【省选专题一】图论 jzoj 3290【JSOI2013】吃货JYY 状压dp+欧拉回路

Description

世界上一共有N个JYY愿意去的城市，分别从1编号到N。JYY选出了K个他一定要乘坐的航班。除此之外，还有M个JYY没有特别的偏好，可以乘坐也可以不乘坐的航班。
一个航班我们用一个三元组(x,y,z)来表示，意义是这趟航班连接城市x和y，并且机票费用是z。每个航班都是往返的，所以JYY花费z的钱，既可以选择从x飞往y，也可以选择从y飞往x。
南京的编号是1，现在JYY打算从南京出发，乘坐所有K个航班，并且最后回到南京，请你帮他求出最小的花费。

Input

输入数据的第一行包含两个整数N和K；
接下来K行，每行三个整数x，y，z描述必须乘坐的航班的信息，数据保证在这K个航班中，不会有两个不同的航班在同一对城市之间执飞；
第K+2行包含一个整数M；
接下来M行，每行三个整数x，y，z 描述可以乘坐也可以不乘坐的航班信息。

Output

输出一行一个整数，表示最少的花费。数据保证一定存在满足JYY要求的旅行方案。

Sample Input

6 3
1 2 1000
2 3 1000
4 5 500
2
1 4 300
3 5 300

Sample Output

3100

Data Constraint

对于10%的数据满足N≤4；
对于30%的数据满足N≤ 7；
对于额外30%的数据满足，JYY可以只通过必须乘坐的K个航班从南京出发到达任意一个城市；
对于100%的数据满足2≤N≤13，0≤K≤78，2 ≤M ≤ 200，1 ≤x,y ≤N，1 ≤z ≤ 10^4。

Hint

样例说明：一个可行的最佳方案为123541。机票所需的费用为1000+1000+300+500+300=3100。

分析：我们发现一条可行的道路当且仅当经过所有必须经过的边，且此时所有点的入度都为偶数。
我们发现可以dp（一开始都没往这么方向想，不是说图论专题吗= =）。设f[u]为状态为u时的答案，u为一个n位三进制数，第i位0表示点i入度为0,1表示入度为奇数，2表示偶数（把0单独出来是应该该点不在欧拉回路内）。首先把1号点加入连通块内，每次枚举下一个入度为0点的加入这个连通块，再枚举连通块内一个点，把这两个点连起来，显然代价为两点之间的最短路；如果这两点间有直接相连的必须走的边，代价可以看做0，最后再把k条边的代价加上，然后连接的两个点的奇偶性改变，过程中的点奇偶性不改变。
考虑这样一种情况，(u,v)有条代价为x的必走边，还有代价为y的可走边，此时如果x>y,显然是不能把必走边看为0的，只有在这两点间有直接相连的必须走的边（注意这个），代价才算0。我们这样跑出了f[u]，它描述的欧拉图在同状态下是一样的，且会把所有必走边跑掉（只要该状态合法）。剩下的就是把1变成2即可。暴力两个1，把这两点连起来，代价为两点最短路，此时必走边不看做0，为初始代价。

代码（by 66w）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MIN(x,y) x=min(x,y)
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;const int N=15;int n,m,dis[N][N],cnt,last[N],g[9005],f[1600005],bin[N],pow[N],a[N],deg[N];
struct edge{int to,next,w;}e[N*10];
queue<int> que;int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}void addedge(int u,int v,int w)
{e[++cnt].to=v;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;e[++cnt].to=u;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}void floyd()
{for (int k=1;k<=n;k++)for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)MIN(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}void pre_dp()
{memset(g,inf,sizeof(g));g[0]=0;for (int i=0;i<bin[n];i++)for (int j=1;j<=n;j++)if (!(i&bin[j-1]))for (int k=j+1;k<=n;k++)if (!(i&bin[k-1]))MIN(g[i^bin[j-1]^bin[k-1]],g[i]+dis[j][k]);
}void dp()
{memset(f,inf,sizeof(f));f[2]=0;que.push(2);while (!que.empty()){int s=que.front(),tot=0;que.pop();for (int i=1;i<=n;i++) if (s/pow[i-1]%3>0) a[++tot]=i;for (int i=1;i<=n;i++)if (s/pow[i-1]%3==0){for (int j=last[i];j;j=e[j].next)if (s/pow[e[j].to-1]%3>0){int s1=s+pow[i-1]*2;if (f[s]>=f[s1]) continue;if (f[s1]==inf) que.push(s1);f[s1]=f[s];}for (int j=1;j<=tot;j++){int s1=s+pow[i-1];s1+=(s/pow[a[j]-1]%3==1)?pow[a[j]-1]:-pow[a[j]-1];if (f[s]+dis[i][a[j]]>=f[s1]) continue;if (f[s1]==inf) que.push(s1);f[s1]=f[s]+dis[i][a[j]];}}}
}void calc()
{int ans=inf;for (int s=0;s<pow[n];s++){int flag=0;for (int i=1;i<=n;i++) if (last[i]&&!(s/pow[i-1]%3)) {flag=1;break;}if (flag) continue;int now=s;for (int i=1;i<=n;i++) if (deg[i]&1) now+=(s/pow[i-1]%3==1)?pow[i-1]:-pow[i-1];int s1=0;for (int i=1;i<=n;i++) if (now/pow[i-1]%3==1) s1^=bin[i-1];MIN(ans,f[s]+g[s1]);}for (int i=1;i<=cnt;i+=2) ans+=e[i].w;printf("%d",ans);
}int main()
{n=read();m=read();bin[0]=pow[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) bin[i]=bin[i-1]*2,pow[i]=pow[i-1]*3;memset(dis,inf,sizeof(dis));for (int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read(),z=read();dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[y][x],z);deg[x]++;deg[y]++;addedge(x,y,z);}m=read();while (m--){int x=read(),y=read(),z=read();dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[y][x],z);}floyd();pre_dp();dp();calc();return 0;
}

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