数理统计复习笔记八—

1. Kolmogorov检验

数理统计复习笔记六——Pearson卡方拟合优度检验说明了χ2\chi^2χ2拟合优度检验，如果分点选的不是很好，可能会把两个有一定差别的分布检验为没有区别，而Kolmogorov检验则可避免其不足。

由于样本经验分布函数Fn(x)F_n(x)Fn(x)(详见样本经验分布函数)是F(x)F(x)F(x)的一个很好的估计，故当H0:F(x)≡F0(x)(1)H_0:F(x)\equiv F_0(x)\tag1H0:F(x)≡F0(x)(1)成立时，Fn(x)F_n(x)Fn(x)与F(x)F(x)F(x)应该相差不大，于是可以用统计量Dn=sup⁡x∣Fn(x)−F(x)∣(2)D_n=\sup_x\mid F_n(x)-F(x)\mid\tag2Dn=xsup∣Fn(x)−F(x)∣(2)
来衡量Fn(x)F_n(x)Fn(x)与F(x)F(x)F(x)之间的差别，且拒绝域为{Dn≥c}\{D_n\ge c\}{Dn≥c}。当F0F_0F0连续且H0H_0H0成立时，DnD_nDn的精确分布是已知的，不过比较复杂。

2. Kolmogorov检验与χ2\chi^2χ2拟合优度检验的对比

当F0(x)F_0(x)F0(x)为完全已知的连续分布时，Kolmogorov检验优于χ2\chi^2χ2拟合优度检验，但如果F0(x)F_0(x)F0(x)是离散型的或含有未知参数，则Kolmogorov检验无法使用
当F0(x)F_0(x)F0(x)是离散型的或含有未知参数，DnD_nDn的精确分布是未知的，所以Kolmogorov检验无法使用，但χ2\chi^2χ2拟合优度检验可以使用（如果F0(x)F_0(x)F0(x)是正态分布和指数分布的分布函数，有人给出了DnD_nDn的分布）
对于两样本分布假设检验问题，即设X1,⋯,XmX_1,\cdots,X_mX1,⋯,Xm和Y1,⋯,YnY_1,\cdots,Y_nY1,⋯,Yn为分别来自总体FFF和GGG的IIDIIDIID样本，且全样本独立，则可以用统计量Dmn=sup⁡x∣Fn(x)−Gm(x)∣(3)D_{mn}=\sup_x\mid F_n(x)-G_m(x)\mid\tag3Dmn=xsup∣Fn(x)−Gm(x)∣(3)进行分布检验，且拒绝域为Dmn≥cD_{mn}\ge cDmn≥c，其中，Fn(x)F_n(x)Fn(x)和Gm(x)G_m(x)Gm(x)分别表示总体X,YX, YX,Y的经验分布函数。由于SmirnovSmirnovSmirnov给出了此统计量的极限分布，于是称之为Kolmogorov−SmirnovKolmogorov-SmirnovKolmogorov−Smirnov检验
Kolmogorov检验很难处理多维数据的分布检验，而χ2\chi^2χ2拟合优度检验则与一维类似

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