题目

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思路

首先有这样一个事实，如果两个字符串 a , b a,b a,b 满足 a < b a<b a<b ，那么二者的相同长度的前缀 a ′ , b ′ a',b' a′,b′ 满足 a ′ ≤ b ′ a'\le b' a′≤b′ 。这是显而易见的。同时，如果这个长度超过了二者的 l c p lcp lcp ，还会有 a ≤ b ′ a\le b' a≤b′ 。

另一个事实是前缀小于原串，也就是 a ′ ≤ a a'\le a a′≤a ，这也是毋庸置疑的。所以，如果长度超过 l c p lcp lcp ，我们有

a ′ ≤ a < b ′ ≤ b a'\le a<b'\le b a′≤a<b′≤b

那么我们先二分一个后缀，让大于这个后缀的都滚蛋。字典序比它小的后缀，肯定始终比它小；字典序比它大的，不能留下超过 l c p lcp lcp 的长度。所以我们会得到一些区间，限制条件是区间内至少切一刀。

怎么实现 “ 区间内至少切一刀 ” 的条件呢？这种题大家想必做的很多了，就是贪心，按照右端点排序，而后从左往右填。说白了就是，只有不得不切的时候才切。在本题中就比较容易实现。

所以我们找到一个字典序最小的后缀 a a a 使得最终答案不超过 a a a 。假设最终的答案是后缀 b ( b ≠ a ) b(b\ne a) b(b=a) 的一个前缀，那么 b > a b>a b>a ，否则 b b b 才是应当被找到的后缀。

如果这个前缀的长度超过 l c p ( a , b ) lcp(a,b) lcp(a,b) ，那么根据上面的结论有 a < b ′ a<b' a<b′ ，显然不成立（答案是不超过 a a a 的）；所以其长度不超过 l c p ( a , b ) lcp(a,b) lcp(a,b) 。你惊讶地发现：它也是 a a a 的一个前缀。

所以答案一定是 a a a 的前缀。二分即可，越长的前缀字典序越大。还是利用上面的不等式进行判断。

复杂度 O ( n log ⁡ n ) \mathcal O(n\log n) O(nlogn) ，用 S A \tt SA SA 即可。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint(){int a = 0; char c = getchar(), f = 1;for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())if(c == '-') f = -f;for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);return a*f;
}const int MaxN = 200010;int sa[MaxN], rnk[MaxN<<1];
int tmp[MaxN<<1], buck[MaxN];
void prepare(int n,int m){memset(buck,0,m<<2);for(int i=0; i<n; ++i)++ buck[rnk[i]];for(int i=1; i<m; ++i)buck[i] += buck[i-1];
}
# define XEZ(x) sa[-- buck[rnk[x]]] = x
/** @brief from index 0 to @p n-1 */
void getSA(int a[],int n){memset(tmp+n,-1,n<<2); // EOFmemset(rnk+n,-1,n<<2); // EOFmemcpy(tmp,a,n<<2);sort(tmp,tmp+n); // to hashint m = unique(tmp,tmp+n)-tmp;for(int i=0; i<n; ++i)rnk[i] = lower_bound(tmp,tmp+m,a[i])-tmp;prepare(n,m);for(int i=0; i<n; ++i) XEZ(i);for(int w=1,p; m!=n; w<<=1,m=p+1){for(int i=n-w+(p=0); i<n; ++i)tmp[p ++] = i; // indexfor(int i=0; i<n; ++i)if(sa[i] >= w)tmp[p ++] = sa[i]-w;prepare(n,m);for(int i=n-1; ~i; --i)XEZ(tmp[i]); // big firstmemcpy(tmp,rnk,n<<2);rnk[sa[0]] = p = 0;for(int i=1; i<n; ++i){if(tmp[sa[i]] != tmp[sa[i-1]]||tmp[sa[i]+w] != tmp[sa[i-1]+w])++ p; // brand new onernk[sa[i]] = p;}}
}int heit[MaxN]; // height
void getHei(int a[],int n){for(int i=0,j,k=0; i<n; ++i)if(rnk[i] == 0)heit[0] = k = 0;else{if(k) -- k;j = sa[rnk[i]-1];while(max(i,j)+k <= n&& a[j+k] == a[i+k])++ k; // k = lenheit[rnk[i]] = k;}
}namespace RMQ{int st[20][MaxN], *item;int xez[MaxN]; // log2void prepare(int a[],int n){xez[0] = -1;for(int i=0; i<n; ++i)st[0][i] = i;for(int i=1; i<=n; ++i)xez[i] = xez[i>>1]+1;item = a; // copy itfor(int j=0; (2<<j)<=n; ++j)for(int i=0; i+(2<<j)<=n; ++i){st[j+1][i] = st[j][i+(1<<j)];if(a[st[j+1][i]] > a[st[j][i]])st[j+1][i] = st[j][i];}}int query(int l,int r){int k = xez[r-l+1];r = st[k][r-(1<<k)+1];if(item[r] < item[st[k][l]])return r; // minimumreturn st[k][l];}
}char wyl[MaxN]; int xyx[MaxN];int main(){//  freopen("4310\\2.in","r",stdin);
//  freopen("xez.out","w",stdout);int k = readint();scanf("%s",wyl);int n = strlen(wyl);for(int i=0; i<n; ++i)xyx[i] = wyl[i];getSA(xyx,n), getHei(xyx,n);RMQ::prepare(heit,n);int L = 0, R = n-1; // ErFenfor(int mid=(L+R)>>1; L!=R; mid=(L+R)>>1){int cnt = 0, now = n; // cut timefor(int i=0; i<n&&cnt<k; ++i){if(rnk[i] > mid){int x = RMQ::query(mid+1,rnk[i]);if(heit[x] == 0) cnt = k;now = min(now,i+heit[x]-1);}if(i == now) // it's a must++ cnt, now = n;}if(now != n) ++ cnt;if(cnt < k) // it's fineR = mid; // it can be smallerelse L = mid+1; // not OK}int id = sa[L]; // which suf
//  printf("id = %d, suf = ",id);
//  puts(wyl+id);L = heit[rnk[id]]+1, R = n-id; // length
//  printf("BiSearch %d %d\n",L,R);for(int mid=(L+R)>>1; L!=R; mid=(L+R)>>1){int cnt = 0, now = n;for(int i=0; i<n&&cnt<k; ++i){if(rnk[i] > rnk[id]){int x = RMQ::query(rnk[id]+1,rnk[i]);x = min(heit[x],mid);if(x == 0) cnt = k;now = min(now,i+x-1);}else if(i == id)now = min(now,i+mid-1);if(i == now) ++ cnt, now = n;}if(now != n) ++ cnt;if(cnt < k) R = mid;else L = mid+1; // cannot}for(int i=id; i<id+L; ++i)putchar(wyl[i]);putchar('\n');return 0;
}

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