最大流最小割定理证明

最大流最小割定理

下面介绍网络流理论中一个最为重要的定理
最大流最小割定理(Maximum Flow, Minimum Cut Theorem):网络的最大流等于最小割
具体的证明分三部分

1.任意一个流都小于等于任意一个割

这个很好理解自来水公司随便给你家通点水构成一个流
恐怖分子随便砍几刀砍出一个割
由于容量限制每一根的被砍的水管子流出的水流量都小于管子的容量
每一根被砍的水管的水本来都要到你家的现在流到外面加起来得到的流量还是等于原来的流
管子的容量加起来就是割所以流小于等于割
由于上面的流和割都是任意构造的所以任意一个流小于任意一个割

2.构造出一个流等于一个割

当达到最大流时根据增广路定理
残留网络中s到t已经没有通路了否则还能继续增广
我们把s能到的的点集设为S 不能到的点集为T
构造出一个割集C[S,T] S到T的边必然满流否则就能继续增广
这些满流边的流量和就是当前的流即最大流
把这些满流边作为割就构造出了一个和最大流相等的割

3.最大流等于最小割

设相等的流和割分别为Fm和Cm
则因为任意一个流小于等于任意一个割
任意F≤Fm=Cm≤任意C
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作者：_Tham
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/txl199106/article/details/64441994
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