题前注

  以下凡涉及三阶行列式的展开皆沿用P9的定义式（即按第一列展开）：
∣A∣=a11M11−a21M21+a31M31,\left| A \right|={{a}_{11}}{{M}_{11}}-{{a}_{21}}{{M}_{21}}+{{a}_{31}}{{M}_{31}},∣A∣=a11​M11​−a21​M21​+a31​M31​,
其中
∣A∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣.\left| A \right|=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|.∣A∣=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​.

1. 计算下列行列式:
(1) ∣23−502−100−2∣\left| \begin{matrix} 2 & 3 & -5 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣​200​320​−5−1−2​∣∣∣∣∣∣​；(2) ∣012211−131∣\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣​02−1​113​211​∣∣∣∣∣∣​.

解

1. 该行列式是上三角行列式，因此直接有
   ∣23−502−100−2∣=2×2×(−2)=−8.\left| \begin{matrix} 2 & 3 & -5 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{matrix} \right|=2\times 2\times \left( -2 \right)=-8.∣∣∣∣∣∣​200​320​−5−1−2​∣∣∣∣∣∣​=2×2×(−2)=−8.

∣012211−131∣→=2r3→r2∣012073−131∣=(−1)×∣1273∣=11.\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{2r_3 \to r_2} \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 7 & 3 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right)\times \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 3 \\ \end{matrix} \right|=11.∣∣∣∣∣∣​02−1​113​211​∣∣∣∣∣∣​2r3​→r2​=​∣∣∣∣∣∣​00−1​173​231​∣∣∣∣∣∣​=(−1)×∣∣∣∣​17​23​∣∣∣∣​=11.

2. 计算下列行列式:
(1) ∣123246−37−2∣\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ -3 & 7 & -2 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣​12−3​247​36−2​∣∣∣∣∣∣​；(2) ∣024211−131∣\left| \begin{matrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣​02−1​213​411​∣∣∣∣∣∣​.

解

1. 观察到第二行恰好是第一行的222倍，于是直接有
   ∣123246−37−2∣=0.\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ -3 & 7 & -2 \\ \end{matrix} \right|=0.∣∣∣∣∣∣​12−3​247​36−2​∣∣∣∣∣∣​=0.
2. 借助第1题的第（2）问，直接有
   ∣024211−131∣=2×∣012211−131∣=22.\left| \begin{matrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=2\times \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=22.∣∣∣∣∣∣​02−1​213​411​∣∣∣∣∣∣​=2×∣∣∣∣∣∣​02−1​113​211​∣∣∣∣∣∣​=22.

3. 计算下列行列式:
(1) ∣xyzx+1y+1z+1x+2y+2z+2∣\left| \begin{matrix} x & y & z \\ x+1 & y+1 & z+1 \\ x+2 & y+2 & z+2 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣​xx+1x+2​yy+1y+2​zz+1z+2​∣∣∣∣∣∣​；(2) ∣xx2+1−10−xex100∣\left| \begin{matrix} x & {{x}^{2}}+1 & -1 \\ 0 & -x & {{e}^{x}} \\ 1 & 0 & 0 \\\end{matrix} \right|∣∣∣∣∣∣​x01​x2+1−x0​−1ex0​∣∣∣∣∣∣​.

解

1. 观察到第二、三行恰好同第一行各相差常数111，222，于是有
   ∣xyzx+1y+1z+1x+2y+2z+2∣→∣xyz111222∣=r3=2r20.\left| \begin{matrix} x & y & z \\ x+1 & y+1 & z+1 \\ x+2 & y+2 & z+2 \\ \end{matrix} \right|\to \left| \begin{matrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_3 = 2r_2}0.∣∣∣∣∣∣​xx+1x+2​yy+1y+2​zz+1z+2​∣∣∣∣∣∣​→∣∣∣∣∣∣​x12​y12​z12​∣∣∣∣∣∣​r3​=2r2​0.

∣xx2+1−10−xex100∣→×(−1)r1↔r3，然后转置−∣10x0−xx2+10ex−1∣=−1⋅∣−xx2+1ex−1∣=ex(x2+1)−x.\left| \begin{matrix} x & {{x}^{2}}+1 & -1 \\ 0 & -x & {{e}^{x}} \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[\times(-1)]{r_1 \leftrightarrow r_3，然后转置} -\left| \begin{matrix} 1 & 0 & x \\ 0 & -x & {{x}^{2}}+1 \\ 0 & {{e}^{x}} & -1 \\ \end{matrix} \right| =-1\centerdot \left| \begin{matrix} -x & {{x}^{2}}+1 \\ {{e}^{x}} & -1 \\ \end{matrix} \right|={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x.∣∣∣∣∣∣​x01​x2+1−x0​−1ex0​∣∣∣∣∣∣​r1​↔r3​，然后转置×(−1)​−∣∣∣∣∣∣​100​0−xex​xx2+1−1​∣∣∣∣∣∣​=−1⋅∣∣∣∣​−xex​x2+1−1​∣∣∣∣​=ex(x2+1)−x.

4. 解下列方程:
(1) ∣1231x315−2∣=0\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & x & 3 \\ 1 & 5 & -2 \\\end{matrix} \right|=0∣∣∣∣∣∣​111​2x5​33−2​∣∣∣∣∣∣​=0；(2)∣x−21−2221−111∣=0\left| \begin{matrix} x-2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0∣∣∣∣∣∣​x−22−1​121​−211​∣∣∣∣∣∣​=0.

解
1.
∣1231x315−2∣→=−r1→r2，−r1→r3∣1230x−2003−5∣=1⋅∣x−203−5∣=−5(x−2)=0.⇒x=2.\begin{aligned} & \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & x & 3 \\ 1 & 5 & -2 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{-r_1\to r_2，-r_1\to r_3} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & x-2 & 0 \\ 0 & 3 & -5 \\ \end{matrix} \right|=1\centerdot \left| \begin{matrix} x-2 & 0 \\ 3 & -5 \\ \end{matrix} \right|=-5\left( x-2 \right)=0.\text{ } \\ & \Rightarrow \text{ }x=2. \\ \end{aligned}​∣∣∣∣∣∣​111​2x5​33−2​∣∣∣∣∣∣​−r1​→r2​，−r1​→r3​=​∣∣∣∣∣∣​100​2x−23​30−5​∣∣∣∣∣∣​=1⋅∣∣∣∣​x−23​0−5​∣∣∣∣​=−5(x−2)=0. ⇒ x=2.​
2.
∣x−21−2221−111∣→×(−1)c1↔c3∣−21x−212211−1∣→=2r3→r1，−r3→r2∣03x−401311−1∣=1⋅∣3x−413∣=9−(x−4)=0.⇒x=13.\begin{aligned} & \left| \begin{matrix} x-2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[\times(-1)]{c_1 \leftrightarrow c_3} \left| \begin{matrix} -2 & 1 & x-2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{2r_3 \to r_1，-r_3 \to r_2} \left| \begin{matrix} 0 & 3 & x-4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right|=1\centerdot \left| \begin{matrix} 3 & x-4 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right|=9-\left( x-4 \right)=0. \\ & \Rightarrow x=13. \\ \end{aligned}​∣∣∣∣∣∣​x−22−1​121​−211​∣∣∣∣∣∣​c1​↔c3​×(−1)​∣∣∣∣∣∣​−211​121​x−22−1​∣∣∣∣∣∣​2r3​→r1​，−r3​→r2​=​∣∣∣∣∣∣​001​311​x−43−1​∣∣∣∣∣∣​=1⋅∣∣∣∣​31​x−43​∣∣∣∣​=9−(x−4)=0.⇒x=13.​

5. 用行列式解下列三元一次方程组:
(1) {x1−x2+x3=2,x1+2x2=1,x1−x3=4.\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=2, \\ & {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1, \\ & {{x}_{1}}-{{x}_{3}}=4. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧​​x1​−x2​+x3​=2,x1​+2x2​=1,x1​−x3​=4.​ (2) {x+y+z=0,2x−5y−3z=10,4x+8y+2z=4.\left\{ \begin{aligned} & x+y+z=0, \\ & 2x-5y-3z=10, \\ & 4x+8y+2z=4. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧​​x+y+z=0,2x−5y−3z=10,4x+8y+2z=4.​

解
设关于x1,2,3{{x}_{1,2,3}}x1,2,3​的三元一次方程组的系数矩阵AAA和常数列向量bbb分别是
A=(aij)3×3,b=(bi)3×1.A={{\left( {{a}_{ij}} \right)}_{3\times 3}},\text{ }b={{\left( {{b}_{i}} \right)}_{3\times 1}}.A=(aij​)3×3​, b=(bi​)3×1​.
考虑解出x1{{x}_{1}}x1​的表达式：
∣b1a12a13b2a22a23b3a32a33∣=∣∑j=13a1jxja12a13∑j=13a2jxja22a23∑j=13a3jxja32a33∣→=−x2c2−x3c3→c1∣a11x1a12a13a21x1a22a23a31x1a32a33∣=x1∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣.\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{b}_{2}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{b}_{3}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \sum\limits_{j=1}^{3}{{{a}_{1j}}{{x}_{j}}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ \sum\limits_{j=1}^{3}{{{a}_{2j}}{{x}_{j}}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ \sum\limits_{j=1}^{3}{{{a}_{3j}}{{x}_{j}}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{-{{x}_{2}}{{c}_{2}}-{{x}_{3}}{{c}_{3}}\to {{c}_{1}}} \left| \begin{matrix} {{a}_{11}}{{x}_{1}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}}{{x}_{1}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}}{{x}_{1}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|={{x}_{1}}\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|.∣∣∣∣∣∣​b1​b2​b3​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​j=1∑3​a1j​xj​j=1∑3​a2j​xj​j=1∑3​a3j​xj​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​−x2​c2​−x3​c3​→c1​=​∣∣∣∣∣∣​a11​x1​a21​x1​a31​x1​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=x1​∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​.
于是有
x1=∣b1a12a13b2a22a23b3a32a33∣/∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣.(1){{x}_{1}}={\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{b}_{2}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{b}_{3}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|}/{\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|}\;. \tag{1}x1​=∣∣∣∣∣∣​b1​b2​b3​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​/∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​.(1)
同理有
x2=∣a11b1a13a21b2a23a31b3a33∣/∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣.(2){{x}_{2}}={\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{b}_{1}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{b}_{2}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{b}_{3}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|}/{\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|}\;. \tag{2}x2​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​b1​b2​b3​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​/∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​.(2)
x3=∣a11a12b1a21a22b2a31a32b3∣/∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣.(3){{x}_{3}}={\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{b}_{1}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{b}_{2}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{b}_{3}} \\ \end{matrix} \right|}/{\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|}\;. \tag{3}x3​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​b1​b2​b3​​∣∣∣∣∣∣​/∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​.(3)
将AAA的第j(=1,2,3)j\left( =1,2,3 \right)j(=1,2,3)列替换为bbb得到的矩阵记为A(j){{A}^{\left( j \right)}}A(j)，则上述公式可以简记为
x1,2,3=∣A(1,2,3)∣∣A∣.{{x}_{1,2,3}}=\frac{\left| {{A}^{\left( 1,2,3 \right)}} \right|}{\left| A \right|}.x1,2,3​=∣A∣∣∣​A(1,2,3)∣∣​​.

1. 系数矩阵AAA和常数列向量bbb分别为
   A=(1−1112010−1),b=(214).A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right),\text{ }b=\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{matrix} \right).A=⎝⎛​111​−120​10−1​⎠⎞​, b=⎝⎛​214​⎠⎞​.
   按照式（1），式（2），式（3），计算如下四个行列式
   ∣A∣=∣1−1112010−1∣→=−r1→r2，−r1→r3∣1−1103−101−2∣=1×∣3−11−2∣=−5.∣A(1)∣:=∣2−1112040−1∣→=−2r2→r1，−4r2→r3∣0−511200−8−1∣=−1×∣−51−8−1∣=−13.∣A(2)∣:=∣12111014−1∣→=−r1→r2，−r1→r3∣1210−1−102−2∣=1×∣−1−12−2∣=4.∣A(3)∣:=∣1−12121104∣→=−r1→r2，−r1→r3∣1−1203−1012∣=1×∣3−112∣=7.\begin{aligned} & \left| A \right|=\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{-r1 \to r_2，-r_1 \to r_3} \left| \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right|=1\times \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & -2 \\ \end{matrix} \right|=-5. \\ & \left| {{A}^{\left( 1 \right)}} \right|:=\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{-2r2 \to r_1，-4r_2 \to r_3} \left| \begin{matrix} 0 & -5 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-1\times \left| \begin{matrix} -5 & 1 \\ -8 & -1 \\ \end{matrix} \right|=-13. \\ & \left| {{A}^{\left( 2 \right)}} \right|:=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & -1 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{-r1 \to r_2，-r_1 \to r_3} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ \end{matrix} \right|=1\times \left| \begin{matrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \\ \end{matrix} \right|=4. \\ & \left| {{A}^{\left( 3 \right)}} \right|:=\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[=]{-r1 \to r_2，-r_1 \to r_3} \left| \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|=1\times \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right|=7. \\ \end{aligned}​∣A∣=∣∣∣∣∣∣​111​−120​10−1​∣∣∣∣∣∣​−r1→r2​，−r1​→r3​=​∣∣∣∣∣∣​100​−131​1−1−2​∣∣∣∣∣∣​=1×∣∣∣∣​31​−1−2​∣∣∣∣​=−5.∣∣∣​A(1)∣∣∣​:=∣∣∣∣∣∣​214​−120​10−1​∣∣∣∣∣∣​−2r2→r1​，−4r2​→r3​=​∣∣∣∣∣∣​010​−52−8​10−1​∣∣∣∣∣∣​=−1×∣∣∣∣​−5−8​1−1​∣∣∣∣​=−13.∣∣∣​A(2)∣∣∣​:=∣∣∣∣∣∣​111​214​10−1​∣∣∣∣∣∣​−r1→r2​，−r1​→r3​=​∣∣∣∣∣∣​100​2−12​1−1−2​∣∣∣∣∣∣​=1×∣∣∣∣​−12​−1−2​∣∣∣∣​=4.∣∣∣​A(3)∣∣∣​:=∣∣∣∣∣∣​111​−120​214​∣∣∣∣∣∣​−r1→r2​，−r1​→r3​=​∣∣∣∣∣∣​100​−131​2−12​∣∣∣∣∣∣​=1×∣∣∣∣​31​−12​∣∣∣∣​=7.​
   因此有
   {x1=∣A(1)∣∣A∣=135,x2=∣A(2)∣∣A∣=−45,x3=∣A(3)∣∣A∣=−75.\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}=\frac{\left| {{A}^{\left( 1 \right)}} \right|}{\left| A \right|}=\frac{13}{5},\text{ } \\ & {{x}_{2}}=\frac{\left| {{A}^{\left( 2 \right)}} \right|}{\left| A \right|}=-\frac{4}{5},\text{ } \\ & {{x}_{3}}=\frac{\left| {{A}^{\left( 3 \right)}} \right|}{\left| A \right|}=-\frac{7}{5}. \\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​x1​=∣A∣∣∣​A(1)∣∣​​=513​, x2​=∣A∣∣∣​A(2)∣∣​​=−54​, x3​=∣A∣∣∣​A(3)∣∣​​=−57​.​

2. 系数矩阵AAA和常数列向量bbb分别为
   A=(1112−5−3482),b=(0104).A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -5 & -3 \\ 4 & 8 & 2 \\ \end{matrix} \right),\text{ }b=\left( \begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 4 \\ \end{matrix} \right).A=⎝⎛​124​1−58​1−32​⎠⎞​, b=⎝⎛​0104​⎠⎞​.
   按照式（1），式（2），式（3），为了提高计算效率，考虑增广矩阵(A,b)\left( A,b \right)(A,b)的化简
   (11102−5−3104824)→−2r1→r2，−4r1→r3(11100−7−51004−24).\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & -3 & 10 \\ 4 & 8 & 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)\xrightarrow[]{-2r1 \to r_2，-4r_1 \to r_3} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -5 & 10 \\ 0 & 4 & -2 & 4 \\ \end{matrix} \right).⎝⎛​124​1−58​1−32​0104​⎠⎞​−2r1→r2​，−4r1​→r3​​⎝⎛​100​1−74​1−5−2​0104​⎠⎞​.
   于是有
   x1=∣01110−7−544−2∣∣1110−7−504−2∣=∣2310−17−500−2∣∣1110−7−504−2∣=2×(−17)×(−2)1×∣−7−54−2∣=22×1734=2.{{x}_{1}}=\frac{\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 10 & -7 & -5 \\ 4 & 4 & -2 \\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -7 & -5 \\ 0 & 4 & -2 \\ \end{matrix} \right|}=\frac{\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & -17 & -5 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -7 & -5 \\ 0 & 4 & -2 \\ \end{matrix} \right|}=\frac{2\times \left( -17 \right)\times \left( -2 \right)}{1\times \left| \begin{matrix} -7 & -5 \\ 4 & -2 \\ \end{matrix} \right|}=\frac{{{2}^{2}}\times 17}{34}=2.x1​=∣∣∣∣∣∣​100​1−74​1−5−2​∣∣∣∣∣∣​∣∣∣∣∣∣​0104​1−74​1−5−2​∣∣∣∣∣∣​​=∣∣∣∣∣∣​100​1−74​1−5−2​∣∣∣∣∣∣​∣∣∣∣∣∣​200​3−170​1−5−2​∣∣∣∣∣∣​​=1×∣∣∣∣​−74​−5−2​∣∣∣∣​2×(−17)×(−2)​=3422×17​=2.
   x2=∣101010−504−2∣34=1×∣10−54−2∣34=0.{{x}_{2}}=\frac{\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 10 & -5 \\ 0 & 4 & -2 \\ \end{matrix} \right|}{34}=\frac{1\times \left| \begin{matrix} 10 & -5 \\ 4 & -2 \\ \end{matrix} \right|}{34}=0.x2​=34∣∣∣∣∣∣​100​0104​1−5−2​∣∣∣∣∣∣​​=341×∣∣∣∣​104​−5−2​∣∣∣∣​​=0.
   x3=∣1100−710044∣34=1×∣−71044∣34=−2.{{x}_{3}}=\frac{\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & 10 \\ 0 & 4 & 4 \\ \end{matrix} \right|}{34}=\frac{1\times \left| \begin{matrix} -7 & 10 \\ 4 & 4 \\ \end{matrix} \right|}{34}=-2.x3​=34∣∣∣∣∣∣​100​1−74​0104​∣∣∣∣∣∣​​=341×∣∣∣∣​−74​104​∣∣∣∣​​=−2.

《高等代数学》（姚慕生），习题1.2：三阶行列式相关推荐

1. 《高等代数学》（姚慕生），复习题一，第2题

   目录 题目 解答 题目   求下列行列式的值: ∣A∣=∣1−11x−11−1x+1−11x−11−1x+1−11−1∣.\left| A \right|=\left| \begin{matrix} ...

2. 《高等代数学》（姚慕生），例1.5.7

   目录 题目 法一:按第1行展开 法二:按第1列展开 法三:按最后一行展开 注记 题目   求下列行列式的值: F n = ∣ λ 0 0 ⋯ 0 a n − 1 λ 0 ⋯ 0 a n − 1 0 − ...

3. 那个放弃谷歌回老家二本教书的清华姚班生，现在怎么样了？

   作者 | 小女贼 来源 | LinkedIn(ID:LinkedIn-China) "'代征友'清华本硕男生,坐标山西." 张昆玮,就是那个清华本硕男:还在北京的时候,他曾在清华B ...

4. 复旦大学高等代数考试命题的若干经验

   作者:谢启鸿(复旦大学数学学院  教授.博士生导师) 高等代数是大学数学系本科生最重要的基础课之一, 而考试命题工作又是整个教学过程中必不可少的关键环节. 如何做好高等代数的考试命题工作, 使得学生既 ...

5. 谢启鸿谈如何学好高等代数

   高等代数和数学分析.空间解析几何一起,并称为数学系本科生的三大基础课.所谓基础课,顾名思义,就是本科四年学习的所有数学课程,都是以上述三门课作为基础的.因此对一年级新生而言,学好这三门基础课,其重要性 ...

6. 最小二乘法及应用实例

   文章目录 最小二乘法问题 **实例1:线性模型** **方法一:极值法** **方法二:代数方法** 补充:向量到子空间的距离 **方法三:统计回归模型** **上机实例2:y=a+blnx+csin ...

7. 设A是m*n实矩阵，证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)

   来源:https://zhidao.baidu.com/question/305821710.html?qbl=relate_question_0&word=r%28A%29%3Dr%28A% ...

8. 高等代数教材及学习指导书的推荐

   一.复旦现版高等代数教材(第三版,姚慕生.吴泉水.谢启鸿编著)以及学习指导书(俗称白皮书,第三版,姚慕生.谢启鸿编著):这两本是复旦数学学院一年级新生学习高等代数必备的书籍,其重要性就不再讲了.这里提 ...

9. 【人工智能】本科阅读书籍

   读书需求     数学分析一   ［1］王绵森,马知恩.工科数学分析基础(册)［M］.3版.北京:高等教育出版社,2007   ［2］菲赫金哥尔茨.微积分学教程［M］北京:高等教育出版社,2006   ...

10. 200 万年薪，却招不到清华姚班毕业生！能上姚班的都是什么人？

    点击上方,选择星标或置顶,每天给你送干货! 阅读大概需要5分钟 跟随小博主,每天进步一丢丢 来源 | 轮子工厂(ID:Programmer-ing) 清华姚班可能很多人都没有听说过,不是我们孤陋寡闻, ...

最新文章

1. 推荐系统产品与算法概述 | 深度
2. 怎么覆盖默认样式_PPT办公技巧：3种办法快速统一幻灯片中不同形状的显示样式...
3. 提交代码前问自己七个问题！
4. Matrix响应式软件应用类型博客模板
5. linux shell 流程控制（条件if,循环【for,while】,选择【case】语句实例
6. Oracle数据库的四种启动方式
7. python零基础自学教材-零基础的小白怎么学python？
8. oracle 显示 中文字体（ client的字符集设置,将NLS_LANG改为UTF8即可)
9. Latex添加矢量图/将visio画图转换成矢量图
10. 时间序列分析和预测(含实例及代码)
11. C#开发ActiveX控件
12. Linux 开启443端口
13. 将1自动补位为01_自动补位为辅助后游戏就输了一半？那是你不懂辅助的正确打开方式...
14. iphone11卡住不能关机_iphone11怎么强制关机_苹果11promax的两种强制关机方法
15. 回忆专用小马甲和泷泽萝拉为何钟情VR手机？
16. 飞行堡垒7可不可以linux系统,华硕飞行堡垒7笔记本怎么用U盘装win10系统
17. 【转】Linux中tty、pty和pts概念及区别
18. 隐式启动Activity以及Intent.resolveActivity的使用
19. NEON intrinsic 简易入门指南
20. 如何将域名解析到网站上？

热门文章

1. 如何解决存在的1px问题？
2. linux默认的系统管理账号是,从Linux到Solaris系统管理---1
3. 各版本opencv官网下载路径
4. Opencv3.4.6+VS2019+win10安装教程
5. 排序算法之二路归并排序
6. 项目云台控制页面（仿遥控器）
7. Python实现人机中国象棋游戏
8. nas文件服务器权限安全,大势至局域网共享文件监控NAS文件权限设置的方法
9. 人脸数据库汇总 (来自网络)
10. 如何下载小程序图片？