勒让德多项式学习笔记

数学物理方法（顾樵）》第14章学习笔记

第一节勒让德方程的引入

将直角坐标的三维拉普拉斯方程 转换为极坐标形式，通过分离变量法、变量代换及设置特殊值的方法，得到勒让德方程：
(1−x2)y′′−2xy′+l(l+1)y=0(1-x^2)y''-2xy'+l(l+1)y=0(1−x2)y′′−2xy′+l(l+1)y=0

另一种形式：
1sin⁡θddθ(sin⁡θdΘdθ)=−l(l+1)Θ\frac{1}{\sin \theta}\frac{d}{d\theta}(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta})=-l(l+1)\Thetasinθ1dθd(sinθdθdΘ)=−l(l+1)Θ

第二节勒让德多项式

由配方法得到勒让德方程在 0 处的幂级数解：
y(x)=C0y0(x)+C1y1(x)y(x)=C_0y_0(x)+C_1y_1(x)y(x)=C0y0(x)+C1y1(x)

其中：
y0(x)=1−l(l+1)2!x2+(l−2)l(l+1)(l+3)4!x4−(l−4)(l−2)l(l+1)(l+3)(l+5)6!x6+(l−6)(l−4)(l−2)l(l+1)(l+3)(l+5)(l+7)8!x8−⋅⋅⋅\begin{aligned} y_0(x)=&1-\frac{l(l+1)}{2!}x^2+\frac{(l-2)l(l+1)(l+3)}{4!}x^4\\ &-\frac{(l-4)(l-2)l(l+1)(l+3)(l+5)}{6!}x^6\\ &+\frac{(l-6)(l-4)(l-2)l(l+1)(l+3)(l+5)(l+7)}{8!}x^8\\ &-\cdot\cdot\cdot \end{aligned}y0(x)=1−2!l(l+1)x2+4!(l−2)l(l+1)(l+3)x4−6!(l−4)(l−2)l(l+1)(l+3)(l+5)x6+8!(l−6)(l−4)(l−2)l(l+1)(l+3)(l+5)(l+7)x8−⋅⋅⋅
y1=x−(l−1)(l+2)3!x3+(l−3)(l−1)(l+2)(l+4)5!x5−(l−5)(l−3)(l−1)(l+2)(l+4)(l+6)7!x7+⋅⋅⋅\begin{aligned} y_1=&x-\frac{(l-1)(l+2)}{3!}x^3+\frac{(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)}{5!}x^5\\ &-\frac{(l-5)(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)(l+6)}{7!}x^7\\ &+\cdot\cdot\cdot \end{aligned}y1=x−3!(l−1)(l+2)x3+5!(l−3)(l−1)(l+2)(l+4)x5−7!(l−5)(l−3)(l−1)(l+2)(l+4)(l+6)x7+⋅⋅⋅

由达朗贝尔判别法知，y0(x)y_0(x)y0(x) 与 y1(x)y_1(x)y1(x) 的收敛半径为：1。
lll 特殊值下的解
y0(x)=C0+C2x2+C4x4+⋅⋅⋅+Clxl(l为偶数)y_0(x)=C_0+C_2 x^2+C_4 x^4+\cdot\cdot\cdot+C_l x^l\ \ \ \ (l\ 为偶数)y0(x)=C0+C2x2+C4x4+⋅⋅⋅+Clxl (l 为偶数)
y1=C1x+C3x3+C5x5+⋅⋅⋅+Clxl(l为奇数)y_1=C_1 x+C_3 x^3+C_5 x^5+\cdot\cdot\cdot+C_l x^l\ \ \ \ (l\ 为奇数)y1=C1x+C3x3+C5x5+⋅⋅⋅+Clxl (l 为奇数)
设
Cl=(2l)!2l(l!)2C_l=\frac{(2l)!}{2^l(l!)^2}Cl=2l(l!)2(2l)!
则对 y0y_0y0 与 y1y_1y1 有一个统一的形式：
Pl(x)=12l∑m=0M(−1)m(2l−2m)!m!(l−m)!(l−2m)!xl−2mP_l(x)=\frac{1}{2^l}\sum_{m=0}^M (-1)^m\frac{(2l-2m)!}{m!(l-m)!(l-2m)!}x^{l-2m}Pl(x)=2l1m=0∑M(−1)mm!(l−m)!(l−2m)!(2l−2m)!xl−2m

其中
M={l2(l=0,2,4,...)l−12(l=1,3,5,...)M=\begin{dcases}\frac{l}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (l=0,2,4,...)\\ \\ \frac{l-1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (l=1,3,5,...)\end{dcases}M=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧2l (l=0,2,4,...)2l−1 (l=1,3,5,...)

勒让德方程的通解 可写为：
y(x)=APl(x)+BQl(x)y(x)=AP_l(x)+BQ_l(x)y(x)=APl(x)+BQl(x)

其中 Ql(x)Q_l(x)Ql(x) 是无穷级数，称为 第二类勒让德函数。

第三节勒让德多项式的基本性质

性质	表达式
微分性质	Pl(x)=12ll!dldxl(x2−1)lP_l(x)=\frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^lPl(x)=2ll!1dxldl(x2−1)l
积分性质	Pl(x)=1π∫0π(x+x2−1cos⁡ϕ)ldϕP_l(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}(x+\sqrt{x^2-1}\cos \phi)^ld\phiPl(x)=π1∫0π(x+x2−1cosϕ)ldϕ
生成函数	11−2rx+r2=∑l=0∞Pl(x)rl(∣x∣≤1,∣r∣<1)\frac{1}{\sqrt{1-2rx+r^2}}=\sum_{l=0}^\infty P_l(x)r^l\ \ \ (\lvert x \rvert \le 1,\ \lvert r \rvert <1)1−2rx+r21=∑l=0∞Pl(x)rl (∣x∣≤1, ∣r∣<1)

递推公式

n=1,2,3,…

(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x)(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x)
Pn(x)=Pn+1′(x)−2xPn′(x)+Pn−1′(x)P_n(x)=P'_{n+1}(x)-2xP'_n(x)+P'_{n-1}(x)Pn(x)=Pn+1′(x)−2xPn′(x)+Pn−1′(x)
xPn′(x)−Pn−1′(x)=nPn(x)xP'_n(x)-P'_{n-1}(x)=nP_n(x)xPn′(x)−Pn−1′(x)=nPn(x)
Pn+1′(x)−Pn−1′(x)=(2n+1)Pn(x)P'_{n+1}(x)-P'_{n-1}(x)=(2n+1)P_n(x)Pn+1′(x)−Pn−1′(x)=(2n+1)Pn(x)
nPn+1′(x)+(n+1)Pn−1′(x)=(2n+1)xPn′(x)nP'_{n+1}(x)+(n+1)P'_{n-1}(x)=(2n+1)xP'_n(x)nPn+1′(x)+(n+1)Pn−1′(x)=(2n+1)xPn′(x)

n=0,1,2,…

Pn+1′(x)=(n+1)Pn(x)+xPn′(x)P'_{n+1}(x)=(n+1)P_n(x)+xP'_n(x)Pn+1′(x)=(n+1)Pn(x)+xPn′(x)

第四节勒让德多项式的正交完备性

正交性
考察在勒让德多项式上的勒让德方程的施图姆-刘维尔形式

一个重要的积分公式：
∫−1xPl(x)Pm(x)dx=−(1−x2)[Pl(x)Pm′(x)−Pm(x)Pl′(x)]m(m+1)−l(l+1)(l≠m)\int_{-1}^x P_l(x)P_m(x)dx=-\frac{(1-x^2)[P_l(x)P'_m(x)-P_m(x)P'_l(x)]}{m(m+1)-l(l+1)}\ \ \ \ (l\ne m)∫−1xPl(x)Pm(x)dx=−m(m+1)−l(l+1)(1−x2)[Pl(x)Pm′(x)−Pm(x)Pl′(x)] (l=m)
模值
∫−11Pl2(x)dx=22l+1dx\int_{-1}^1 P_l^2(x)dx=\frac{2}{2l+1}dx∫−11Pl2(x)dx=2l+12dx

完备性
在 [−1,1][-1,1][−1,1] 上的分段光滑函数 f(x)f(x)f(x) 可以按勒让德多项式级数展开
f(x)=∑l=0∞ClPl(x)f(x)=\sum_{l=0}^\infty C_l P_l(x)f(x)=l=0∑∞ClPl(x)

其中：
Cl=2l+12∫−11Pl(x)f(x)dxC_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1 P_l(x)f(x)dxCl=22l+1∫−11Pl(x)f(x)dx
在间断点 x=x0x=x_0x=x0 处：
∑l=0∞ClPl(x0)=f(x0−0)+f(x0+0)2\sum_{l=0}^\infty C_l P_l(x_0) = \frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}l=0∑∞ClPl(x0)=2f(x0−0)+f(x0+0)