Hello, multivariate multiplication.

我们的目的是解决高维多项式乘法时的维度爆炸问题。也就是根据传统方法，我们在计算多项式乘法 f ( x 1 , … , x k ) ⋅ g ( x 1 , … , x k ) m o d ( x 1 n 1 , … , x k n k ) f(x_1,\dots,x_k)\cdot g(x_1,\dots,x_k)\bmod (x_1^{n_1},\dots,x_k^{n_k}) f(x1,…,xk)⋅g(x1,…,xk)mod(x1n1,…,xknk) 时，设 N = ∏ i n i N = \prod_i n_i N=∏ini，若要先计算整个值域，则值域是 Ω ( N 2 k ) \Omega(N2^k) Ω(N2k) 量级的，更无论适合 DFT 的值域了。这里，我们提出一种方法计算 Θ ( k N log ⁡ N ) \Theta(kN\log N) Θ(kNlogN) 的多项式乘法方法。

接下来，我们将给出一个颇具构造性的算法，首先我们将一个下标 ( i 1 , … , i k ) (i_1,\dots,i_k) (i1,…,ik) 转化为一个「 ( n 1 , … , n k ) (n_1,\dots,n_k) (n1,…,nk) 进制数」，即 i = i 1 + i 2 ⋅ n 1 + ⋯ + i k ⋅ n 1 ⋯ n k − 1 i = i_1 + i_2\cdot n_1 + \cdots + i_k \cdot n_1\cdots n_{k-1} i=i1+i2⋅n1+⋯+ik⋅n1⋯nk−1。这个转化有一个至关重要的好处，那就是 ( i 1 , … , i k ) (i_1,\dots,i_k) (i1,…,ik) 下标的加法对应于 i i i 下标的加法。只不过现在我们需要去掉加法发生了进位部分的贡献。

一个直觉是，我们应当设置一个合适的占位多项式，也就是先考虑某个占位函数 χ ( i ) \chi(i) χ(i) 使得 i + j i+j i+j 不进位当且仅当 χ ( i + j ) = χ ( i ) + χ ( j ) \chi(i+j)=\chi(i)+\chi(j) χ(i+j)=χ(i)+χ(j)。那么我们进行一个 ∑ i f i x i t χ ( i ) \sum_i f_i x^i t^{\chi(i)} ∑ifixitχ(i) 的二元多项式乘法，其乘法就可以使得我们提取出实际的结果了。

那么问题来了，什么样的 χ ( i ) \chi(i) χ(i) 是较为合适的呢？借由子集卷积，容易想到的一者是 χ ( i ) = ∑ j i j \chi(i)=\sum_j i_j χ(i)=∑jij，但当 n j n_j nj 很大的时候，这会让 χ ( i ) \chi(i) χ(i) 的值域非常大。我们不妨转换思维，如果对于每一个 i i i，都保证 { χ ( i − j ) + χ ( j ) ∣ 0 ≤ j ≤ i } \{ \chi(i-j)+\chi(j) | 0\le j\le i \} {χ(i−j)+χ(j)∣0≤j≤i} 这个集合很小的话，我们就可以通过对某个阈值 D D D 进行取模 m o d ( t D − 1 ) \bmod (t^D-1) mod(tD−1)，如果对每个 i i i，前面描述的集合中每个数 m o d D \bmod D modD 互不相同，那么我们所要求的信息就还是可以成功保留的。

而回顾衡量进位的单位，我们惊喜地发现 χ ( i ) = ⌊ i n 1 ⌋ + ⌊ i n 1 n 2 ⌋ + ⋯ + ⌊ i n 1 ⋯ n k − 1 ⌋ \chi(i) = \left\lfloor \frac{i}{n_1}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{i}{n_1n_2}\right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{i}{n_1\cdots n_{k-1}}\right\rfloor χ(i)=⌊n1i⌋+⌊n1n2i⌋+⋯+⌊n1⋯nk−1i⌋ 是一个很好的占位函数。由于 ⌊ i x ⌋ + ⌊ j x ⌋ − ⌊ i + j x ⌋ ∈ { − 1 , 0 } \left\lfloor \frac{i}{x}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{j}{x}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{i+j}{x}\right\rfloor\in \{-1,0\} ⌊xi⌋+⌊xj⌋−⌊xi+j⌋∈{−1,0}，自然有 χ ( i ) + χ ( j ) − χ ( i + j ) ∈ [ − k + 1 , 0 ] \chi(i)+\chi(j)-\chi(i+j) \in [-k+1,0] χ(i)+χ(j)−χ(i+j)∈[−k+1,0]。因此，我们只需计算 ∑ i f i x i t χ ( i ) \sum_i f_i x^i t^{\chi(i)} ∑ifixitχ(i) 在 m o d ( t k − 1 ) \bmod (t^k-1) mod(tk−1) 下的多项式乘法。因为 k ≤ log ⁡ 2 N k\le \log_2 N k≤log2N，比较有效的实现是做 k k k 个长为 2 N 2N 2N 的 DFT，然后在 t t t 维暴力进行卷积，复杂度有 Θ ( k N log ⁡ N ) + Θ ( k 2 N ) = Θ ( k N log ⁡ N ) \Theta(kN\log N) + \Theta(k^2N) = \Theta(kN\log N) Θ(kNlogN)+Θ(k2N)=Θ(kNlogN)。

对于牛顿迭代法，我们有一个非常简洁的实现方式。我们先通过特殊进制数的转化，套用在一元多项式上常见的牛顿迭代法，然后卷积全部替换成前述的 Θ ( k N log ⁡ N ) \Theta(kN\log N) Θ(kNlogN) 的高维卷积即可。复杂度即为 Θ ( k N log ⁡ N ) \Theta(kN\log N) Θ(kNlogN)。

其正确性亦不难解释，因为高维卷积已经被考虑为带有占位多项式的 ∑ i f i x i t χ ( i ) \sum_i f_i x^i t^{\chi(i)} ∑ifixitχ(i) 卷积，对其进行任何运算，只会产生一些 j < χ ( i ) j < \chi(i) j<χ(i) 的 x i t j x^it^j xitj 项，且这些项不会再对形如 x i t χ ( i ) x^it^{\chi(i)} xitχ(i) 项有贡献。因此我们实际上就是牛顿迭代的时候只维护这个多项式的 χ ( i ) \chi(i) χ(i) 所构成的上轮廓。

另一点巧妙的地方在于，我们可以直接考虑一个特殊的微分算子 D F \mathfrak DF DF 是 ∑ i i f i x i \sum_i if_ix^i ∑iifixi，不难检验它满足常见的导数性质（对多元幂级数 f , g f,g f,g 有 D ( f g ) = f D g + g D f \mathfrak D(fg)=f\mathfrak D g+g\mathfrak Df D(fg)=fDg+gDf，以及对幂级数 f f f 和多元幂级数 g g g 有 D ( f ∘ g ) = ( f ′ ∘ g ) ⋅ D g \mathfrak D(f\circ g)=(f'\circ g) \cdot \mathfrak Dg D(f∘g)=(f′∘g)⋅Dg），因此求导也可以保持一元多项式上的写法。

由此，我们得到了一种通用性极强的多元幂级数计算方法。而代价仅仅是乘以一个维数 k k k。

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