高斯核卷积高斯核

之前看sift源码中有个概念，就是对一张图像I0I_0I0，先进行标准差为σ1\sigma_1σ1的高斯核卷积，得到I1I_1I1，再基于I1I_1I1进行标准差为σ2\sigma_2σ2的高斯核卷积得到图像I2I_2I2，和I0I_0I0直接进行一次标准差为σ\sigmaσ的高斯核的卷积得到I2I_2I2之间的关系。写成表达式就是I0∗g1∗g2I_0*g1*g2I0∗g1∗g2是否等于I0∗(g1∗g2)I_0*(g1*g2)I0∗(g1∗g2)，如果成立g=g1∗g2g=g1*g2g=g1∗g2是个什么东东。结论是等号成立的，并且ggg也是一个标准差为σ\sigmaσ的高斯分布的概率密度函数，且σ2=σ12+σ22\sigma^2=\sigma_1^2 + \sigma_2^2σ2=σ12+σ22。结合律留给有兴趣的读者，下面证明方差之间的关系。

证明

设g1,g2g_1,g_2g1,g2是两个1维正态分布的概率密度函数：
g1(x)=12πσ1e−(x−μ1)22σ12g_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}{e}^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}g1(x)=2πσ11e−2σ12(x−μ1)2
g2(x)=12πσ2e−(x−μ2)22σ22g_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}}g2(x)=2πσ21e−2σ22(x−μ2)2

在无穷区间上的积分，被积函数的自变量发生平移并不影响积分结果，为了简化计算，不妨设μ1=μ2=0\mu_1=\mu_2=0μ1=μ2=0.
从而，

f(t)=g1(x)∗g2(x)f(t)=g_1(x)*g_2(x)f(t)=g1(x)∗g2(x)
=∫−∞∞g1(x)g2(t−x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g_1(x)g_2(t-x)dx=∫−∞∞g1(x)g2(t−x)dx
=12πσ1σ2∫−∞∞e−x22σ12−−(t−x)22σ22dx=\displaystyle{\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-x^2}{2\sigma_1^2}-\frac{-(t-x)^2}{2\sigma_2^2}}}dx=2πσ1σ21∫−∞∞e2σ12−x2−2σ22−(t−x)2dx

下面对积分部分进行计算
∫−∞∞e−x22σ12−−(t−x)22σ22dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-x^2}{2\sigma_1^2}-\frac{-(t-x)^2}{2\sigma_2^2}}dx∫−∞∞e2σ12−x2−2σ22−(t−x)2dx
=∫−∞∞e−x2σ22−σ12(t−x)22σ12σ22dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-x^2\sigma_2^2-\sigma_1^2(t-x)^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx=∫−∞∞e2σ12σ22−x2σ22−σ12(t−x)2dx

=∫−∞∞ex2σ22+σ12t2+σ12x2−2σ12tx−2σ12σ22dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{x^2\sigma_2^2+\sigma_1^2t^2+\sigma_1^2x^2-2\sigma_1^2tx}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx=∫−∞∞e−2σ12σ22x2σ22+σ12t2+σ12x2−2σ12txdx

=∫−∞∞e(σ12+σ22)(x−σ12tσ12+σ22)2−σ14t2(σ12+σ22)2⋅(σ12+σ22)+σ12t2−2σ12σ22dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})^2-\frac{\sigma_1^4t^2}{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)^2}\cdot(\sigma_1^2+\sigma_2^2)+\sigma_1^2t^2}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx=∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)(x−σ12+σ22σ12t)2−(σ12+σ22)2σ14t2⋅(σ12+σ22)+σ12t2dx

=∫−∞∞e(σ12+σ22)(x−σ12tσ12+σ22)2+σ12σ22t2σ12+σ22−2σ12σ22dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})^2+\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx=∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)(x−σ12+σ22σ12t)2+σ12+σ22σ12σ22t2dx

=∫−∞∞e(σ12+σ22)(x−σ12tσ12+σ22)2−2σ12σ22−t2σ12+σ22dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})^2}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}-\frac{t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}dx=∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)(x−σ12+σ22σ12t)2−σ12+σ22t2dx

=e−t2σ12+σ22∫−∞∞e(σ12+σ22)(x−σ12tσ12+σ22)2−2σ12σ22dx=e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})^2}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx=eσ12+σ22−t2∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)(x−σ12+σ22σ12t)2dx

前面说过，无穷积分上被积函数的自变量平移操作不影响积分值（可以用换元法证明，令y=x−σ12tσ12+σ22y=x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}y=x−σ12+σ22σ12t,dx=dydx=dydx=dy，换元必换限，这里上下限依旧是正负无穷，不变）
上式
=e−t2σ12+σ22∫−∞∞e(σ12+σ22)x2−2σ12σ22dx=e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)x^2}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx=eσ12+σ22−t2∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)x2dx

=e−t2σ12+σ22∫−∞∞e−(σ12+σ222σ1σ2x)2dx=e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(\frac{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{\sqrt{2}\sigma_1\sigma_2}x)^2}dx=eσ12+σ22−t2∫−∞∞e−(2σ1σ2σ12+σ22x)2dx

令y=σ12+σ222σ1σ2xy=\frac{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{\sqrt{2}\sigma_1\sigma_2}xy=2σ1σ2σ12+σ22x,则dx=2σ1σ2σ12+σ22dydx=\frac{\sqrt{2}\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}dydx=σ12+σ222σ1σ2dy，换元必换限，上下限依旧是正负无穷不变，从而有
原式
=e−t2σ12+σ22∫−∞∞e−y2⋅2σ1σ2σ12+σ22dy=e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\cdot\frac{\sqrt2\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}dy=eσ12+σ22−t2∫−∞∞e−y2⋅σ12+σ222σ1σ2dy

=e−t2σ12+σ222σ1σ2σ12+σ22∫−∞∞e−y2dy=e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\frac{\sqrt2\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy=eσ12+σ22−t2σ12+σ222σ1σ2∫−∞∞e−y2dy

=e−t2σ12+σ222σ1σ2σ12+σ22π=e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\frac{\sqrt2\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\sqrt\pi=eσ12+σ22−t2σ12+σ222σ1σ2π

其中∫−∞∞e−y2dy=π\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy=\sqrt\pi∫−∞∞e−y2dy=π，一般的高数书上都有，不等式放缩证明收敛性；平方后取极坐标，再两边夹取极限得到收敛的值。

最后得到
f(t)=12πσ1σ2⋅e−t2σ12+σ22⋅2σ1σ2σ12+σ22⋅πf(t)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\cdot e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\cdot\frac{\sqrt2\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\cdot\sqrt\pif(t)=2πσ1σ21⋅eσ12+σ22−t2⋅σ12+σ222σ1σ2⋅π
=12πσ12+σ22e−t2σ12+σ22=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}=2πσ12+σ221eσ12+σ22−t2
=12πσe−t2σ2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-t^2}{\sigma^2}}=2πσ1eσ2−t2
即f(t)f(t)f(t)是标准差为σ\sigmaσ的高斯分布的概率密度函数，其中σ2=σ12+σ22\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2σ2=σ12+σ22，证毕。

从理论上说，一张图先后经过σ1,σ2\sigma_1,\sigma_2σ1,σ2的高斯模糊和直接经过σ\sigmaσ的模糊后的状态是一样的，但是实际操作中，由于高斯核模板大小并不是无穷的，而是取了有限个元，所以其中的误差累计，具体会是什么结果也难以预料，只能多做做实验进行对比了。而在sift尺度空间的构造中，因为σ\sigmaσ比σ2\sigma_2σ2大，所以对应的高斯模板也会大一点，运算量就大了。也就是在I0,I1I_0,I_1I0,I1已知的情况下，由I1I_1I1得到I2I_2I2比由I0I_0I0得到I2I_2I2的实际运算量会小点。

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