一天一道算法题——799. 香槟塔

题目描述

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中第一层有1个玻璃杯，第二层有2个，依次类推到第100层，每个玻璃杯(250ml)将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

示例 1:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.0
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.5
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

注意:

poured 的范围[0, 10 ^ 9]。
query_glass 和query_row 的范围 [0, 99]。

解题思路

假设倒入20杯酒，每个杯子停留的酒数量有：

第0层：
a[0][0] = 20

第一层：
a[1][0] = (a[0][0] - 1) / 2 = 4.5
a[1][1] = (a[0][0] - 1) / 2 = 4.5

第二层：
a[2][0] = (a[1][0]-1) / 2
a[2][1] = (a[1][0]-1) / 2 + (a[1][1]-1) / 2
a[2][2] = (a[1][1]-1) / 2

第三层：
a[3][0] = (a[2][0]-1)/2
a[3][1] = (a[2][0]-1)/2 + (a[2][1]-1)/2
a[3][2] = (a[2][1]-1)/2 + (a[2][2]-1)/2
a[3][3] = (a[2][2]-1)/2

第四层：
a[4][0] = (a[3][0]-1)/2
a[4][1] = (a[3][0]-1)/2 + (a[3][1]-1)/2
a[4][2] = (a[3][1]-1)/2 + (a[3][2]-1)/2
a[4][3] = (a[3][2]-1)/2 + (a[3][3]-1)/2
a[4][3] = (a[3][3]-1)/2

第N层：
a[N][0] = (a[N-1][0] - 1)/2
a[N][1] = (a[N-1][0] - 1)/2 + (a[N-1][1] - 1)/2
a[N][N] = (a[N-1][N-1] - 1) /2

通过上面，可以推导出第query_row层，query_glass位置的酒杯中酒的分量为：
a[query_row][query_glass] = (a[query_row - 1][query_glass-1] - 1) /2 + (a[query_row - 1][query_glass] - 1) /2

ps：这是假设计算过程中不存在负数的情况，实际程序中需要考虑负数场景。

程序实现

public static double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {double[][] arr = new double[query_row + 2][query_row+2];arr[0][0] = poured;for(int i=0;i<query_row;i++){for(int j=0;j<=i;j++){//当前行多余的酒往下分.double remain = (arr[i][j] - 1) / 2;if(remain > 0){arr[i+1][j] += remain;arr[i+1][j+1]+= remain;}}}return arr[query_row][query_glass] >1.0 ? 1.0 : arr[query_row][query_glass];}