CodeForces 348D Turtles（LGV引理）

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题目大意：
一张 nnn 行 mmm 列的网格图，图中的有些格子上面有障碍物，但保证 (1,1)(1,1)(1,1) 和 (n,m)(n,m)(n,m) 上面都没有障碍物。在 (1,1)(1,1)(1,1) 处有两只乌龟，都想要去(n,m)(n,m)(n,m) 。乌龟每次都可以向下或者向右走一格，前提是格子上没有任何障碍物。要求两只乌龟在前往 (n,m)(n,m)(n,m) 的路途中不可以相遇，即除了起点和终点，他们的路径没有其他公共点。求出从起点到终点的不同路径对数。答案对 109+710^9+7109+7 取模。

题目分析：
注意 LGVLGVLGV 引理的起点和终点也不能有交集
所以可以把起点分成两个： a1=(1,2),a2=(2,1)a_1=(1,2),a_2=(2,1)a1=(1,2),a2=(2,1) ，把终点分成两个 b1=(n−1,m),b2=(n,m−1)b_1=(n-1,m),b_2=(n,m-1)b1=(n−1,m),b2=(n,m−1)
所以就可以构造 LGVLGVLGV 引理的矩阵了
M=(e(a1,b1)e(a1,b2)e(a2,b1)e(a2,b2))M= \begin{pmatrix} e(a_1,b_1) & e(a_1,b_2)\\ e(a_2,b_1) & e(a_2,b_2)\\ \end{pmatrix}M=(e(a1,b1)e(a2,b1)e(a1,b2)e(a2,b2))
所以可以开两个数组 dp1[i][j],dp2[i][j]dp1[i][j],dp2[i][j]dp1[i][j],dp2[i][j] 分别表示 a1,a2a_1,a_2a1,a2 到 (i,j)(i,j)(i,j) 的路径数
因为限制了移动方向所以可以 O(nm)O(nm)O(nm) 递推出这两个数组
这样题目所求就是 dp1[n−1][m]∗dp2[n][m−1]−dp1[n][m−1]∗dp2[n−1][m]dp1[n-1][m]*dp2[n][m-1]-dp1[n][m-1]*dp2[n-1][m]dp1[n−1][m]∗dp2[n][m−1]−dp1[n][m−1]∗dp2[n−1][m]

具体细节见代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
//#define int  ll
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
using namespace std;
int read()
{int res = 0,flag = 1;char ch = getchar();while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch == '-') flag = -1;ch = getchar();}while(ch>='0' && ch<='9'){res = (res<<3)+(res<<1)+(ch^48);//res*10+ch-'0';ch = getchar();}return res*flag;
}
const int maxn = 3e3+5;
const int mod = 1e9+7;
const double pi = acos(-1);
const double eps = 1e-8;
int n,m,dp1[maxn][maxn],dp2[maxn][maxn];
char mp[maxn][maxn];
int main()
{n = read(),m = read();for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%s",mp[i]+1);dp1[1][1] = dp2[1][1] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++)for(int j = 2;j <= m;j++) if(mp[i][j] == '.') dp1[i][j] = (dp1[i-1][j]+dp1[i][j-1])%mod;for(int i = 2;i <= n;i++)for(int j = 1;j <= m;j++) if(mp[i][j] == '.') dp2[i][j] = (dp2[i-1][j]+dp2[i][j-1])%mod;cout<<((ll)dp1[n-1][m]*dp2[n][m-1]%mod-(ll)dp1[n][m-1]*dp2[n-1][m]%mod+mod)%mod<<endl;return 0;
}

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