相邻素数的差最大是多少c语言,怎么证明?相邻两个素数之差的最大值
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ε ± ∽ ∝ ≠ ∞ ∑ ∏ π √ ≥ → ∞ φ
答邹连科先生之问
相邻两个素数之差的最大值
摘要:设偶数N>4。素数定理描述了区间(0,N)上,素数分布的平均间隔渐近于 N/lnN 。
但是,区间(0,N)上,
(1)两个相邻素数之差的最大值和最小值是多少?
(2)是否存在关于 对称分布的素数?仍无定论。
本文对如何确定两个相邻素数之差的最大值问题,予以探讨论证。
关键词:相邻素数之差,最大值
一, 符号,概念,定义,
1,素数序列:p1=2,p2=3,p3=5,...;
2, 素数阶乘Pm!:小素数序列的连乘积!Pm!= ∏p=2*3*5*...*Pm;
3, Pi 合数:若合数C的最小素因子是Pi,则合数C的属性,称为【Pi合数】。
例:
4,6,8,10,12,14,16,18,...;是【偶合数】序列;
9,15,21,27,33,39,45,...;是【3合数】序列;
25,35,55,65,85,95,115,...;是【5合数】序列;
49,77,91,119,133,161,203,...;是【7合数】序列;
...
Pi^2,PiPi+1,PiPi+2,...;是【Pi合数】序列。
4,数轴上,由若干合数形成的连续自然数序列,称为【连续合数段】。
二, 若干引理
引理1,任意 【Pi合数】序列中,相邻元素的最小间隔都是2Pi。
引理2,在数轴上,由【偶合数】、【3合数】、【5合数】、...;共同构成的【连续合数段】的
【中心值】存在两个类型:
(1)【偶合数型中心值】Z2=2x,【连续合数段】的元素个数是 y=4n+1;
例:【偶合数】构成的【连续合数段】:11,(12),13,Z2=12;
【偶合数】、【3合数】、【5合数】共同构成的【连续合数段】:
23,(24,25,26,27,28),29;Z2=26;
【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】:
199,(200,201,202,203,204,205,206,207,208),209;Z2=10;
(2)【3合数型中心值】Z3=3x ,【连续合数段】的元素个数是 y=4n+3 ;
例:【偶合数】、【3合数】共同构成的【连续合数段】:13,(14,15,16),17;Z3=15;
【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】:
89,(90,91,92,93,94,95,96),97;Z3=93;
引理3,素数 Pi整除【中心值Z】时,【连续合数段】中的【Pi合数】元素最多。
根据引理1易知。
引理4,i >= 3时,分别以素数 2,3,5,...,Pi; 为最小素因子的合数,共同构成的【最大】【连续合数段】,
【中心值】的类型是【偶合数型中心值】:Z2=2x ;并且2*3*5*...*P(i-1) | x 。
证:根据引理3,素数2<= P <=P(i-2) ,满足P|Z2 时,使得【连续合数段】在的两侧双向对称延伸。
当P(i-1) | Z2 - 1 ,Pi | Z2 + 1;或者P(i-1) | Z2 + 1,Pi | Z2 - 1 时,【连续合数段】的长度必然取得最大值。
证毕。
引理5,i >= 3时,分别以素数2 ,3,5,...,Pi为最小素因子的合数,共同构成的【次大】【连续合数段】
【中心值】的类型是【3合数型中心值】:Z3 = 3x ;【连续合数段】的【端点】合数元素C,形如
C =( 2*3*5*...*P(i-1)) x;并且 Pi | (C - 1) 或者 Pi | (C+1)。
【次大】【连续合数段】的长度是 d = Pi + 1
根据素数的形成规律及其由小到大的单向延伸性质易知。
引理6,在数轴上,仅有【偶合数】元素构成的【连续合数段】长度等于2。
引理7,在数轴上,由【偶合数】与【3合数】共同构成的【连续合数段】长度等于4。
证:由于
【偶合数】序列的元素间隔是2,
【3合数】序列的元素间隔是6;
【偶合数】与【3合数】共同构成的【连续合数段】【恰好】包含3个合数元素
(其中2个【偶合数】、1个【3合数】)。
知:在数轴上,包含3个合数元素的间隔长度是4。
例1:7,(8,9,10),11; 11-7=4
例2:13,(14,15,16),17; 17-13=4
引理8,在数轴上,由【偶合数】、【3合数】、【5合数】共同构成的【连续合数段】长度的值等于6。
证:由于
【偶合数】序列的元素间隔是2,
【3合数】序列的元素间隔是6,
【5合数】序列的元素间隔最小值是10;
【偶合数】、【3合数】、【5合数】共同构成的【连续合数段】【恰好】包含5个合数元素
(其中3个【偶合数】、1个【3合数】、1个【5合数】)。
在数轴上,包含5个合数元素的间隔长度是6。
例1:23,(24,25,26,27,28),29; 29-23=6
例2:31,(32,33,34,35,36),37; 37-31=6
引理9,在数轴上,由【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】
长度最大值等于10。
证:由于
【偶合数】序列的元素间隔是2,
【3合数】序列的元素间隔是6,
【5合数】序列的元素间隔最小值是10,
【7合数】序列的元素间隔最小值是14;
【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】中,根据引理1、引理2知,
【偶合数型中心值】的【连续合数段】包含的合数元素【最多】。
包含9个合数元素(其中5个【偶合数】、2个【3合数】、1个【5合数】、1个【7合数】)。
在数轴上,包含9个合数元素的间隔长度是10。
【偶合数】、【3合数】、【5合数】、【7合数】共同构成的【连续合数段】的【中心值】是Z,
知:【连续合数段】的【最大结构形式】是:
Z2 = 6x ;5 | Z2 - 1,7 | Z2 + 1;或者 5 | Z2 + 1,7 | Z2 - 1;
Z2-5,(Z2-4,Z2-3,Z2-2,Z2-1,Z2,Z2+1,Z2+2,Z2+3,Z2+4),Z2+5
D=(Z2+5)-(Z2-5)=10
证毕。
三,命题、推论
命题:一般的,设素数Pn,不超过 √Pn 的最大素数是Pm,则D=P(n+1) - Pn < = 2Pm 。
证:根据引理1推知,由【偶合数】,【3合数】,...,【Pm合数】,【P(m+1)合数】共同构成的
【连续合数段】的最大结构形式是:
Z2 = 2*3*5*...*P(m-1)
Pm | Z2 - 1,P(m+1) | Z2 + 1;或者Pm | Z2 + 1,P(m+1) | Z2 - 1
这个最大结构的长度是 2Pm
可见,与素数Pn相邻的下一个素数P(n+1)的值,必然满足:P(n+1) <= Pn + 2Pm。
即D=P(n+1) - Pn <= 2Pm
证毕。
推论1:设素数Pm < √Pn是最大素数,两个相邻的素数区间(Pn,P(n+1))上,
至多存在一个【最小素因子大于Pm的】 合数C。
证:在区间(Pn,P(n+1))上,若存在两个最小素因子大于Pm的合数C1 ,C2;
不妨设:
C1=(P(m+1))^2
C2=(P(m+1))(P(m+2)>=(P(m+1))(2+P(m+1))=(P(m+1))^2 + 2P(m+1)
显然:C2 - C1 >= 2P(m+1
可见,合数C2不在区间(Pn,P(n+1))内,知推论为真。
证毕。
推论2,设素数Pm < √Pn是最大素数,则当Pm>7时,两个相邻的素数区间(Pn,P(n+1))上,
不存在由【偶合数】、【3合数】、【5合数】、...、【Pm合数】、【Pm+1合数】共同构成的
【最大连续合数段】。
证:根据Pm>7 时, 2*3*5*...*P(m-1) > (P(m+2))^2 > P(n+1) 易知:Pm > 7时,必有
D = P(n+1) - Pn < 2Pm
证毕。
四, 确定【最大连续合数段中心值】的方法
根据【偶合数】、【3合数】、【5合数】、...、【Pm合数】、【P(m+1)合数】共同构成的
【最大连续合数段】的结构特征,及【中心值Z2】的形式,求解Z2的方法有
(1)运用中国剩余定理,解一次同余式组
(2)解一次不定方程:Z2 = (2*3*5*...*P(m-1)) x
(2*3*5*...*P(m-1)) x - (Pm) y1 = -1,(2*3*5*...*P(m-1)) x - (P(m+1)) y2 = 1;或者
(2*3*5*...*P(m-1)) x - (Pm) y1 = 1,(2*3*5*...*P(m-1)) x - (P(m+1)) y2 = -1
一个例子:
求最小素因子是2,3,5,7,11的合数共同构成的最大【连续合数段】的中心值。
根据题意:P(m-1)=5,Pm=7,P(m+1)=11;运用方法(2),解不定方程:
30x - 7y1 = -1, 解之可得 x = 4 + 7 k1 ;
30x - 11y2 = 1,解之可得 x = 4 + 11 k2;
公共解是x = 77k + 4;因为77 - 4 = 73,得到对称公共解是x*= 77k + 73 ;
Z2 = 30x = 2310k + 120 ;
Z2*= 30x*= 2310k + 2190
最大【连续合数段】的【最小】【中心值】是120:
114,115,116,117,118,119,(120),121,122,123,124,125,126
参考资料:
1 初等数论: 潘承洞,潘承彪著 1997.6 月 北京大学出版社
2 组合数学: 屈婉玲 著 1997.9 月 北京大学出版社
3 王元论哥德巴赫猜想 李文林著 1999.9 月 山东大学出版社
4 数学与猜想 G.玻利维亚 2001.7 月 科学出版社
5 数论导引 哈代 著 2008.10 月 人民邮电出版社
6 华罗庚文集 2010.5 月 科学出版社
7 代数数论 冯克勤 著 2000.7 月 科学出版社
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