的推导(Deriving Projection Matrices)
本文乃<投影矩阵的推导>译文,原文地址为: http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/math/article.php/c10123__1/Derivin ...
- 投影矩阵的推导(Deriving Projection Matrices)(转)
本文乃<投影矩阵的推导>译文,原文地址为: http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/math/article.php/c10123__1/Derivin ...
- (转)投影矩阵的推导(Deriving Projection Matrices)
转自:http://blog.csdn.net/gggg_ggg/article/details/45969499 本文乃<投影矩阵的推导>译文,原文地址为: http://www.cod ...
- 【线性代数】——投影矩阵
About 投影矩阵 一个矩阵AAA既可以表示一种线性变换,又可以是一个子空间(由基张开的),还可以是一组坐标,甚是神奇. 文章目录 About 投影矩阵 一维空间的投影矩阵 投影矩阵的多维推广 ...
- 3D游戏之投影矩阵算法技术实现
笔者介绍:姜雪伟,IT公司技术合伙人,IT高级讲师,CSDN社区专家,特邀编辑,畅销书作者,国家专利发明人,已出版书籍:<手把手教你架构3D游戏引擎>电子工业出版社 和<Unity3 ...
- 线性代数学习笔记5-2:正交投影、投影矩阵、最小二乘法LS、A^T A
正交投影 二维空间的投影 将向量投影到已知子空间,用线性代数的语言就是:误差向量和该子空间正交 向量的正交,可简单理解为两个向量在几何上垂直,即点积为零:x⋅y=0\boldsymbol x\cdot ...
最新文章
- Commons BeanUtils包学习2
- Linux下修改命令提示符
- c++builder中dbgrid控件排序_如何实现APP中各种布局效果?学会这几个控件就够了...
- 简单盘点手游开发引擎
- stm32 薄膜键盘原理_雷蛇发布第二代轻机械键盘,你了解什么是轻机械键盘吗?...
- GlassFish下手动部署JSF程序
- pathinfo函数
- Google完整安装包下载
- python调用默认播放器_在PotPlayer和MPV挂载SVP脚本进行补帧的部署方法
- 数量关系--容斥原理
- http://blog.sina.com.cn/s/blog_ad1c3bdf0102uz99.html
- 【数据分析】系列-Python分析淘宝4200款Bra(没错,就是文胸)后,发现最好卖的款式居然是。。。
- 零中频数字接收机原理
- 如何根据vin码查询_vin查配置 车辆VIN码查询车辆基本配置信息 知道车辆vin码怎么查配置...
- python xmxl 无法启动_auto-pypi-一个Python命令行工具,用于自动设置包并将其上载到PyPi。-Sen LEI Use As A Command Line Tool...
- 关于数据,你的慌张,百度云ABC可能有办法!
- JS 用角度换东南西北
- faspeed是什么意思_COCOS学习笔记--变速动作Speed和ActionEase
- iec61508最新2020_IEC61508标准解读
- 离职原因怎么写,离职原因大全