酉矩阵（幺正矩阵、unitary matrix）

1，定义

如果一个n阶复数方阵U满足下列条件：
U†U=UU†=In,其中In为n阶单位方阵，U†为U的共轭转置矩阵，U^\dagger U=UU^\dagger=I_n, 其中I_n为n阶单位方阵，U^\dagger为U的共轭转置矩阵，U†U=UU†=In,其中In为n阶单位方阵，U†为U的共轭转置矩阵，
则称U为酉矩阵。

2，性质

2.1 矩阵U为酉矩阵的充要条件是它的共轭转置矩阵等于其逆矩阵：
U†=U−1U^\dagger=U^{-1}U†=U−1

2.2 若酉矩阵的元素全是实数，则其为正交矩阵。

2.3 |det(U)| = 1

2.4 ∣∣Ux∣∣2=∣∣x∣∣2||Ux||_2=||x||_2∣∣Ux∣∣2=∣∣x∣∣2

2.5 若U为n阶方阵，则下列条件等价：
U是酉矩阵；
U†U^\daggerU†为酉矩阵；
U的列向量构成的内积空间Cn上的一组标准正交基C^n上的一组标准正交基Cn上的一组标准正交基；
U的行向量构成的内积空间Cn上的一组标准正交基C^n上的一组标准正交基Cn上的一组标准正交基。

note: 内积空间是线性代数里的基本概念，它是指增加了额外结构的向量空间。这个额外的结构将一对向量与一个标量联系起来，从而容许我们正式讨论向量的长度和夹角，也为定义正交性提供了基础。内积空间是欧几里得空间的泛化（内积空间的内积对应着欧氏空间的点积）。

2.6 酉矩阵可以被分解为
U=VΣV∗U=V\Sigma V^*U=VΣV∗，其中V是酉矩阵，Σ\SigmaΣ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

note: 对角阵，指除了主对角线外，其它位置元素都为0的矩阵。

酉变换

酉变换(unitary transformation)是指酉空间V的等度量变换。
∀α,β∈V，满足条件(σ(α),σ(β))=(α,β)的线性变换σ就叫做酉变换\forall \alpha, \beta \in V，满足条件(\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=(\alpha, \beta)的线性变换\sigma就叫做酉变换∀α,β∈V，满足条件(σ(α),σ(β))=(α,β)的线性变换σ就叫做酉变换。