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有理函数

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有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。

在数学中，理性函数是可以由有理分数定义的任何函数，即代数分数，使得分子和分母都是多项式。 多项式的系数不需要是有理数，它们可以在任何字段K中进行。变量的情况可以在包含K的任何字段L中进行。函数的域是变量，分母不为零，代码区为L。

中文名

有理函数

外文名

Rational function

领    域

数学涵    义

多项式的加减乘除得到的函数

属    性

亚纯函数

分    类

拟态函数

有理函数介绍

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有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。

在数学中，理性函数是可以由有理分数定义的任何函数，即代数分数，使得分子和分母都是多项式。 多项式的系数不需要是有理数，它们可以在任何字段K中进行。变量的情况可以在包含K的任何字段L中进行。函数的域是变量，分母不为零，代码区为L。

一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里 f 和 g 都是多项式函数。有理函数是特殊的亚纯函数， 它的零点和极点个数有限。

有理函数全体构成所谓的有理函数域。

在实数范围内，无限不循环的小数叫做无理数，一般通过开平方得到。在二次函数里面，如 y=a*x^2+b*x+c，如果△≥0，那么 y=0 有实数解；如果△<0，那么 y=0 没有实数解，但有虚数解。

有理函数定义

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函数f(x)被称为理性函数，当且仅当它可以以表单形式：[1]

其中P和Q是x中的多项式，Q不是零多项式。域f是所有点x的集合，分母Q(x)不为零。

但是，如果P和Q具有非常数多项式最大公约数R，则设置R和Q=满足：

其可以具有比f(x)更大的域，并且等于f(x)的域上的f (X)域。 识别f(x)和是一种常见的用法，即扩展“连续性” f(x)为。 实际上，可以将合理的分数定义为多项式分数的等价类，其中两个分数：

当

被认为是等价的。

在这种情况下和是等价的。

有理函数举例

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有理函数

没有在x=中定义。当x逼近无穷大时，它是渐近于的。

理性函数

定义为所有实数，但不适用于所有复数，因为如果x是-1的平方根(即虚数单位或其负数)，则正式评估将导致被零除，

这是未定义的。

常数函数如f(x)=π是一个有理函数，因为常数是多项式。请注意，函数本身是理性的，即使f(x)的值对于所有x都是不合理的。

当Q(x)=1时，每个多项式函数f(x)=是有理函数。不能以这种形式写入的函数，如f(x)= \sin(x)形容词“不合理”通常不用于功能。

对于除0之外的所有x，理性函数f(x)=等于1，一个可移动的奇点。两个理性函数的和，乘积或商(除零次多项式)本身就是一个理性函数。然而，除非要注意，否则减少到标准形式的过程可能会无意中导致除去这些奇异点。使用有理函数的定义作为等价类来解决这个问题，因为x / x等于1/1。

有理函数泰勒级数

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任何有理函数的泰勒级数的系数满足线性递推关系，可以通过设置等价于其泰勒级数的合理函数和收集类似项来找到。

例如，

乘以分母并整理得，

在调整总和的索引以获得相同的x的权力后，我们得到，

结合类似术语给出：

由于这对于原始泰勒级数的收敛半径中的所有x都是正确的，所以我们可以计算如下。 由于左边的常数值必须等于右边的常数项。

那么，由于在左边没有x的系数，所以右边的所有系数都必须为零，从而遵循这一点：

相反，当用作泰勒级数的系数时，满足线性重复的任何序列确定有理函数。 这在解决这种复现中是有用的，因为通过使用部分分数分解，我们可以写出任何有理函数作为1 /(ax + b)形式的因子的总和，并将其扩展为几何系列，给出泰勒系数的显式公式; 这是生成函数的方法。

有理函数代数和几何

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在抽象代数中，多项式的概念被扩展为包括可以从任何字段获取多项式的系数的形式表达式。在给定场F和一些不确定X的这个设置中，有理表达式是多项式环F [X]的分数场的任何元素。任何合理的表达式都可以被写为具有Q≠0的两个多项式P / Q的商，尽管该表示不是唯一的。当PS = QR时，P / Q等于R / S，对于多项式P，Q，R和S。然而，由于F [X]是唯一的因式分解域，对于任何理性表达式P / Q，存在具有最低度的P和Q多项式的Q / Q的唯一表示，并且Q选为monic。这类似于通过取消常见因素，通常可以以最低的值唯一地写入整数的一部分。

理性表达领域被表示为F(X)。据说这个字段是通过(超越元素)X生成的(作为一个字段)，因为F(X)不包含含有F和元素X的任何适当的子字段。[2]

有理函数复杂有理函数

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在复杂的分析中，有理函数：

是具有复系数的两个多项式的比率，其中Q不是零多项式，P和Q没有公共因子(这避免了f取不确定值0/0)。 f的域和范围通常被认为是黎曼球体，这避免了在函数极点(其中Q(z)为0)的特殊处理的任何需要。

有理函数的程度是其组成多项式P和Q的度数的最大值。如果f的程度为d，则方程f(z)=w在z中有不同的解决方案，除了w的某些值，称为临界值，其中两个或多个解决方案相符。具有1级的理性函数称为莫比斯变换，并形成了黎曼球的自动组。 理性函数是拟态函数的代表性例子。

有理函数相关概念

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像多项式一样，理性表达式也可以通过将F(X1，...，Xn)的分数的领域F(X1，...)表示为n个不确定的X1，...，Xn，XN)。

在代数几何中使用理性函数的抽象概念的扩展版本。 其中代数变量V的函数域形成为V坐标环的分数的场(更准确地说是在V中的Zariski密集仿射开放集合)。 其元素f被认为是在非空开放集U的代数几何学意义上的常规函数，并且也可以被视为投影线的态射。

有理函数应用

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这些对象首先在学校代数中遇到。在更高级的数学中，他们在环形理论中发挥重要作用，特别是在现场扩展的建设中。他们还提供了一个nonarchimedean领域的例子。

在函数的插值和近似的数值分析中使用Rational函数，例如HenriPadé介绍的Padé近似。关于理性函数的近似非常适合于计算机代数系统和其他数值软件。像多项式一样，它们可以被直接评估，并且同时它们表现出比多项式更多样化的行为。

理性函数用于近似或模拟科学和工程中更复杂的方程，包括物理学领域和力量，分析化学中的光谱学，生物化学中的酶动力学，电子电路，空气动力学，体内药物浓度，原子和分子的波函数，光学和摄影，以提高图像分辨率，声学和声音[需要引用]。

在信号处理中，具有无限脉冲响应的常用线性时不变系统(滤波器)的脉冲响应的拉普拉斯变换(用于连续系统)或z变换(用于离散时间系统)是复数的理性函数。

词条图册

更多图册

参考资料

1.

《高等数学》(工科类),邬弘毅、黄建国主编,合肥工业大学出版社,2006.

2.

Martin J. Corless, Art Frazho, Linear Systems and Control, p. 163, CRC Press, 2003 ISBN 0203911377. Malcolm W. Pownall, Functions and Graphs: Calculus Preparatory Mathematics, p. 203, Prentice-Hall, 1983 ISBN 0133323048.