【XSY4375】永无乡（二元GF）

以下 “二叉树” 均默认为有根无标号但区分左右儿子的二叉树。

设 h n , k h_{n,k} hn,k 表示 n , k n,k n,k 的答案，有：
h n , k = ∑ i = 0 n − 1 ( h i , k ⋅ f n − i − 1 + f i ⋅ h n − i − 1 , k + ∑ j = 0 k ( k j ) g n − i − 1 , k − j ∑ j ′ = 0 j ( j j ′ ) g i , j ′ ) h_{n,k}=\sum_{i=0}^{n-1}\left(h_{i,k}\cdot f_{n-i-1}+f_{i}\cdot h_{n-i-1,k}+\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}g_{n-i-1,k-j}\sum_{j'=0}^j\binom{j}{j'}g_{i,j'}\right) hn,k=i=0∑n−1⎝⎛hi,k⋅fn−i−1+fi⋅hn−i−1,k+j=0∑k(jk)gn−i−1,k−jj′=0∑j(j′j)gi,j′⎠⎞
其中 f n f_n fn 表示 n n n 个点的二叉树数量。 g n , k g_{n,k} gn,k 表示 n n n 个点的所有二叉树中，所有叶子节点到根的路径所经点数的 k k k 次方之和。

然后后面那一堆组合数是 ( a + b + 1 ) k (a+b+1)^k (a+b+1)k 展开成 ∑ j = 0 k ( k j ) b k − j ∑ j ′ = 0 j ( j j ′ ) a j ′ \sum_{j=0}^k\binom{k}{j}b^{k-j}\sum_{j'=0}^j\binom{j}{j'}a^{j'} ∑j=0k(jk)bk−j∑j′=0j(j′j)aj′ 形式的结果。

考虑先把 f f f 和 g g g 推出来：
f 0 = 1 , f n = ∑ i = 0 n − 1 f i f n − 1 − i f_0=1,\ f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-1-i} f0=1, fn=i=0∑n−1fifn−1−i
设 F F F 为 f f f 的 OGF，有：
F = 1 + x F 2 x F 2 − F + 1 = 0 = 1 ± 1 − 4 x 2 x = 1 − 1 − 4 x 2 x \begin{aligned} F&=1+xF^2\\ xF^2-F+1&=0\\ &=\frac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x}\\ &=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} \end{aligned} FxF2−F+1=1+xF2=0=2x1±1−4x =2x1−1−4x

然后对于 g g g：
g 1 , k = 1 , g n , k = 2 ∑ i = 0 n − 1 f n − 1 − i ∑ j = 0 k ( k j ) g i , j g_{1,k}=1,\ g_{n,k}=2\sum_{i=0}^{n-1}f_{n-1-i}\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}g_{i,j} g1,k=1, gn,k=2i=0∑n−1fn−1−ij=0∑k(jk)gi,j
设 G G G 为 g g g 的 EGF（ [ x n ] [ t k ] G = g n , k k ! [x^n][t^k]G=\frac{g_{n,k}}{k!} [xn][tk]G=k!gn,k），有：
G = x e t + 2 x F G e t ( 1 − 2 x F e t ) G = x e t G = x e t 1 − 2 x F e t = x e t 1 − ( 1 − 1 − 4 x ) e t \begin{aligned} G&=xe^t+2xFGe^t\\ (1-2xFe^t)G&=xe^t\\ G&=\frac{xe^t}{1-2xFe^t}\\ &=\frac{xe^t}{1-(1-\sqrt{1-4x})e^t} \end{aligned} G(1−2xFet)GG=xet+2xFGet=xet=1−2xFetxet=1−(1−1−4x )etxet

回到最上面那条式子。设 H H H 为 h h h 的 EGF，有：

H = 2 x H F + x G 2 e t + x e t ( 1 − 2 x F ) H = x G 2 e t + x e t H = x G 2 e t + x e t 1 − 2 x F H = x e t 1 − 4 x + x 3 e 3 t 1 − 4 x ( 1 − ( 1 − 1 − 4 x ) e t ) 2 \begin{aligned} H&=2xHF+xG^2e^t+xe^t\\ (1-2xF)H&=xG^2e^t+xe^t\\ H&=\frac{xG^2e^t+xe^t}{1-2xF}\\ H&=\frac{xe^t}{\sqrt{1-4x}}+\frac{x^3e^{3t}}{\sqrt{1-4x}(1-(1-\sqrt{1-4x})e^t)^2}\\ \end{aligned} H(1−2xF)HHH=2xHF+xG2et+xet=xG2et+xet=1−2xFxG2et+xet=1−4x xet+1−4x (1−(1−1−4x )et)2x3e3t

我们要算的即为：
R ( t ) = [ x n ] x e t 1 − 4 x + x 3 e 3 t 1 − 4 x ( 1 − ( 1 − 1 − 4 x ) e t ) 2 R(t)=[x^n]\frac{xe^t}{\sqrt{1-4x}}+\frac{x^3e^{3t}}{\sqrt{1-4x}(1-(1-\sqrt{1-4x})e^t)^2} R(t)=[xn]1−4x xet+1−4x (1−(1−1−4x )et)2x3e3t
模 t m + 1 t^{m+1} tm+1 的结果。

比较神奇的做法是进行变量代换，我们设 y = e t − 1 y=e^t-1 y=et−1，并把 R ( t ) R(t) R(t) 表示成关于 y y y 的多项式 R ′ ( y ) R'(y) R′(y)，然后求出 R ′ ( y ) R'(y) R′(y) 再把 y = e t − 1 y=e^t-1 y=et−1 代入求出 R ( t ) R(t) R(t)。

注意这里为什么取 y = e t − 1 y=e^t-1 y=et−1 而不是 y = e t y=e^t y=et，因为我们在将 y = e t y=e^t y=et 代入 R ′ ( y ) R'(y) R′(y) 时， y y y 的很高次项也有可能影响到 R ( t ) R(t) R(t) 的低次项。而若我们用 y = e t − 1 y=e^t-1 y=et−1 代入， e t − 1 e^t-1 et−1 常数项为 0 0 0，代入后 R ′ ( y ) R'(y) R′(y) 中 y y y 的大于 m m m 次项都不会影响到 R ( t ) R(t) R(t) 中 t t t 的小于等于 m m m 次项，这样我们就可以只需要用 R ′ ( y ) R'(y) R′(y) 的前 m m m 次项的系数即可。

由于 e t = y + 1 e^t=y+1 et=y+1，可得：
R ′ ( y ) = R ( t ) = [ x n ] x e t 1 − 4 x + x 3 e 3 t 1 − 4 x ( 1 − ( 1 − 1 − 4 x ) e t ) 2 = [ x n ] x ( y + 1 ) 1 − 4 x + x 3 ( y + 1 ) 3 1 − 4 x ( 1 − ( 1 − 1 − 4 x ) ( y + 1 ) ) 2 \begin{aligned} R'(y)=R(t)&=[x^n]\frac{xe^t}{\sqrt{1-4x}}+\frac{x^3e^{3t}}{\sqrt{1-4x}(1-(1-\sqrt{1-4x})e^t)^2}\\ &=[x^n]\frac{x(y+1)}{\sqrt{1-4x}}+\frac{x^3(y+1)^3}{\sqrt{1-4x}(1-(1-\sqrt{1-4x})(y+1))^2}\\ \end{aligned} R′(y)=R(t)=[xn]1−4x xet+1−4x (1−(1−1−4x )et)2x3e3t=[xn]1−4x x(y+1)+1−4x (1−(1−1−4x )(y+1))2x3(y+1)3
设 C ( n , m ) = [ x n ] ( 1 − 4 x ) m = ( m 2 n ) ( − 4 ) n C(n,m)=[x^n](\sqrt{1-4x})^m=\dbinom{\frac{m}{2}}{n}(-4)^n C(n,m)=[xn](1−4x )m=(n2m)(−4)n，代进去可得：
R ′ ( y ) = [ x n ] x ( y + 1 ) 1 − 4 x + x 3 ( y + 1 ) 3 1 − 4 x ( 1 − ( 1 − 1 − 4 x ) ( y + 1 ) ) 2 = ( y + 1 ) C ( n − 1 , − 1 ) + ( y + 1 ) 3 [ x n − 3 ] 1 1 − 4 x ( 1 − ( 1 − 1 − 4 x ) ( y + 1 ) ) 2 \begin{aligned} R'(y)&=[x^n]\frac{x(y+1)}{\sqrt{1-4x}}+\frac{x^3(y+1)^3}{\sqrt{1-4x}(1-(1-\sqrt{1-4x})(y+1))^2}\\ &=(y+1)C(n-1,-1)+(y+1)^3[x^{n-3}]\frac{1}{\sqrt{1-4x}(1-(1-\sqrt{1-4x})(y+1))^2}\\ \end{aligned} R′(y)=[xn]1−4x x(y+1)+1−4x (1−(1−1−4x )(y+1))2x3(y+1)3=(y+1)C(n−1,−1)+(y+1)3[xn−3]1−4x (1−(1−1−4x )(y+1))21
设 z = 1 − 4 x z=\sqrt{1-4x} z=1−4x ，然后：
R ′ ( y ) = ( y + 1 ) C ( n − 1 , − 1 ) + ( y + 1 ) 3 [ x n − 3 ] 1 z ( 1 − ( 1 − z ) ( y + 1 ) ) 2 = ( y + 1 ) C ( n − 1 , − 1 ) + ( y + 1 ) 3 [ x n − 3 ] 1 z ( z y + z − y ) 2 = ( y + 1 ) C ( n − 1 , − 1 ) + ( y + 1 ) 3 [ x n − 3 ] z − 1 ( ∑ i ≥ 0 ( 1 − z ) i z i + 1 y i ) 2 = ( y + 1 ) C ( n − 1 , − 1 ) + ( y + 1 ) 3 [ x n − 3 ] ∑ i ≥ 0 ( i + 1 ) ( 1 − z ) i z i + 3 y i = ( y + 1 ) C ( n − 1 , − 1 ) + ( y + 1 ) 3 ∑ i ≥ 0 ( i + 1 ) y i ∑ j = 0 i ( i j ) [ x n − 3 ] ( − z ) j z i + 3 = ( y + 1 ) C ( n − 1 , − 1 ) + ( y + 1 ) 3 ∑ i ≥ 0 ( i + 1 ) y i ∑ j = 0 i ( i j ) ( − 1 ) j C ( n − 3 , j − i − 3 ) \begin{aligned} R'(y)&=(y+1)C(n-1,-1)+(y+1)^3[x^{n-3}]\frac{1}{z(1-(1-z)(y+1))^2}\\ &=(y+1)C(n-1,-1)+(y+1)^3[x^{n-3}]\frac{1}{z(zy+z-y)^2}\\ &=(y+1)C(n-1,-1)+(y+1)^3[x^{n-3}]z^{-1}\left(\sum_{i\geq 0}\frac{(1-z)^i}{z^{i+1}}y^i\right)^2\\ &=(y+1)C(n-1,-1)+(y+1)^3[x^{n-3}]\sum_{i\geq 0}(i+1)\frac{(1-z)^i}{z^{i+3}}y^i\\ &=(y+1)C(n-1,-1)+(y+1)^3\sum_{i\geq 0}(i+1)y^i\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}[x^{n-3}]\frac{(-z)^j}{z^{i+3}}\\ &=(y+1)C(n-1,-1)+(y+1)^3\sum_{i\geq 0}(i+1)y^i\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}(-1)^jC(n-3,j-i-3)\\ \end{aligned} R′(y)=(y+1)C(n−1,−1)+(y+1)3[xn−3]z(1−(1−z)(y+1))21=(y+1)C(n−1,−1)+(y+1)3[xn−3]z(zy+z−y)21=(y+1)C(n−1,−1)+(y+1)3[xn−3]z−1(i≥0∑zi+1(1−z)iyi)2=(y+1)C(n−1,−1)+(y+1)3[xn−3]i≥0∑(i+1)zi+3(1−z)iyi=(y+1)C(n−1,−1)+(y+1)3i≥0∑(i+1)yij=0∑i(ji)[xn−3]zi+3(−z)j=(y+1)C(n−1,−1)+(y+1)3i≥0∑(i+1)yij=0∑i(ji)(−1)jC(n−3,j−i−3)
后面那玩意就能卷积求了。现在我们求出了 R ′ ( y ) = R ( t ) R'(y)=R(t) R′(y)=R(t)。接下来我们要求多项式复合 R ( t ) = R ′ ( e t − 1 ) R(t)=R'(e^t-1) R(t)=R′(et−1)。

我们可以先求出 A ( y ) = R ′ ( y − 1 ) A(y)=R'(y-1) A(y)=R′(y−1)，一次减法卷积即可求出。

然后再把 e t e^t et 代入，即要求 A ( e t ) = ∑ i a i e i t A(e^t)=\sum_i a_ie^{it} A(et)=∑iaieit。分治 NTT 即可。

总时间复杂度 O ( n + m log ⁡ 2 m ) O(n+m\log ^2m) O(n+mlog2m)。

#include<bits/stdc++.h>#define N 100010
#define V 20000010using namespace std;namespace modular
{const int mod=998244353,inv2=(mod+1)>>1;inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}inline void Add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}inline void Dec(int &x,int y){x=x-y<0?x-y+mod:x-y;}inline void Mul(int &x,int y){x=1ll*x*y%mod;}inline int poww(int a,int b){int ans=1;for(;b;Mul(a,a),b>>=1)if(b&1)Mul(ans,a);return ans;}
}using namespace modular;inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');ch=getchar();}return x*f;
}namespace Poly
{using modular::add;using modular::mul;using modular::dec;const int LN=20,NN=N<<2;typedef vector<int> poly;vector<int> w[LN][2];void init(int limit){for(int bit=0,mid=1;mid<limit;bit++,mid<<=1){int len=mid<<1;int gn=poww(3,(mod-1)/len);int ign=poww(gn,mod-2);int g=1,ig=1;for(int j=0;j<mid;j++,Mul(g,gn),Mul(ig,ign))w[bit][0].push_back(g),w[bit][1].push_back(ig);}}void NTT(int *a,int limit,int opt){static int rev[NN];opt=(opt<0);for(int i=0;i<limit;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(limit>>1));for(int i=0;i<limit;i++)if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int bit=0,mid=1;mid<limit;bit++,mid<<=1){for(int i=0,len=mid<<1;i<limit;i+=len){for(int j=0;j<mid;j++){int x=a[i+j],y=mul(w[bit][opt][j],a[i+mid+j]);a[i+j]=add(x,y),a[i+mid+j]=dec(x,y);}}}if(opt){int tmp=poww(limit,mod-2);for(int i=0;i<limit;i++) Mul(a[i],tmp);}}poly bmul(const poly &a,const poly &b){const int sa=a.size(),sb=b.size();poly c(sa+sb-1);for(int i=0;i<sa;i++)for(int j=0;j<sb;j++)Add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));return c;}poly mul(const poly &a,const poly &b){static int A[NN],B[NN];const int sa=a.size(),sb=b.size();for(int i=0;i<sa;i++) A[i]=a[i];for(int i=0;i<sb;i++) B[i]=b[i];int limit=1;while(limit<(sa+sb-1)) limit<<=1;NTT(A,limit,1),NTT(B,limit,1);for(int i=0;i<limit;i++) Mul(A[i],B[i]);NTT(A,limit,-1);poly c(sa+sb-1);for(int i=0;i<sa+sb-1;i++) c[i]=A[i];for(int i=0;i<limit;i++) A[i]=B[i]=0;return c;}poly dmul(const poly &a,poly b)//a[i]b[j]->c[i-j]{const int sa=a.size(),sb=b.size();reverse(b.begin(),b.end());poly c=mul(a,b),d(sa);for(int i=0;i<sa;i++) d[i]=c[sb+i-1];return d;}poly add(const poly &a,const poly &b){const int sa=a.size(),sb=b.size();poly c(max(sa,sb));for(int i=0;i<sa;i++) c[i]=a[i];for(int i=0;i<sb;i++) Add(c[i],b[i]);return c;}poly dec(const poly &a,const poly &b){const int sa=a.size(),sb=b.size();poly c(max(sa,sb));for(int i=0;i<sa;i++) c[i]=a[i];for(int i=0;i<sb;i++) Dec(c[i],b[i]);return c;}poly getinv(const poly &f,int n){static int ff[NN],g[NN];g[0]=poww(f[0],mod-2);int now=2;for(;now<(n<<1);now<<=1){int limit=now<<1;for(int i=0;i<now;i++) ff[i]=f[i];NTT(ff,limit,1),NTT(g,limit,1);for(int i=0;i<limit;i++)g[i]=mul(dec(2,mul(ff[i],g[i])),g[i]);NTT(g,limit,-1);for(int i=now;i<limit;i++) g[i]=0;}poly res(g,g+n);for(int i=0;i<now;i++) ff[i]=g[i]=0;return res;}
}using Poly::poly;int n,m;
int fac[V],ifac[V];
int C1[N];//C1[m] = C[n-3,-m] = Binomial[(-m)/2,n-3]*(-4)^(n-3)poly C;int Binom(int n,int m)
{if(n<m||n<0||m<0) return 0;return mul(mul(fac[n],ifac[m]),ifac[n-m]);
}void comp1()
{poly a(m+1),b(m+1);for(int i=0;i<=m;i++) a[i]=mul(C[i],fac[i]);for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=((i&1)?dec(0,ifac[i]):ifac[i]);C=Poly::dmul(a,b);for(int i=0;i<=m;i++) Mul(C[i],ifac[i]);
}poly fz[N<<2],fm[N<<2];void solve(int k,int l,int r)
{if(l==r){fz[k]=poly{C[l]};fm[k]=poly{1,dec(0,l)};return;}int mid=(l+r)>>1,lc=k<<1,rc=lc|1;solve(lc,l,mid),solve(rc,mid+1,r);fz[k]=Poly::add(Poly::mul(fz[k<<1],fm[k<<1|1]),Poly::mul(fm[k<<1],fz[k<<1|1]));fm[k]=Poly::mul(fm[k<<1],fm[k<<1|1]);
}void comp2()
{solve(1,0,m);C=Poly::mul(fz[1],Poly::getinv(fm[1],m+1));for(int i=0;i<=m;i++) Mul(C[i],ifac[i]);
}int main()
{n=read(),m=read();int limit=1;while(limit<=(m<<1|1)) limit<<=1;Poly::init(limit);const int t=max(n<<1,m); fac[0]=1;for(int i=1;i<=t;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);ifac[t]=poww(fac[t],mod-2);for(int i=t;i>=1;i--) ifac[i-1]=mul(ifac[i],i);C1[3]=mul(ifac[n-3],poww(mod-4,n-3));for(int i=1,v=dec(inv2,2);i<=n-3;i++,Dec(v,1)) Mul(C1[3],v);for(int i=5,vl=dec(inv2,2),vr=dec(inv2,n-1);i<=m+3;i+=2,Dec(vl,1),Dec(vr,1)) C1[i]=mul(C1[i-2],mul(vr,poww(vl,mod-2)));C1[4]=mul(ifac[n-3],poww(mod-4,n-3));for(int i=1,v=dec(0,2);i<=n-3;i++,Dec(v,1)) Mul(C1[4],v);for(int i=6,vl=dec(0,2),vr=dec(0,n-1);i<=m+3;i+=2,Dec(vl,1),Dec(vr,1)) C1[i]=mul(C1[i-2],mul(vr,poww(vl,mod-2)));poly A(m+1),B(m+1);for(int i=0;i<=m;i++) A[i]=((i&1)?dec(0,ifac[i]):ifac[i]);for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=mul(ifac[i],C1[-(-i-3)]);C=Poly::mul(A,B); C.resize(m+1);for(int i=0;i<=m;i++) Mul(C[i],fac[i+1]);C=Poly::bmul(C,poly{1,3,3,1}); C.resize(m+1);Add(C[0],Binom(2*n-2,n-1)); Add(C[1],Binom(2*n-2,n-1));comp1();comp2();for(int i=0;i<=m;i++) printf("%d ",mul(C[i],fac[i]));return 0;
}
/*
3 5
*/

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