题目

若 lim ⁡ ▲ f ( x ) \lim_▲{f(x)} lim▲f(x)存在,则其必唯一.
为了方便叙述,这里以数列的情形给出.
即 a n {a_n} an极限存在,则必唯一.

反证法_定义

假设极限不唯一,则设 lim ⁡ a n = A \lim a_n=A liman=A或 B , B, B,且 A ≠ B A≠B A=B.
那么根据定义有:
∀ ϵ > 0 , ∃ N 1 ∈ N + . ∣ a n − A ∣ < ϵ 2 \forall \epsilon>0,\exist N_1 \in N_+.|a_n-A|<\frac{\epsilon}{2} ∀ϵ>0,∃N1∈N+.∣an−A∣<2ϵ
∀ ϵ > 0. ∃ N 2 ∈ N + , ∣ a n − B ∣ < ϵ 2 \forall \epsilon>0.\exist N_2 \in N_+,|a_n-B|<\frac{\epsilon}{2} ∀ϵ>0.∃N2∈N+,∣an−B∣<2ϵ
那么取 N = m a x { N 1 , N 2 } , 当 n > N N= max\{N_1,N_2\},当n>N N=max{N1,N2},当n>N时,上述不等式均成立.
不等式累加得到:
∣ a n − B ∣ + ∣ a n − A ∣ < ϵ |a_n-B|+|a_n-A|<\epsilon ∣an−B∣+∣an−A∣<ϵ
由绝对值不等式性质得到:
∣ B − A ∣ ≤ ∣ ( B − a n ) − ( A − a n ) ∣ ≤ ∣ a n − B ∣ + ∣ a n − A ∣ < ϵ |B-A|≤|(B-a_n)-(A-a_n)|≤|a_n-B|+|a_n-A|<\epsilon ∣B−A∣≤∣(B−an)−(A−an)∣≤∣an−B∣+∣an−A∣<ϵ
即 ∣ B − A ∣ < ϵ |B-A|<\epsilon ∣B−A∣<ϵ
由绝对值的几何意义可知,A,B之间的距离无限接近又A,B均为常数,则A=B.
与假设矛盾,所以极限唯一.

反证法_无穷小与函数的联系

显然数列是一种特殊的函数.
设 A , B 为 a n 的极限 , 且 A ≠ B , 根据无穷小与函数的联系可得 : a n = α + A = β + B , 其中 α 与 β 均为无穷小 . A,B为a_n的极限,且A≠B,根据无穷小与函数的联系可得:a_n=\alpha+A=\beta+B,其中\alpha与\beta均为无穷小. A,B为an的极限,且A=B,根据无穷小与函数的联系可得:an=α+A=β+B,其中α与β均为无穷小.
则记 c = A − B = β − α c=A-B=\beta-\alpha c=A−B=β−α
显然c也是无穷小.
则在等式两边取极限,得到: c = A − B = lim ⁡ ( β − α ) = 0 c=A-B=\lim{(\beta-\alpha)}=0 c=A−B=lim(β−α)=0
则 A = B A=B A=B
与假设矛盾,所以极限唯一.

反证法_一个数不可能小于自身

严格地说,这是定义法的变式,不过作为一种方法仍然值得提出.
假设极限不唯一,则设 lim ⁡ a n = A \lim a_n=A liman=A或 B , B, B,且 A ≠ B A≠B A=B.
那么根据定义有:
∀ ϵ > 0 , ∃ N 1 ∈ N + . ∣ a n − A ∣ < ϵ = ∣ B − A ∣ 2 \forall \epsilon>0,\exist N_1 \in N_+.|a_n-A|<\epsilon=\frac{|B-A|}{2} ∀ϵ>0,∃N1∈N+.∣an−A∣<ϵ=2∣B−A∣
∀ ϵ > 0. ∃ N 2 ∈ N + , ∣ a n − B ∣ < ϵ = ∣ B − A ∣ 2 \forall \epsilon>0.\exist N_2 \in N_+,|a_n-B|<\epsilon=\frac{|B-A|}{2} ∀ϵ>0.∃N2∈N+,∣an−B∣<ϵ=2∣B−A∣
那么取 N = m a x { N 1 , N 2 } , 当 n > N N= max\{N_1,N_2\},当n>N N=max{N1,N2},当n>N时,上述不等式均成立.
不等式累加得到:
∣ a n − B ∣ + ∣ a n − A ∣ < ∣ B − A ∣ |a_n-B|+|a_n-A|<|B-A| ∣an−B∣+∣an−A∣<∣B−A∣
根据绝对值不等式的性质,有:
∣ B − A ∣ ≤ ∣ ( B − a n ) − ( A − a n ) ∣ ≤ ∣ a n − B ∣ + ∣ a n − A ∣ < ∣ B − A ∣ |B-A|≤|(B-a_n)-(A-a_n)|≤|a_n-B|+|a_n-A|<|B-A| ∣B−A∣≤∣(B−an)−(A−an)∣≤∣an−B∣+∣an−A∣<∣B−A∣
显然这是不成立的,所以极限唯一.

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极限唯一性的三种反证法

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