【BZOJ3309】DZY Loves Math

3309: DZY Loves Math
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Description

对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。

Input

第一行一个数T，表示询问数。
接下来T行，每行两个数a,b，表示一个询问。

Output

对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。

Sample Input
4

10000

7558588 9653114

6514903 4451211

7425644 1189442

6335198 4957

Sample Output
35793453939901

14225956593420

4332838845846

15400094813
HINT

【数据规模】

T ≤ \le10000

1 ≤ \lea,b ≤ \le10 7 ^7

Source
为了方便代入反演，我们把原题里那个f函数在这里用g代替
令f(i)为 gcd(x,y)=i,1≤x≤a,1≤y≤b gcd(x,y)=i,1\le x\le a,1\le y\le b的数对数目。
然后有 f(i)=∑i|dμ(di)⌊nd⌋⌊md⌋ f(i)=\sum_{i|d}\mu(\frac d i)\lfloor \frac n d\rfloor\lfloor \frac m d\rfloor
对于每个询问，我们要求的答案就是

∑i=1min(m,n)g(i)f(i)=∑i=1min(m,n)g(i)∑i|dμ(di)⌊nd⌋⌊md⌋

\sum_{i=1}^{min(m,n)}g(i)f(i)=\sum_{i=1}^{min(m,n)}g(i)\sum_{i|d}\mu(\frac d i)\lfloor \frac n d\rfloor\lfloor \frac m d\rfloor

=∑d=1min(m,n)⌊nd⌋⌊md⌋∑i|dμ(di)g(i)

=\sum_{d=1}^{min(m,n)}\lfloor \frac n d\rfloor\lfloor \frac m d\rfloor\sum_{i|d}\mu(\frac d i)g(i)
当然就会想到对后面那个和式做前缀和，然后搭配枚举除法使用，把ProblemB里那个莫比乌斯函数的前缀和替换成这里这个和式的前缀和。
要怎么求？
当然我们要先排除掉那些 μ \mu为0的没有意义的项。
把d和i拆分成素数乘积的形式：

d=pa11∗pa22∗...∗pann

d=p_1^{a1}*p_2^{a2}*...*p_n^{an}

i=pA11∗pA22∗...∗pAnn

i=p_1^{A1}*p_2^{A2}*...*p_n^{An}

我们已经知道i是d的因子
那肯定就有对于i的每一个质因子 pi,Ai≤ai p_i,Ai\le ai
下面我们来代入线筛试试看怎么求后面的和式
在这里我进行了一些讨论
假设我们有两个数 i∗prime[j],i i*prime[j],i
①如果 imodprime[j]=0 i\mod prime[j]=0
这时候i和prime[j]就满足上面d和i的关系了。
这时候先来看一种极为特殊的情况： i=prime[j] i=prime[j]，显然这个时候和式的值为1
再说另一种特殊情况：如果d中每个质因子 pi p_i的指数 ai ai都相等呢？这时候每个质因子都有可能对d的函数值 g(d) g(d)有贡献，而满足这种情况也只可能是 i=pa11∗pa22∗...∗pai−1i∗...∗pann i=p_1^{a1}*p_2^{a2}*...*p_i^{ai-1}*...*p_n^{an}时(ai-1≠0)。那么这时候 ans[d]=−ans[i] ans[d]=-ans[i]
为什么？
再加入这个新的p_i之后我们看一下那个和式的内容，增加了很多项对吧。这些项有一个共同点，数值的绝对值都一样，只是正负号不一样，而符号的决定就与质因子数目的奇偶有关了。这个稍微脑补一下就能发现是对的。。。（我怎么发现的？打表大法好！）
最后就是普遍情况了，完全是一堆没有规律的a摆在那里，满足里面必定存在ai≠aj，和式的值是多少？

又是打表得出，结果是0

又是打表得出，结果是0
什么你觉得我一直打表找规律是在扯淡？
那就证！
我们知道，所有a里有一部分是对 g(d) g(d)有贡献的，另一部分是没有贡献的。
同样数值的正负号与质因子个数有关。
我们把d拆分成i和 di \frac d i（不含平方因子，否则 μ \mu为0就没有意义了)两个因子，偶然发现让 di \frac d i有偶个质因子和奇个平方因子的方案数恰好是相同的，在这个条件下，每种方案总有数值为其相反数的方案与之对应。所以最后和式的值就成0了。
我怎么可能在做题时候自己证着玩呢233反正打表找到规律了先写出来代码A了再说，这些事都是做完题之后发生的。
第一种情况终于搞完了= =
② imodprime[j]≠0 i\mod prime[j]\neq 0
跟上面差不多了，不同的是如果i为互异素数组成， ans[i∗prime[j]]=−ans[i] ans[i*prime[j]]=-ans[i]，否则为0.
终于全部讨论完了= =
不知道我扯淡了这么多看这篇题解的人看懂了没有（说不定早就看烦了QAQ）如果还是不懂的话，请您翻别人的题解吧浪费您这么多时间真是抱歉QAQ网上好的题解一大堆呢。。。
直接愉悦的贴代码吧。。。
(这是一份曾经在BZOJ CE了9次还是10次最后AC的代码QUQ)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define MAXN 10000010
int num[MAXN];
bool not_prime[MAXN];
int prime[MAXN],top;
int mu[MAXN],Last[MAXN];
long long sum[MAXN];
long long ans;
int T;
int a,b;
void in(int &x)
{char ch=' ';x=0;while (!(ch>='0'&&ch<='9')) ch=getchar();while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
void check_prime()
{for (int i=2;i<=MAXN-10;i++){if (!not_prime[i])prime[++top]=i,mu[i]=-1,num[i]=1,sum[i]=1,Last[i]=i;for (int j=1;j<=top&&i*prime[j]<=MAXN-10;j++){not_prime[i*prime[j]]=1;if (i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;num[i*prime[j]]=num[i]+1;Last[i*prime[j]]=Last[i]*prime[j];if (i/Last[i]==1) sum[i*prime[j]]=1;else if (num[i/Last[i]]==num[i*prime[j]]) sum[i*prime[j]]=-sum[i/Last[i]];else sum[i*prime[j]]=0;break;}mu[i*prime[j]]=-mu[i];num[i*prime[j]]=1;Last[i*prime[j]]=prime[j];if (num[i]==1) sum[i*prime[j]]=-sum[i];else sum[i*prime[j]]=0;}}
}
long long get_num(int a,int b)
{long long last=0;long long ret=0;for (long long i=1;i<=min(a,b);i=last+1){last=min(a/(a/i),b/(b/i));ret+=(long long)(a/i)*(b/i)*(sum[last]-sum[i-1]);}return ret;
}
int main()
{check_prime();num[0]=0;num[1]=0;num[2]=1;mu[0]=0;mu[1]=1;for (int i=1;i<=MAXN-10;i++) sum[i]+=sum[i-1];in(T);while (T--){in(a);in(b);printf("%I64d\n",get_num(a,b));}
}

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