【狄拉克量子力学原理】【3】可观测量，什么是本征（特征），可观测量对态的概率

前言

本征是什么？
满足Aα=λαA\alpha = \lambda \alphaAα=λα的就是本征，其中A是映射/线性运算符，α\alphaα是本征矢量（特征矢量），λ\lambdaλ是本征值（特征值）
本征方程：∂y∂x=Py本征方程：\frac{\partial y}{\partial x} =Py本征方程：∂x∂y=Py

物理学中出现了矢量，而本征和矢量有关，所以物理学很多方程都能化成本征形式。能化成本征形式的运算，说明是线性的，对加法和数乘封闭，即加和数乘运算中的所有数都在运算的线性空间里。

上一篇动力学变量里，并没有怎么求运算符的本征右矢量、本征值的方法，虽然说类似矩阵分析，但是毕竟有左右矢量之分，还是不同的，所以解法也会有所差异。

可观测量

实动力学变量

任何可以观测到的动力学变量都是实数。

无法通过两次测量得到实部的动力学变量和虚部的动力学变量，从而得到复的动力学变量。
——因为无法观测两次

如果两次是严格同时的，那么这实际上还是一次。如果是相继观测的，那么前一次观测会给第二次观测带来不确定性。

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什么是可观测量

满足下面条件的线性运算符ξ\xiξ就是可观测量：

∣P⟩=∫∣γ1c⟩dγ1+∑r∣γrd⟩(1)|P\rangle=\int |\gamma_1c\rangle \;d\gamma_1 + \sum_r |\gamma_r \;d\rangle \qquad \qquad (1)∣P⟩=∫∣γ1c⟩dγ1+r∑∣γrd⟩(1)

∣γ1c⟩=∣γ1⟩|\gamma_1c\rangle = |\gamma_1\rangle∣γ1c⟩=∣γ1⟩
∣γrd⟩=∣γr⟩|\gamma_r d\rangle = |\gamma_r \rangle∣γrd⟩=∣γr⟩

其中c,dc,dc,d只是记号，为了在γ1=γr\gamma_1 = \gamma_rγ1=γr时区分两个右矢量。

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(1)(1)(1)公式表明：

任何右矢量∣P⟩|P\rangle∣P⟩都可以表示为线性运算符ξ\xiξ本征右矢量积分加上本征右矢量的求和。

什么意思，上一篇明明只有求和???

因为有这么一种情况，线性运算符ξ\xiξ的本征值γ\gammaγ是由一个范围的数 + 范围外的分立的数组成。

方程扩展了，包含更多的情况，也就多了一项。
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可观测量确定系统的态

实动力学变量ξ\xiξ是个可观测量，有有限个本征值γ1,γ2,...,γn\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_nγ1,γ2,...,γn，则

(ξ−γ1)(ξ−γ2)....(ξ−γn)⋅∣P⟩=0(\xi - \gamma _ 1)(\xi - \gamma _ 2)....(\xi - \gamma _ n) · |P\rangle=0(ξ−γ1)(ξ−γ2)....(ξ−γn)⋅∣P⟩=0

方程对所有∣P⟩|P\rangle∣P⟩成立（我也不知道为什么），所以

(ξ−γ1)(ξ−γ2)....(ξ−γn)=0(\xi - \gamma _ 1)(\xi - \gamma _ 2)....(\xi - \gamma _ n)=0(ξ−γ1)(ξ−γ2)....(ξ−γn)=0

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例如，对于线性运算符∣A⟩⟨A∣|A\rangle\langle A|∣A⟩⟨A∣，∣A⟩|A\rangle∣A⟩是归一化了的右矢量，⟨A∣A⟩=1\langle A|A\rangle = 1⟨A∣A⟩=1，有

{∣A⟩⟨A∣}2=∣A⟩⟨A∣A⟩⟨A∣=∣A⟩⟨A∣\{ |A\rangle\langle A| \}^2 = |A\rangle\langle A|A\rangle\langle A| = |A\rangle\langle A|{∣A⟩⟨A∣}2=∣A⟩⟨A∣A⟩⟨A∣=∣A⟩⟨A∣
(∣A⟩⟨A∣−0)(∣A⟩⟨A∣−1)=0(|A\rangle\langle A| - 0)(|A\rangle\langle A| - 1)=0(∣A⟩⟨A∣−0)(∣A⟩⟨A∣−1)=0

因为，线性运算符∣A⟩⟨A∣|A\rangle\langle A|∣A⟩⟨A∣满足一个代数方程，也是可观测量。她的本征值为0，1。∣A⟩|A\rangle∣A⟩是本征值1的本征右矢量，与∣A⟩|A\rangle∣A⟩正交的本征右矢量都是属于0的本征右矢量。

所以，如果系统处于∣A⟩|A\rangle∣A⟩的态，测量肯定能得到1的结果。

如果系统处于与∣A⟩|A\rangle∣A⟩正交的态，测量肯定得到0的结果。

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积分有意义的条件

略
（书上这个地方推导看不懂）

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可观测量的函数

可观测量ξ\xiξ的任意实函数f(ξ)f(\xi)f(ξ)，当做是新的可观测量，当测量ξ\xiξ时，也就测量了f(ξ)f(\xi)f(ξ)

我们限制可观测量ξ\xiξ必须是实动力学变量，但是不必限制f(ξ)f(\xi)f(ξ)是实的！！！

f(ξ)f(\xi)f(ξ)（可以）是复函数

当测量ξ\xiξ得到结果γ\gammaγ时，同时就测量了f(ξ)f(\xi)f(ξ)的实部和虚部，得到了结果为f(γ)f(\gamma)f(γ)的实部和虚部

ξ\xiξ是线性运算符，f(ξ)f(\xi)f(ξ)也是线性运算符，则

f(ξ)∣γ⟩=f(γ)∣γ⟩(1)f(\xi) | \gamma \rangle = f(\gamma) |\gamma \rangle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (1)f(ξ)∣γ⟩=f(γ)∣γ⟩(1)

测量的结果是本征值，f(γ)f(\gamma)f(γ)是数，但f(ξ)f(\xi)f(ξ)是线性运算符，也就是说ξ\xiξ也不是数，是一种关系。

(1)乘以任意右矢量为

f(ξ)∣P⟩=∫f(γ)∣γc⟩dγ+∑rf(γr)∣γrd⟩(2)f(\xi)|P\rangle = \int f(\gamma) |\gamma \;c\rangle d \gamma + \sum_r f(\gamma _r)|\gamma_r \; d\rangle \qquad\qquad (2)f(ξ)∣P⟩=∫f(γ)∣γc⟩dγ+r∑f(γr)∣γrd⟩(2)

由(1)左右求共轭，得到f(ξ)f(\xi)f(ξ)的共轭f(ξ)‾\overline{f(\xi)}f(ξ)

⟨γ∣f(ξ)‾=f‾(γ)⟨γ∣(3)\langle \gamma | \overline{f(\xi)} = \overline{f}(\gamma)\langle \gamma | \qquad\qquad (3)⟨γ∣f(ξ)=f(γ)⟨γ∣(3)

共轭关系(线性运算符)：f(ξ)⇔f(ξ)‾共轭关系(线性运算符)： f(\xi) \Leftrightarrow \overline{f(\xi)}共轭关系(线性运算符)：f(ξ)⇔f(ξ)
共轭关系(数)：f(γ)⇔f‾(γ)共轭关系(数)： f(\gamma) \Leftrightarrow \overline{f} (\gamma)共轭关系(数)：f(γ)⇔f(γ)

经过一通推导——把(3)中的γ\gammaγ缓成γ2\gamma_2γ2，再在(3)左右右乘∣P⟩|P\rangle∣P⟩，结合(2)可推导出

f(ξ)‾=f‾(ξ)\overline{f(\xi)} = \overline{f}(\xi)f(ξ)=f(ξ)

f(ξ)的共轭是ξ的共轭复函数f‾f(\xi)的共轭是\xi的共轭复函数\overline{f}f(ξ)的共轭是ξ的共轭复函数f

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可观测量的倒数

α\alphaα如果没有为0的本征值，那么其倒数可以表示为α−1或1/α\alpha ^ {-1}或 1/\alphaα−1或1/α

α−1∣β⟩=β−1∣β⟩\alpha ^ {-1}| \beta \rangle = \beta ^{-1} |\beta \rangleα−1∣β⟩=β−1∣β⟩

其中∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩是α\alphaα的本征态

式子两边乘以α\alphaα为

αα−1∣β⟩=αβ−1∣β⟩\alpha\alpha ^ {-1}| \beta \rangle =\alpha \beta ^{-1} |\beta \rangle αα−1∣β⟩=αβ−1∣β⟩

右边αβ−1=1\alpha \beta ^{-1}=1αβ−1=1，因为α\alphaα是线性运算符，而β\betaβ是其对应的本征值，所以αβ−1=1\alpha \beta ^{-1}=1αβ−1=1

比如Aα=λαA\alpha = \lambda \alphaAα=λα，两边都成上λ−1\lambda ^{-1}λ−1后，得到Aλ−1=1A\lambda^{-1}=1Aλ−1=1

αα−1=1=α−1α\alpha \alpha ^{-1} = 1 = \alpha ^{-1} \alphaαα−1=1=α−1α

综上，有乘法法则如下

(αβγ...)−1=...γ−1β−1α−1(\alpha \beta \gamma ...)^{-1} = ... \gamma^{-1} \beta^{-1} \alpha^{-1} (αβγ...)−1=...γ−1β−1α−1

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可观测量的平方根

可观测量的平方根始终存在，当她没有负的本征值的时候，她的平方根就是实数的。

α∣β⟩=±β∣β⟩\sqrt{ \alpha }| \beta \rangle = \pm \sqrt{ \beta } |\beta \rangleα∣β⟩=±β∣β⟩

可推导出
αα=1\sqrt{\alpha}\sqrt{\alpha}=1αα=1

由于第一个方程的正负性，会有很大平方根。为了固定其中某个，必须为方程的每个本征值确定一个具体的符号。

这个符号可能从一个本征值到另一个本征值，不规则地变化。

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一个可观测量的不同的平方根有2n2^n2n个，非零的本征值有nnn个。

平方根函数仅仅用于那些没用负本征值的可观测量，所以平方根总是取正的。

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物理解释

有这样一个可观测量ξ\xiξ，她有任意两个状态x,yx,yx,y，她们分别对应矢量⟨x∣和∣y⟩\langle x|和|y\rangle⟨x∣和∣y⟩，组合成一个数

⟨x∣ξ∣y⟩\langle x| \xi |y \rangle⟨x∣ξ∣y⟩

这个数与经典理论中的数不同，因为

通常这个数⟨x∣ξ∣y⟩\langle x| \xi |y \rangle⟨x∣ξ∣y⟩不是实数，而经典理论中测量的数都是实数
这个数⟨x∣ξ∣y⟩\langle x| \xi |y \rangle⟨x∣ξ∣y⟩与系统两个态有关，而经典理论只与一个数有关
这个数⟨x∣ξ∣y⟩\langle x| \xi |y \rangle⟨x∣ξ∣y⟩不能由可观测量ξ\xiξ与态唯一确定，因为两个矢量⟨x∣和∣y⟩\langle x |和 | y \rangle⟨x∣和∣y⟩包含任意的数值因子，就算归一化了，还是有一个模为1的时间因子e−iEnt/ℏe^{-iE_nt / \hbar}e−iEnt/ℏ

当两个矢量⟨x∣和∣y⟩\langle x|和|y\rangle⟨x∣和∣y⟩互为共轭的时候，数为⟨x∣ξ∣x⟩\langle x|\xi|x \rangle⟨x∣ξ∣x⟩必定是实数！能够当⟨x∣\langle x |⟨x∣归一化后，被唯一确定！！！

因为当用因子eice^{ic}eic乘上⟨x∣\langle x |⟨x∣，就必须用因子e−ice^{-ic}e−ic乘上∣x⟩| x \rangle∣x⟩,这样数还是不变！！！（其中c是实数，c=Entℏc = \frac{E_nt }{\hbar}c=ℏEnt）

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⟨x∣ξ∣x⟩+⟨x∣η∣x⟩=⟨x∣ξ+η∣x⟩\langle x|\xi | x\rangle + \langle x|\eta | x\rangle = \langle x|\xi + \eta| x\rangle⟨x∣ξ∣x⟩+⟨x∣η∣x⟩=⟨x∣ξ+η∣x⟩
⟨x∣ξ∣x⟩∗⟨x∣η∣x⟩≠⟨x∣ξ∗η∣x⟩\langle x|\xi | x\rangle * \langle x|\eta | x\rangle \ne \langle x|\xi * \eta| x\rangle⟨x∣ξ∣x⟩∗⟨x∣η∣x⟩=⟨x∣ξ∗η∣x⟩
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对于∣x⟩|x\rangle∣x⟩的态的系统，测量许多次ξ\xiξ ——

当∣x⟩|x\rangle∣x⟩没有归一化时，测量ξ\xiξ的结果γ\gammaγ正比于⟨x∣ξ∣x⟩\langle x|\xi|x \rangle⟨x∣ξ∣x⟩
当∣x⟩|x\rangle∣x⟩有归一化时，多次测量ξ\xiξ的结果γ\gammaγ的平均值为⟨x∣ξ∣x⟩\langle x|\xi | x\rangle⟨x∣ξ∣x⟩

一般，我们不能说可观测量对某一个定态有一个值，但可以说可观测量对这个态有一个平均值！

可观测量对这个态有一个确定的概率
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概率

一个可观测量ξ\xiξ对应一个归一化了的右矢量∣x⟩|x\rangle∣x⟩，那么

ξ\xiξ的平均值为⟨x∣ξ∣x⟩\langle x|\xi|x \rangle⟨x∣ξ∣x⟩，f(ξ)f(\xi)f(ξ)的平均值为⟨x∣f(ξ)∣x⟩\langle x| f(\xi) |x \rangle⟨x∣f(ξ)∣x⟩
令函数f(ξ)f(\xi)f(ξ)是这样的函数，即在ξ=a\xi = aξ=a时，f(ξ)=1f(\xi)=1f(ξ)=1，其他情况为零

——竟然是个冲激函数！！！

记做δξa\;\;\;\delta_{\xi a}\quadδξa 这个ξ\xiξ的函数的平均值恰好是ξ\xiξ取a的概率，为

Pa=⟨x∣δξa∣x⟩(1)P_a = \langle x | \delta _{\xi a} | x \rangle \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\;\; (1)Pa=⟨x∣δξa∣x⟩(1)

ξ\xiξ在很小的范围内a→a+daa \rightarrow a+daa→a+da的概率为

P(a)da=⟨x∣X(ξ)∣x⟩⟩(2)P(a)da = \langle x|X(\xi)|x \rangle \rangle \qquad \qquad \qquad (2)P(a)da=⟨x∣X(ξ)∣x⟩⟩(2)

如果这个范围内没有ξ\xiξ的任何本征值，那么有X(ξ)=0，P(a)=0X(\xi)=0，P(a)=0X(ξ)=0，P(a)=0

如果∣x⟩|x\rangle∣x⟩没有归一化，那么（1）右边还是正比于 xixixi取a的概率，（2）右边还是正比于xixixi在a→a+daa\rightarrow a+daa→a+da之间的概率。
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本征态

(1)如果系统处于ξ\xiξ的本征态，属于本征值γ\gammaγ，则测量ξ\xiξ必定得到结果为γ\gammaγ

(2)如果∣γ⟩| \gamma \rangle∣γ⟩是ξ\xiξ的本征右矢量，属于本征值γ\gammaγ。那么

\;\;\;\;\;\;\;\;①当ξ\xiξ有离散本征值的情况下，δξa∣γ⟩=0,(γ≠a)\delta_{\xi a} |\gamma \rangle = 0,(\gamma \ne a)δξa∣γ⟩=0,(γ=a)

\;\;\;\;\;\;\;\;②当ξ\xiξ有连续本征值的情况下，X(ξ)∣γ⟩=0,(γ∉[a,a+da])X(\xi) |\gamma \rangle = 0,(\gamma \notin [ a, a+da])X(ξ)∣γ⟩=0,(γ∈/[a,a+da])

\;\;\;\;\;\;\;\;无论是①还是②，对于∣γ⟩|\gamma\rangle∣γ⟩的态，γ\gammaγ肯定是ξ\xiξ的结果，ξ\xiξ肯定是γ\gammaγ的值

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现实世界，ξ\xiξ只能处于γ\gammaγ附近的一个很窄的区域，ξ\xiξ不能精确等于γ\gammaγ,此时系统处于接近与ξ\xiξ本征态的态！！！

一个本征态∣γ⟩|\gamma\rangle∣γ⟩属于连续区域内的某一个本征值γ\gammaγ，这只是数学的理想化

那些无法实现的态对应的右矢量，长度无穷大。
所有能实现的态，都对应于那些可以归一化的右矢量，这些右矢量构成一个Hilbert空间

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