基本概念

网络流Network Flow，是用来研究现实生活中的水、电、油、气、交通、互联网等网络结构流量的数学分支。用图论抽象网络流模型，就是流网络。
流网络Flow Network，也叫传输网络Transport Network，是一种连通的无负权重的有向简单图。权重是用来代表容量的。
容量capacity，用cijc_{ij}cij表示节点iii到节点jjj的容量。
起点source vertex，终点sink vertex。
流量Flow，下面这张图表示了流量与容量的区别（这个图被很多地方“复用”,比如普林斯顿大学、印度理工学院等，我这里用的是普林斯顿大学的图）：

饱和边Saturated edge，流量等于容量的边，被称为饱和边。上图中3→63\to63→6就是一条饱和边。
流模式Flow Pattern，所有边流量都确定后，放入一个集合中，这个集合就叫流模式。
最大流模式Maximal Flow Pattern，起点的流出和终点的流入是相等的，记为w，使得w最大的流模式，叫做最大流模式。
割cut，割就是把流网络中的节点拆分为非空的两个子集，一个包含起点s，一个包含终点t，割的符号为(P,P‾)(P,\overline{P})(P,P)。如下图就是一种割方案（图片来自普林斯顿大学）：

割的容量Capacity of a Cut，符号为c(P,P‾)c(P,\overline{P})c(P,P)，是割的边界处的容量和，反向的需要按负数计算。

定理：流小于等于割容量

这个定理里的流是指由起点s到终点t的流，也就是起点出发的所有边的流总和，或到终点的所有边的流总和，记为www。定理是说在任何割里，起点到终点的流都要小于割容量。用数学语言表示就是w≤c(P,P‾)w\le c(P,\overline{P})w≤c(P,P)。这个的下面我给出证明。
首先对于中间节点j，流入等于流出：
∑i≠jfji−∑i≠jfij=0\sum_{i\neq j}f_{ji}-\sum_{i\neq j}f_{ij}=0 i=j∑fji−i=j∑fij=0
对于起点s，流出减去流入等于净流量w。
∑i≠sfsi−∑i≠sfis=w\sum_{i\neq s}f_{si}-\sum_{i\neq s}f_{is}=w i=s∑fsi−i=s∑fis=w
P里的点就两种，s和中间节点，把上面两个公式全部加起来，就是若干个0和一个w。所以可以得到这个公式：
∑k∈P,i∈Gfki−∑k∈P,i∈Gfik=w\sum_{k\in P, i \in G}f_{ki}-\sum_{k\in P, i \in G}f_{ik}=w k∈P,i∈G∑fki−k∈P,i∈G∑fik=w
再把上式中的i区分为来自PPP和P‾\overline{P}P，就有了：
∑k∈P,i∈Pfki+∑k∈P,i∈P‾fki−∑k∈P,i∈Pfik−∑k∈P,i∈P‾fik=w\sum_{k\in P, i \in P}f_{ki}+\sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ki}-\sum_{k\in P, i \in P}f_{ik}-\sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ik}=w\\ k∈P,i∈P∑fki+k∈P,i∈P∑fki−k∈P,i∈P∑fik−k∈P,i∈P∑fik=w
把整个P视为一个节点，其内部的流量相加肯定是0的，只往外流出w，所以其内部流量总和为0，所以有：
∑k∈P,i∈Pfki−∑k∈P,i∈Pfik=0\sum_{k\in P, i \in P}f_{ki}-\sum_{k\in P, i \in P}f_{ik}=0 k∈P,i∈P∑fki−k∈P,i∈P∑fik=0
两个式子抵消下，有：
∑k∈P,i∈P‾fki−∑k∈P,i∈P‾fik=w\sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ki}-\sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ik}=w k∈P,i∈P∑fki−k∈P,i∈P∑fik=w
这个公式就是说对于割，PPP流入P‾\overline{P}P减去P‾\overline{P}P流入PPP等于净流量w。这么复杂的数学过程等于证明了一句废话。P‾\overline{P}P流入PPP的流量，也就是∑k∈P,i∈P‾fik\sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ik}∑k∈P,i∈Pfik是个非负数，所以有：
w≤∑k∈P,i∈P‾fki∵∑k∈P,i∈P‾fki≤∑k∈P,i∈P‾cki=c(P,P‾)∴w≤c(P,P‾)w \le \sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ki}\\ \because \sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ki}\le \sum_{k\in P, i \in \overline{P}}c_{ki}=c(P,\overline{P})\\ \therefore w \le c(P,\overline{P}) w≤k∈P,i∈P∑fki∵k∈P,i∈P∑fki≤k∈P,i∈P∑cki=c(P,P)∴w≤c(P,P)
Q.E.D.（证明完毕）

Max-Flow Min-Cut Theorem

该定理在1956年由Ford-Fulkerson提出，内容是最大流等于最小割容量。上面那个定理是对于任何割法，流都小于割容量。现在是说只要找到最小的割容量的割方案，就找到了最大流。下面我给出证明：
从流小于等于割容量的证明过程，我们有：
w≤∑k∈P,i∈P‾fki≤∑k∈P,i∈P‾cki=c(P,P‾)w \le \sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ki}\le \sum_{k\in P, i \in \overline{P}}c_{ki}=c(P,\overline{P}) w≤k∈P,i∈P∑fki≤k∈P,i∈P∑cki=c(P,P)
因为最大流是一个固定的数字。我们只要证明上述不等式存在两个等号同时满足的场景就可以了。第一个不等式满足的条件是什么？是下列条件：
∑k∈P,i∈P‾fik=0\sum_{k\in P, i \in \overline{P}}f_{ik}=0 k∈P,i∈P∑fik=0
也就是从P‾\overline{P}P流入P的流量为0。也就是这个割反向流量为0。那另一个等号呢？就是割的流量等于容量，也就是割的边界全部是饱和边。所以证明的难点就在这里，既要证明存在，又要证明这时候反向流量为0。首先，一个流网络肯定存在一个最大的流模式的。假设这个流模式下的流量为w∗w^*w∗，也就是把最大流定义为w∗w^*w∗。
然后我们定义一个割(P∗,P‾∗)(P^*,\overline{P}^*)(P∗,P∗)，定义如下规则：
1. s∈P∗s\in P^*s∈P∗
2. 然后按以下方式递归找P∗P^*P∗中其他点：对于P∗P^*P∗中的i，如果存在j，使得fij<cijf_{ij}\lt c_{ij}fij<cij或fji>0f_{ji}\gt0fji>0，那么把j放入P∗P^*P∗中。
fji>0f_{ji}\gt0fji>0的点全部在P∗P^*P∗中，这样就保证了反向流量为0。fji<cjif_{ji}\lt c_{ji}fji<cji或fij<cijf_{ij}\lt c_{ij}fij<cij保证了不饱和的边不会出现在边界上。这样递归下去肯定可以的，如果不存在满足条件的点，至少还有s嘛。但是会有个问题，会不会包含t呢？如果包含了终点t，那么就证明不存在这样的割。所以现在只需要证明上述方案不会包含t就可以了。
如果t包含进去了，那么t肯定是按上述的规则链被包含进去的，那么找到t的过程，就定义为一个路径s,v1,v2,…,vi,vi+1,…,ts,v_1,v_2,\dots,v_i,v_{i+1},\dots,ts,v1,v2,…,vi,vi+1,…,t，这条路径上所有的边，要么是反向边，要么是正向的不饱和边。把这条路径上的最小容量余量cvjvj+1−fvjvj+1c_{v_jv_{j+1}}-f_{v_jv_{j+1}}cvjvj+1−fvjvj+1,定义为β1\beta_1β1，把最小的反向容量定义为β2\beta_2β2，把β\betaβ定义为min(β1,β2)min(\beta_1,\beta_2)min(β1,β2)。这个时候把这个路径上每个正向边的流量增加β\betaβ，同时每个反向边的流量减少β\betaβ，因为是从s出发的，所以守恒，这样增加是没问题的。这个时候图的流量增加了β\betaβ，与此时流量w∗w^*w∗为图的最大流量矛盾。
Q.E.D.（证明完毕）

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8.10 最大流最小割定理

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定理：流小于等于割容量

Max-Flow Min-Cut Theorem

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