机敏问答[常微][5] #20210622

常系数齐次线性微分方程组
- 答案
高阶线性微分方程式
- 答案

本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。
万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）

常系数齐次线性微分方程组

定义矩阵的模是所有元素绝对值和。以下哪些事物相比实数有本质区别？
a. 模有正定性 b. 模保持（正）数乘（”齐次性“） c. 三角不等式 d. 乘积的模和正整数次幂的模
若两矩阵满足（），则和的e指数等于（）。因此 e A e^A eA一定可逆。
用交换图表表示指数运算和相似变换。
e x A e^{xA} exA是常系数齐次线性微分方程组的标准基解矩阵。证明是根据（）前提下交换（）和（）。
由上直接写出常系数非齐次线性微分方程组初值问题的解的公式。
背诵Jordan块 J ( λ ) J(\lambda) J(λ)（三阶）的 e x J ( λ ) e^{xJ(\lambda)} exJ(λ).
由上，如何求解 y ˙ = A y \dot y=Ay y˙=Ay？
简化计算的方法：如果已知特征值都是1重的，则基解矩阵可以表示为一个可逆矩阵（待定）乘以（）（写出矩阵具有性质）矩阵，从而方程组有 n n n个待定的 e λ i x r ⃗ i e^{\lambda_ix}\vec r_i eλixr i形式的解， r ⃗ i \vec r_i r i是常数列向量。 r ⃗ i \vec r_i r i和 λ i \lambda_i λi是什么关系？
接上，其实只要矩阵 A A A可以（）（动作），则能直接写出基解矩阵（）。出现复值解怎么办？
如果出现不可对角化的情况，则和 λ i \lambda_i λi相关的 n i n_i ni列每一列都形如（），其中 r ⃗ 0 \vec r_0 r 0一定是特征向量吗？如果不是，那是什么？为了括号中的项数少一些，你应该怎么做？
如果矩阵 A A A有一些行只有一个元素非0，有什么更简便的做法？
常系数齐次线性微分方程组任何解当 x → − ∞ x\to-\infty x→−∞时都趋于零，对特征值有何要求？

答案

只有d. 有本质区别。即 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ B ∣ ∣ ≥ ∣ ∣ A B ∣ ∣ ||A||||B||\ge ||AB|| ∣∣A∣∣∣∣B∣∣≥∣∣AB∣∣
可交换，指数的乘积
先相似再指数等于先指数再相似。
一致收敛，求导，求和。
齐次方程通解 e x A C e^{xA}C exAC，非齐次方程特解 e x A ∫ e − s A f ( s ) d s e^{xA}\int e^{-sA}f(s)ds exA∫e−sAf(s)ds，非齐次方程通解 e x A C + ∫ e ( x − s ) A f ( s ) d s e^{xA}C+\int e^{(x-s)A}f(s)ds exAC+∫e(x−s)Af(s)ds，代入得 e ( x − x 0 ) A y 0 + ∫ e ( x − s ) A f ( s ) d s e^{(x-x_0)A}y_0+\int e^{(x-s)A}f(s)ds e(x−x0)Ay0+∫e(x−s)Af(s)ds
e x J ( λ ) = e x λ ( 1 x x 2 / 2 0 1 x 0 0 1 ) e^{xJ(\lambda)}=e^{x\lambda}\left(\begin{matrix}1&x&x^2/2\\0&1&x\\0&0&1\end{matrix}\right) exJ(λ)=exλ⎝⎛100x10x2/2x1⎠⎞
设 A = P − 1 J P A=P^{-1}JP A=P−1JP，则所求基解矩阵 e x P − 1 J P = P − 1 e x J P e^{xP^{-1}JP}=P^{-1}e^{xJ}P exP−1JP=P−1exJP，则 P − 1 e x J P^{-1}e^{xJ} P−1exJ也是基解矩阵（更好算）。
对角。特征值与特征向量。
相似对角化， ( e λ i x r ⃗ i ) 1 × n (e^{\lambda_ix}\vec r_i)_{1\times n} (eλixr i)1×n. 共轭也是解，取实虚部即可。（特别的，对于二维甚至直接可以只看复基解矩阵的一列）
e λ i x ( r ⃗ 0 + x r ⃗ 1 + x 2 2 r ⃗ 2 + ⋯ ) e^{\lambda_ix}(\vec r_0+x\vec r_1+\frac{x^2}2\vec r_2+\cdots) eλix(r 0+xr 1+2x2r 2+⋯). 不一定（不一定是 ( A − λ i I ) = 0 (A-\lambda_i I)=0 (A−λiI)=0的解，但一定是 ( A − λ i I ) n i = 0 (A-\lambda_iI)^{n_i}=0 (A−λiI)ni=0的非零解）。先算特征向量 r ⃗ \vec r r ，再不停迭代地解 ( A − λ i I ) s ⃗ = r ⃗ (A-\lambda_iI)\vec s=\vec r (A−λiI)s =r . （用 r ⃗ \vec r r 求 s ⃗ \vec s s ）
回到原始形式（分离变量）。
实部都大于0.

高阶线性微分方程式

对于齐次高阶线性微分方程 y ( n ) + a n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + a 0 y = 0 y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=0 y(n)+an−1(x)y(n−1)+⋯+a0y=0，对应的线性微分方程组的矩阵是多项式（）的伴侣矩阵：（）。
标量函数组的朗斯基行列式相当于什么齐次线性微分方程组的基解矩阵的行列式？
为什么第一行的相关等价于整个朗斯基行列式等于0？
对于此时， W ( x ) W(x) W(x)满足什么微分方程？二阶情况 ϕ y ′ − y ϕ ′ = C e − ∫ x 0 x p ( s ) d s \phi y'-y\phi'=Ce^{-\int_{x_0}^x p(s)ds} ϕy′−yϕ′=Ce−∫x0xp(s)ds是怎么来的？怎么理解前式积分下限中的常数 x 0 x_0 x0和 C C C的关系？该式有何应用？
根据伴随矩阵和逆矩阵的关系，并且因为我们现在只用求解的第一行，且非齐次项只有1个分量即（），所以我们可以把特解公式（）改写为（）。
二维情况常数变易法：为什么假定 C 1 ′ ( x ) ϕ 1 ( x ) + C 2 ′ ( x ) ϕ 2 ( x ) = 0 C_1'(x)\phi_1(x)+C_2'(x)\phi_2(x)=0 C1′(x)ϕ1(x)+C2′(x)ϕ2(x)=0？（联系4.）
伴侣矩阵的每个特征值对应（）个Jordan块。对于 A P = P J AP=PJ AP=PJ， A A A是伴侣矩阵，若 P P P的1,1元等于0，则推出什么矛盾？因此高阶线性齐次微分方程的通解怎么记忆？
待定系数法求特解：对于 P m ( x ) e μ x P_m(x)e^{\mu x} Pm(x)eμx，取（），其中 x k x^k xk中的 k k k表示（）。对于 ( A n ( x ) c o s ( β x ) + B n ( x ) s i n ( β x ) ) e α x (A_n(x)cos(\beta x)+B_n(x)sin(\beta x))e^{\alpha x} (An(x)cos(βx)+Bn(x)sin(βx))eαx相当于 μ \mu μ取（）。
之前把高阶转化成高维，那怎么反过来？
x 2 y ′ ′ + x y ′ + y x^2y''+xy'+y x2y′′+xy′+y中令 x = e t x=e^t x=et后如何？
背诵阻尼振动的解。

答案

λ n + a n − 1 ( x ) λ n − 1 + ⋯ + a 0 \lambda^n+a_{n-1}(x)\lambda^{n-1}+\cdots+a_0 λn+an−1(x)λn−1+⋯+a0，略（最下面一排是 − a 0 , ⋯ , − a n − 1 -a_0,\cdots,-a_{n-1} −a0,⋯,−an−1，分别是零次项，……的系数）。特别注意 y y y是”零阶“，而不是”一次“。 λ \lambda λ是”一次“项。
略。
提示：因为后面的行都是第一行求导而得。
W ′ ( x ) = t r ( A ( x ) ) W ( x ) = − a n − 1 ( x ) W ( x ) W'(x)=tr(A(x))W(x)=-a_{n-1}(x)W(x) W′(x)=tr(A(x))W(x)=−an−1(x)W(x). 由前式解得。两者不独立。已知二阶的一个（非零）通解求另一个线性无关的。
最后一个分量 f ( x ) f(x) f(x)， Φ ∫ Φ − 1 f d s \Phi\int\Phi^{-1}fds Φ∫Φ−1fds， Φ ∫ 最后一列依次是 W i ( s ) 的矩阵 W ( s ) ( 0 , ⋯ , f ) T d s \Phi\int\frac{最后一列依次是W_i(s)的矩阵}{W(s)}(0,\cdots,f)^Tds Φ∫W(s)最后一列依次是Wi(s)的矩阵(0,⋯,f)Tds而我们只看第一行就是 ∫ x 0 x ∑ i ϕ i ( x ) f ( s ) W i ( s ) W ( s ) d s \int_{x_0}^x\frac{\sum_i\phi_i(x)f(s)W_i(s)}{W(s)}ds ∫x0xW(s)∑iϕi(x)f(s)Wi(s)ds. 特别注意 W i W_i Wi表示的是第 n n n行第 i i i列元素的代数余子式（ Φ − 1 \Phi^{-1} Φ−1的最后一列对应的是 Φ \Phi Φ最后一行的余子式）。
非齐次项只有1个分量。
1.对照两边得出 P P P第一列都为0，奇异，矛盾。 e λ i x x m e^{\lambda_ix} x^{m} eλixxm
x k Q m ( x ) e μ x x^kQ_m(x)e^{\mu x} xkQm(x)eμx， μ \mu μ作为特征方程根的重数， α + i β \alpha+i\beta α+iβ
”消元法“
提示： e 2 t d y ′ d x = e 2 t / e t ⋅ d ( y t / e t ) / d t e^{2t}\frac{dy'}{dx}=e^{2t}/e^t\cdot d(y_t/e^t)/dt e2tdxdy′=e2t/et⋅d(yt/et)/dt
( C 1 e ⋯ t + C 2 e − ⋯ t ) e − β t , ( C 1 t + C 2 ) e − β t , ( C 1 s i n ⋯ t + C 2 c o s ⋯ t ) e − β t (C_1e^{\sqrt{\cdots}t}+C_2e^{-\sqrt{\cdots}t})e^{-\beta t},(C_1t+C_2)e^{-\beta t},(C_1sin\sqrt\cdots t+C_2cos\sqrt\cdots t)e^{-\beta t} (C1e⋯ t+C2e−⋯ t)e−βt,(C1t+C2)e−βt,(C1sin⋯ t+C2cos⋯ t)e−βt

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