机敏问答[复变][2] #20210616

柯西定理
- 答案
柯西公式
- 答案
判定解析函数为常数
- 答案
Morera定理
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最大模原理
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代数基本定理
- 答案

本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。
万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）

柯西定理

根据路径积分定义，路径积分结果的实部和虚部分别是什么向量场的第二型曲线积分？
对于z′(t)=x′(t)+iy′(t)z'(t)=x'(t)+iy'(t)z′(t)=x′(t)+iy′(t)，用对参数ttt在区间上的定积分表示∫γf(z)dz\int_\gamma f(z)dz∫γf(z)dz. 这里z′(t)z'(t)z′(t)有没有体现复数域和实数域的区别？由此给出适当条件下类似于实数情况牛顿-莱布尼兹公式的结果。此处用到的”链式法则“Ft′(z(t))=Fz′zt′F'_t(z(t))=F'_z z'_tFt′(z(t))=Fz′zt′中右侧两个导数有什么本质不同？C-R方程在证明该“链式法则”中起到什么作用？
反设∣∫γf(z)dz∣>∫γ∣f(z)∣∣dz∣|\int_\gamma f(z)dz|>\int_\gamma |f(z)| |dz|∣∫γf(z)dz∣>∫γ∣f(z)∣∣dz∣，利用积分存在的定义推出矛盾于有限个元素相加的三角不等式。
对单位圆上逆时针方向的回路求∫zndz,n∈Z\int z^ndz,n\in\mathbb{Z}∫zndz,n∈Z. 为什么n=−1n=-1n=−1情况不平凡？
第二型曲线积分的格林公式表示对于（）函数，在单连通区域上积分与（）无关，在环形区域上可以用圆环等特殊的环上的积分来求（）（注意运用格林公式证明柯西定理其实是题设太强了，我们要绕过它）。
4.中我们相当于已知解析函数的导函数连续（否则无法用格林公式）。为了绕过格林公式，我们可以考虑从如下顺序证明：请排序。
a. 三角形 b. 凸的单连通区域 c. 有限条逐段光滑曲线为边界的有界区域 d. 凸多边形
设一个正方形上解析函数路径积分为1，把正方形不断分成相同的四块小正方形，迭代下去，则第k次迭代后，至少有一块小正方形的路径积分大于等于（）。
接上，不妨设迭代下去根据闭区间套定理得到“收敛点”为原点，f(0)=0,f′(0)=1f(0)=0,f'(0)=1f(0)=0,f′(0)=1，则考察f(z)=z+r(z)f(z)=z+r(z)f(z)=z+r(z)，对f(z)f(z)f(z)在（）上的路径积分用2.的结果估计，利用面积缩小4倍时正方形的直径和周长都缩小（）倍，得矛盾。利用6.和7.为起点能否证明柯西定理？
画图展现求∫∣z∣=2,逆时针sinzdzz2+1\int_{|z|=2,逆时针}\frac{sinzdz}{z^2+1}∫∣z∣=2,逆时针z2+1sinzdz转化成求什么路径积分。
利用1.的思想和lnwlnwlnw的定义等等，解释∫γf′(z)dzf(z)=∫Γdw/w=∫Γdlnw=∫d(ln∣w∣+iArgw)=i∫(dArgw)\int_\gamma \frac{f'(z)dz}{f(z)}=\int_\Gamma dw/w=\int_\Gamma dlnw=\int d(ln|w|+iArgw)=i\int(dArgw)∫γf(z)f′(z)dz=∫Γdw/w=∫Γdlnw=∫d(ln∣w∣+iArgw)=i∫(dArgw)，详细说明其含义和作用。

答案

(u,−v)(u,-v)(u,−v)和(v,u)(v,u)(v,u)
∫abf(z(t))z′(t)dt\int_a^bf(z(t))z'(t)dt∫abf(z(t))z′(t)dt，没有。略。一个是复可导，另一个是z′(t)=x′(t)+iy′(t)z'(t)=x'(t)+iy'(t)z′(t)=x′(t)+iy′(t)，是实变复函数的”导数“，类似于二维一元函数的梯度。证明“链式法则”的一种可能思想是把fff看成z,zˉz,\bar zz,zˉ的函数，则dfdt=∂f∂zdzdt+0\frac {df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}+0dtdf=∂z∂fdtdz+0（关于zˉ\bar zzˉ的那项为0）
注：证明不严格不等号经常可以这么干。
n=−1n=-1n=−1情况是2πi2\pi i2πi，其它情况是0. LnzLnzLnz不是单值函数，但zn,n≥1z^n,n\ge 1zn,n≥1是C\mathbb{C}C上单值函数，zn,n≤−1z^n,n\le -1zn,n≤−1是C−{0}\mathbb{C}-\{0\}C−{0}上单值函数。对于后两种情况（单值良定的原函数存在）可以用1.中结论。（注意：可以找ccc，使得f(z)−c/zf(z)-c/zf(z)−c/z有原函数）
解析（严格来说，还需要导函数连续），路径，一般的闭曲线上的积分。
a. d. b. c.
14k\frac 1{4^k}4k1
足够多次迭代后包含原点的小正方形，2，能（尝试用一致收敛性，用小正方形逼近三角形）。
大圆套两个圆心分别在iii和−i-i−i的小圆。
第一个等号的两侧都类似于1.变成定积分（注意积分曲线是不同的）。lnwlnwlnw的一种定义方式就是满足第二个等号并定义一点处的lnwlnwlnw值（注意多值性），此时第三个等号的证明方法是考察elnw−we^{lnw}-welnw−w的所有阶导数为0。当然lnwlnwlnw也可以用elnw=we^{lnw}=welnw=w定义，这种定义下的第二个等号通过两边微分可以看出（微分只对局部做，所以多值无影响），而第三个等号则根据定义直接说明实部是ln∣w∣ln|w|ln∣w∣，虚部是iArgwiArgwiArgw. 最后的结果说明∫γf′dz/f\int_\gamma f'dz/f∫γf′dz/f只和Γ=f(γ)\Gamma=f(\gamma)Γ=f(γ)绕原点的辐角有关。

柯西公式

对解析函数fff，∫γf(0)dw/w=2πif(0)\int_\gamma f(0)dw/w = 2\pi if(0)∫γf(0)dw/w=2πif(0)和∫γf(w)dw/w=2πif(0)\int_\gamma f(w)dw/w=2\pi if(0)∫γf(w)dw/w=2πif(0)之间如何联系起来？如果考察的不是原点处函数值，上式怎么书写？（即写出柯西公式）
将0.中的解析函数换成一般的可积函数，对于性质良好且不经过原点的曲线γ\gammaγ，为了证明原点处∫γf(w)dw/(w−z)\int_\gamma f(w)dw/(w-z)∫γf(w)dw/(w−z)关于zzz解析，先证明（）等于w−1(1+z/w+z2/w2⋯)w^{-1}(1+z/w+z^2/w^2\cdots)w−1(1+z/w+z2/w2⋯)。如何说明上述级数在原点邻域一致收敛？这之后怎么说明待考察函数在原点邻域解析？
接上，解析函数当然是可积的，于是我们证明了解析函数一定可在局部展成幂级数，从而任意阶光滑。我们还立刻知道幂级数和解析函数间一一对应。简要阐述我们把”可导“这一弱性质推广到“光滑”这一非常强的性质到底经过了什么逻辑推导步骤？
解析函数做上述动作得到相差常数倍的自身，那一般的可积函数做上述动作也相差常数倍在边界附近连续延拓到自身吗？试举反例。
接上，那一般的光滑函数呢？（提示两种方法：可以对纯为实数的函数的虚部使用调和函数的极值原理，或者考虑C-R方程）
利用1.中展开得到幂级数的系数直接写出fff的各阶导如何用路径积分表示，并给出助记方法。
考察5.中一阶导的路径积分表示的分子和分母在相似变换下各自扩大多少倍，从而证明刘维尔定理，并给出有界区域的紧子集上如何用∣f∣|f|∣f∣上界估计∣f′∣|f'|∣f′∣上界。
在单位圆上，怎么把第一型曲线积分转化为路径积分？怎么考察一般的复值函数（不一定解析）的路径积分？
利用非单连通（有两个洞）区域的柯西定理和非单连通区域的柯西公式，以及柯西型积分，说明单连通区域Ω\OmegaΩ上连续且Ω−γ\Omega-\gammaΩ−γ（其中γ\gammaγ是Ω\OmegaΩ中的好曲线）上解析的函数是Ω\OmegaΩ上的解析函数。

答案

f(w)=f(0)+f′(0)w+r(w)wf(w)=f(0)+f'(0)w+r(w)wf(w)=f(0)+f′(0)w+r(w)w，其中r(w)r(w)r(w)在原点附近趋于0. ∫γf(w)dw/(w−z)=2πif(z)\int_\gamma f(w)dw/(w-z)=2\pi i f(z)∫γf(w)dw/(w−z)=2πif(z).
1/(w−z)1/(w-z)1/(w−z)，略，通过交换积分和求和展为幂级数。（注：也可以通过导数定义说明解析）
关键是（利用四等分三角形这一比较复杂的方法）对（未知导数连续条件）的解析函数绕过格林公式证明了柯西定理，再由环形区域上柯西定理证明了柯西公式，再利用柯西公式中1/(w−z)1/(w-z)1/(w−z)的幂级数展开，通过交换积分和求和，最终得到幂级数。而幂级数的和函数导数存在且也可以用幂级数表示（回忆如何估计∣f(z+Δz)−f(z)Δz−∑nanzn−1∣|\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}-\sum na_n z^{n-1}|∣Δzf(z+Δz)−f(z)−∑nanzn−1∣）
只需考察连续性。（可积太弱了）
不一定，如对于在边界上恒为实数且不恒为常数的任意光滑函数fff，反设fff是某个解析函数定义域限制在边界上的部分，则由fff在边界上虚部为零，由调和函数的性质知道fff在整个区域虚部恒为0，从而fff是实常数。
或：由解析函数导数连续延拓到边界，可以知道“好的”fff在区域边界上必须满足C-R方程。
f(n)(0)=12πi∫γn!f(w)dwwn+1,f(n)(z)=12πi∫γn!f(w)dw(w−z)n+1f^{(n)}(0)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{n!f(w)dw}{w^{n+1}},f^{(n)}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{n!f(w)dw}{(w-z)^{n+1}}f(n)(0)=2πi1∫γwn+1n!f(w)dw,f(n)(z)=2πi1∫γ(w−z)n+1n!f(w)dw. 一种可能的助记方法：先记住柯西公式f(0)(0)=12πi∫γf(w)dwwf^{(0)}(0)=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)dw}{w}f(0)(0)=2πi1∫γwf(w)dw，然后回忆幂级数中展开时每增高一阶系数分母多一次，再用n阶导是幂级数系数乘以n!n!n!，再把0改成一般的z.
分子dwdwdw是“一次”的，分母是“二次”的。略。（注：估计出的∣f′∣|f'|∣f′∣上界可以作为应用Arzela-Ascoli引理的前置）
∣dz∣=dθ=ieiθdθ/ieiθ=dz/iz,zˉ=1/z|dz|=d\theta =ie^{i\theta}d\theta /ie^{i\theta}=dz/iz,\bar z=1/z∣dz∣=dθ=ieiθdθ/ieiθ=dz/iz,zˉ=1/z（注：因此复值函数在单位圆周上总能写成解析函数）
用柯西型积分定义解析函数ggg，证明和原来的函数相等。

判定解析函数为常数

为什么导数处处为零的解析函数为常数？
利用0.可以得到像集不含（）的解析函数为常数，例如（）。还能通过（）公式估计（）的界，结合0.得到刘维尔定理。
调和函数的平均值原理（极值原理）如何用于判定解析函数为常数？举一例。
幂级数和解析函数一一对应，所以非常数解析函数的幂级数展开一定（在局部）（），从而它是开映射，且零点不可能是零点集的聚点，为什么？
为什么不能说解析函数零点集没有聚点？
考察在区域DDD定义，并在一子区域A⊂DA\subset DA⊂D上为常数0的解析函数fff。由零点孤立性（考察零点集聚点附近的局部处幂级数展开），得到0的原像集中零点的聚点集一定是（）集。由于（）所以前述集合也是闭集。因为既开又闭非空是（），从而零点是零点集聚点不但说明了解析函数在局部是常数，还说明了（）。
以上方法都可以用于判定两个解析函数的差是否恒为零，即两个解析函数是否相等。那么能否说：两个解析函数f1,f2f_1,f_2f1,f2分别在区域D1,D2D_1,D_2D1,D2上定义且存在开集K⊂D1∩D2K\subset D_1\cap D_2K⊂D1∩D2使得KKK上f1=f2f_1=f_2f1=f2，则f1=f2f_1=f_2f1=f2在D1∩D2D_1\cap D_2D1∩D2恒成立？

答案

数学分析。
内点，略，（广义的）柯西，导数
紧集边界上为常值。
有至少一项一阶或以上的非零项。零点不可能是零点集的聚点：回忆开映射定理证明过程。
sin(1/z)sin(1/z)sin(1/z)在0处有本性奇点。
开，聚点的聚点是聚点且根据连续性，全集，解析函数在整个区域是常数
不能。考虑多值函数的单值分支。

Morera定理

C-R方程可以从微观上判定全纯。现在通过（连续函数fff）在任意（）都为0说明全纯，这是宏观上的判据。如果条件加强到函数fff是C1C^1C1的，那么直接用（）公式即可证明。
根据全纯函数光滑，现在我们实际上从连续得到了光滑。连续能不能再减弱成可积？为什么？
为了证明连续得到光滑，我们先要证明可导得到光滑。为什么？（提示：考察“原函数”）
连续函数一致收敛的极限仍（），但不一定（），这将给使用C-R方程带来困难。通过Morera定理可以克服！所以紧集上连续到边界的全纯函数的一致收敛的极限仍（）。

答案

闭合曲线上路径积分。格林。（注：联想柯西定理）
不能。改变有限个点，积分不变。
函数fff连续，原函数FFF一定可导。由可导得到光滑证明原函数FFF光滑，则函数fff光滑。
连续，可导，全纯且连续到边界

最大模原理

解析函数fff在区域闭包上的最大模一定在（）取得。如果在内部取得，那么会发生什么？
接上，如果1/f(z)1/f(z)1/f(z)总有意义，即f(z)f(z)f(z)恒不为0，阐述”最小模原理“
如果用调和函数的最大值原理和最小值原理说明0.和1.，那么待考察的调和函数是（），这也从一个角度解释”最小模原理“中为何要特别考虑函数零点。
回忆调和函数（有界区域上调和，闭包上连续）最大值原理的证明：有界用在了什么地方？所以实轴上为常数的调和函数一定是常数吗？
如果用开映射定理说明0.和1.，解释为什么”最小模原理“中要特别考虑0.
对于单位圆盘内恒非零的解析函数，用最小模原理可以说明存在一列模趋向于1的点znz_nzn，使得f(zn)f(z_n)f(zn)收敛。为什么？怎么把该结论拓展到一般情况？

答案

区域边界，fff为常数。
略
ln∣f∣ln|f|ln∣f∣
有界闭区域上连续函数最值定理。不一定（如线性函数）。
0为中心的球中所有元素的模都大于0（相比之下，非零元素为中心的开球中一定存在比它模大的元素和比它模小的元素）
略（注意不能直接取单位圆盘边界，而要不断逼近）。对于单位圆盘内有无穷多个零点，显然。对于有限多个零点，直接把z−ziz-z_iz−zi都商掉。
注：另一种方法是看如果不满足条件，则函数值随着靠近边界一致地趋于无穷。这样我们只需证明边值为0的亚纯函数为0. 而这用对称延拓就可以了

代数基本定理

代数基本定理做归纳的每一步是对于多项式fff找到任一（），再做多项式除法。
若利用最小模原理证明，则我们需要先找到一个有界区域使区域外的fff足够大，从而最小模一定在（）取得，所以最小模为0.
若利用刘维尔定理证明，我们反设fff无零点，则应证明（）有界，从而是常数。
若利用既开又闭是全集证明，我们首先单独考察说明Cˉ\bar \mathbb{C}Cˉ上多项式函数在（）处全纯且像为（）（思考：为什么要关注这个像？），再利用开映射定理和全纯函数保持紧性即可。简要说明全纯函数保持紧性但不保持C\mathbb{C}C上的闭性。

答案

（复平面上）零点。
有界区域内部。
1/f1/f1/f
∞\infty∞，∞\infty∞.
因为满射只推出Cˉ\bar \mathbb{C}Cˉ上有零点，我们需要C\mathbb{C}C上有零点就要排除无穷远点的干扰。
不保持闭：如1/z1/z1/z. 保持紧性：用聚点原理（和连续性）

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